...+∞,下2]dx/x(lnx)^k收敛?当k为何值时,这反常积分发散?
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发布时间：2024-10-03 08:06
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时间：2024-10-09 07:23
∫(上限为正无穷，下限为2)1/x*（lnx)^kdx
=∫1/（lnx)^k d lnx (x上限为正无穷，下限为2)
=1/(1-k)∫d(lnx)^(1-k) (x上限为正无穷，下限为2)
=[1/(1-k)]*[(ln正无穷大)^(1-k)-1]
若广义积分收敛，所以1-k小于0
所以k大于1
若广义积分发散，k小于等于1
当k=1时取最小值
定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。
扩展资料：
对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。
当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。
对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。
参考资料来源：百度百科——反常积分
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时间：2024-10-09 07:23
简单计算一下即可，答案如图所示
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时间：2024-10-09 07:28
∫(上限为正无穷,下限为2)1/x*（lnx)^kdx
=∫1/（lnx)^k d lnx (x上限为正无穷,下限为2)
=1/(1-k)∫d(lnx)^(1-k) (x上限为正无穷,下限为2)
=[1/(1-k)]*[(ln正无穷大)^(1-k)-1]
若广义积分收敛,所以1-k小于0
所以k大于1
若广义积分发散,k小于等于1
当k=1时取最小值
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时间：2024-10-09 07:23
∫(上限为正无穷，下限为2)1/x*（lnx)^kdx
=∫1/（lnx)^k d lnx (x上限为正无穷，下限为2)
=1/(1-k)∫d(lnx)^(1-k) (x上限为正无穷，下限为2)
=[1/(1-k)]*[(ln正无穷大)^(1-k)-1]
若广义积分收敛，所以1-k小于0
所以k大于1
若广义积分发散，k小于等于1
当k=1时取最小值
定积分的积分区间都是有限的，被积函数都是有界的。但在实际应用和理论研究中，还会遇到一些在无限区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似于定积分的问题。因此，有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类函数。
扩展资料：
对于上下限均为无穷，或被积分函数存在多个瑕点，或上述两类的混合，称为混合反常积分。对混合型反常积分，必须拆分多个积分区间，使原积分为无穷区间和无界函数两类单独的反常积分之和。
当x→+∞时，f(x)必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；当x→a+时，f(x)必为无穷大。且无穷小的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。
对于一个函数f，如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。
参考资料来源：百度百科——反常积分
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时间：2024-10-09 07:23
简单计算一下即可，答案如图所示
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时间：2024-10-09 07:29
∫(上限为正无穷,下限为2)1/x*（lnx)^kdx
=∫1/（lnx)^k d lnx (x上限为正无穷,下限为2)
=1/(1-k)∫d(lnx)^(1-k) (x上限为正无穷,下限为2)
=[1/(1-k)]*[(ln正无穷大)^(1-k)-1]
若广义积分收敛,所以1-k小于0
所以k大于1
若广义积分发散,k小于等于1
当k=1时取最小值
