一道高中二次函数综合题
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发布时间：2022-04-22 17:42
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时间：2023-07-21 20:45
⑴由∃x∈R，f（x）＜b•g（x），得
∃x∈R，x²-bx+b＜0，
∴△=（-b）²-4b＞0
解得b＜0或b＞4
∴实数b的取值范围是（-∞，0） ∪（4，+∞）
⑵由题设得F（x）=x²-mx+1-mx² ，
则对称轴方程为x=m/2
∴△=m² -4（1-m²）=5m²-4
由于|F（x）|在[0，1]上↗，则有
①当△≤0即-2√5/5＜m＜2√5/5时，有
m/2≤0
-2√5/5≤m≤2√5/5
=>-2√5/5≤m≤0
②当△＞0即m＜-2√5/5或m＞2√5/5 时，设方程F（x）=0的根为x1 ，x2 （x1 ＜x2 ）
若m＞2√5/5，则m/2＞√5/5 ，有
m/2≥1
x1＜0⇔F(0)＝1−m²＜0
=>m≥2
若m＜-2√5/5即m/2＜-√5/5，有x1＜0，x2≤0得
F（0）=1-m²≥0，有-1≤m≤1
∴-1≤m≤-2√5/5
综上所述，实数m的取值范围是[-1， 0]∪[2，+∞）
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时间：2023-07-21 20:45
（1）算x^2-bx+b的delta=b^2-4b>0
(2) F(x)=（x-m/2）^2+1-5m^2/4.对称轴是m/2.
讨论
（i）当1-5m^2/4>=0,即 -2/根号5<=m<=2/根号5时，F(x)恒正，等于|F(x)|,此时计算m/2<=0
推出 [-2/根号5, 0]
（iI）当1-5m^2/4<=0,即m<=-2/根号5或者m>=2/根号5时，
先求根公式两个根： m/2 - 根号（5m^2-4）和m/2+ 根号（5m^2-4）。
函数翻折x轴下方的图形，画出|F(x)|的图像，再讨论（a）（b）
----（a）较大的根小于等于对称轴m/2，推出[-1,1],结合初始，得 [ -1,-2/根号5]
-----（b）较小的根<=0, m/2>=1，推出m>=2,结合初始条件， 得m>=2.
总结：。。。
