2019-2020学年八年级（下）期中数学试卷含答案解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．使式子A．x＞5
有意义，则x的取值范围是（ ） B．x≠5
C．x≥5
D．x≤5
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
3．下列运算正确的是（ ） A．（=
）2=4 B．
=﹣4
C．
=
×
D．
﹣
4．如图，直角三角形的三边长分为a、b、c，下列各式正确的是（ ）
A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C．c2+a2=b2 D．以上都不对
5．一个直角三角形的两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为（ ） A．5cm B．4cm C．
cm
D．5cm 或
cm
6．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
7．如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
8．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A．对角线互相平分
B．四条边都相等
C．对角相等 D．邻角互补
9．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ ）
1 / 21
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．都有可能
10．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
11．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，且DE=7cm，则BC= cm．
12．写出命题“对顶角相等”的逆命题 ． 13．比较大小：14．如果
．（填“＞、＜、或=”）
的值为 ．
+（b﹣7）2=0，则
15．如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 m．
16．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 cm．
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17．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为 cm．
18．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为 ．
19．若两对角线长分别为4cm和6cm的菱形的面积与一个正方形的面积相等，那么该正方形的边长为 cm．
20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是 ．
2
三．解答题（共50分） 21．计算： （1）（﹣（2）（3
）2﹣﹣
+
+ ）
）﹣（，b=3﹣
22．已知a=3+（1）a2﹣b2
，分别求下列代数式的值：
（2）a﹣2ab+b．
23．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，试判断△BCD的形状，并说明理由．
22
3 / 21
24．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
25．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积．
27．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB= 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
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-学年八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．使式子A．x＞5
有意义，则x的取值范围是（ ） B．x≠5
C．x≥5
D．x≤5
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵式子∴x﹣5≥0，解得x≥5． 故选C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
有意义，
【考点】最简二次根式．
【分析】根据最简二次根式的条件进行判断即可． 【解答】解：
==2
=
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
是最简二次根式， 故选：D．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
3．下列运算正确的是（ ）
5 / 21
A．（=
）=4 B．
2
=﹣4 C． =× D．﹣
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】分别利用二次根式的性质以及结合二次根式混合运算法则化简求出答案． 【解答】解：A、（B、C、D、
﹣
）=4，正确；
2
=4，故此选项错误；
=
×
，故此选项错误；
无法计算，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
4．如图，直角三角形的三边长分为a、b、c，下列各式正确的是（ ）
A．a+b=c
222
B．b+c=a
222
C．c+a=b
222
D．以上都不对
【考点】勾股定理．
【分析】由勾股定理即可得出结论，注意a是斜边长． 【解答】解：∵∠A=90°， ∴由勾股定理得：b+c=a． 故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理；熟记勾股定理是解决问题的关键．
5．一个直角三角形的两边长分别为4cm、3cm，则第三条边长为（ ） A．5cm B．4cm C．【考点】勾股定理．
【分析】题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析． 【解答】解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5cm； （2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为故直角三角形的第三边应该为5cm或
cm．
cm；
cm
D．5cm 或
cm
2
2
2
6 / 21
故选：D．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析．
6．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ） A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 【解答】解：A、1.5+2≠3，不符合勾股定理的逆定理，故正确； B、7+24=25，符合勾股定理的逆定理，故错误； C、6+8=10，符合勾股定理的逆定理，故错误； D、9+12=15，符合勾股定理的逆定理，故错误． 故选A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
7．如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【考点】平行四边形的性质． 【专题】几何图形问题．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，进而得到等腰三角形，推得AB=BE，所以根据AD、AB的值，求出EC的值． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠BEA ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE=∠DAE
7 / 21
∴∠BAE=∠BEA ∴BE=AB=3 ∵BC=AD=5
∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2 故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
8．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ） A．对角线互相平分
B．四条边都相等
C．对角相等 D．邻角互补 【考点】矩形的性质；菱形的性质． 【专题】证明题．
【分析】与平行四边形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等．
【解答】解：A、对角线互相平分是平行四边形的基本性质，两者都具有，故A不选； B、菱形四条边相等而矩形四条边不一定相等，只有矩形为正方形时才相等，故B符合题意；
C、平行四边形对角都相等，故C不选； D、平行四边形邻角互补，故D不选． 故选：B．
【点评】考查菱形和矩形的基本性质．
9．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ ） A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．都有可能
【考点】多边形．
【分析】如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，理由为：利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABCD为平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形，再利用对角线相等的菱形为正方形即可得证． 【解答】解：如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，
已知：四边形ABCD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
8 / 21
求证：四边形ABCD为正方形， 证明：∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD为菱形， ∵AC=BD，
∴四边形ABCD为正方形． 故选C．
【点评】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．
10．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12 【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，设D′F=x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB﹣BF，即可得到结果．
【解答】解：易证△AFD′≌△CFB， ∴D′F=BF，
设D′F=x，则AF=8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2=x2+42，
9 / 21
解之得：x=3， ∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5， ∴S△AFC=•AF•BC=10． 故选C．
【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F=x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
11．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边的中点，且DE=7cm，则BC= 14 cm．
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理得出BC=2DE，代入求出即可． 【解答】解：∵D、E分别是AB、AC边的中点，且DE=7cm， ∴BC=2DE=14cm， 故答案为：14．
【点评】本题考查了三角形中位线定理的应用，能熟记三角形的中位线定理的内容是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
12．写出命题“对顶角相等”的逆命题 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 ． 【考点】命题与定理．
【分析】根据逆命题的定义可以写出命题“对顶角相等”的逆命题，本题得以解决． 【解答】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是明确逆命题的定义，可以写出一个命题的逆命题．
10 / 21
13．比较大小： ＜ ．（填“＞、＜、或=”）
【考点】实数大小比较．
【分析】先把两个实数平方，然后根据实数的大小比较方法即可求解． 【解答】解：∵（而12＜18， ∴2
＜3
．
）=12，（3
2
）=18，
2
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等． 14．如果
+（b﹣7）2=0，则
的值为 3 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】首先利用偶次方的性质以及二次根式的性质进而得出a，b的值，进而求出答案． 【解答】解：∵∴a=2，b=7， 则
=
=3．
+（b﹣7）2=0，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
15．如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m．一只小鸟从一棵树的树尖飞到另一棵树的树尖，那么这只小鸟至少要飞行 10 m．
【考点】勾股定理的应用． 【专题】应用题．
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【解答】解：两棵树的高度差为6m，间距为8m，
11 / 21
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离==10m．
【点评】本题主要是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
16．如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm，高是9cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所走的最短路线的长是 15 cm．
【考点】平面展开﹣最短路径问题． 【专题】推理填空题．
【分析】根据题意，可以画出长方体的展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理，可以解答本题．
【解答】解：如右图所示， 点A到B的最短路径是：故答案为：15．
cm，
【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，能画出图形的平面展开图．
17．若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为60°，则该矩形的面积为
cm2．
【考点】矩形的性质． 【专题】计算题．
【分析】根据矩形的性质，画出图形求解．
12 / 21
【解答】解：∵ABCD为矩形 ∴OA=OC=OB=OD ∵一个角是60° ∴BC=OB=∴根据勾股定理∴面积=BC•CD=4×故答案为
．
=
cm
=cm2．
=
【点评】本题考查的知识点有：矩形的性质、勾股定理．
18．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为 20 ． 【考点】菱形的性质；勾股定理．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【解答】解：如图所示，
根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD， ∴△AOB是直角三角形， ∴AB=
=
=5，
∴此菱形的周长为：5×4=20． 故答案为：20．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学
13 / 21
们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
19．若两对角线长分别为4cm和6cm的菱形的面积与一个正方形的面积相等，那么该正方形的边长为 2
cm．
【考点】正方形的性质；菱形的性质．
【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积，进一步开方求得正方形的边长即可．
【解答】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积， 根据S=ab=×4×6=12cm， ∵菱形的面积与正方形的面积相等， ∴正方形的边长是=2故答案为：2
．
cm．
2
【点评】本题考查了菱形的面积和正方形的面积计算的方法，本题中根据菱形对角线求得菱形的面积是解题的关键．
20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是 6 ．
【考点】矩形的性质．
【分析】用矩形的面积减去△ADQ和△BCP的面积求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AD=BC=4．
S阴影=S矩形ABCD﹣S△BPC﹣S△ADQ =AB•CB﹣BC•MB=4×3﹣
AD•AM
4×BM﹣×4×AM
14 / 21
=12﹣2MB﹣2AM =12﹣2（MB+AM） =12﹣2×3 =6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查的是矩形的性质、三角形的面积公式，将阴影部分的面积转化为S矩
形ABCD
﹣S△BPC﹣S△ADQ求解是解题的关键．
三．解答题（共50分） 21．计算： （1）（﹣（2）（3
）﹣﹣
2
+
+
）
）﹣（
【考点】二次根式的混合运算． 【专题】计算题．
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类项即可解答本题； （2）根据去括号的法则去掉括号，然后合并同类项即可解答本题． 【解答】解：（1）（﹣=3﹣2+3 =4； （2）（3==
． ﹣
）﹣（
+
） ）﹣
2
+
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
22．已知a=3+（1）a2﹣b2 （2）a2﹣2ab+b2．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】（1）利用平方差公式分解因式后再代入计算； （2）利用完全平方差公式分解因式后再代入计算．
，b=3﹣
，分别求下列代数式的值：
15 / 21
【解答】解：当a=3+（1）a﹣b， =（a+b）（a﹣b）， =（3=6×2=12
（2）a2﹣2ab+b2， =（a﹣b）， =（3=（2=8．
﹣3+），
222
2
，b=3﹣时，
+3﹣， ；
）（3+﹣3+），
），
2
【点评】本题是运用简便方法进行二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，试判断△BCD的形状，并说明理由．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】先根据勾股定理计算BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明∠DBC=90°，所以：△BCD是直角三角形．
【解答】解：△BCD是直角三角形，理由是： 在△ABD中，∠A=90°， ∴BD2=AD2+AB2=32+42=25， 在△BCD中，BD2+BC2=52+122=169， CD2=132=169， ∴BD2+BC2=CD2， ∴∠DBC=90°
16 / 21
∴△BCD是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理的内容是关键，注意各自的条件和结论．
24．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】计算题．
【分析】根据矩形的性质得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42=（8﹣x）2，然后解方程即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90°， ∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处 ∴AF=AD=10，DE=EF， 在Rt△ABF中，BF=∴FC=BC﹣BF=4，
设EC=x，则DE=8﹣x，EF=8﹣x， 在Rt△EFC中， ∵EC+FC=EF，
∴x+4=（8﹣x），解得x=3， ∴EC的长为3cm．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
25．如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
2
2
2
2
2
2
==6，
17 / 21
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的性质． 【专题】证明题；压轴题．
【分析】首先连接BD，交AC于点O，由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得OA=OC，OB=OD，又由AE=CF，可得OE=OF，然后根据对角线互相相平分的四边形是平行四边形． 【解答】证明：连接BD，交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵AE=CF， ∴OA﹣AE=OC﹣CF， 即OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
26．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可求得BC=AD=8，又由AC⊥BC，利用勾股定理即可求得AC的长，然后由平行四边形的对角线互相平分，求得OA的长，继而求得平行四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
18 / 21
∴BC=AD=8， ∵AB=10，AC⊥BC， ∴AC=
∴OA=AC=3，
∴S平行四边形ABCD=BC•AC=8×6=48．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意平行四边形的对边相等，对角线互相平分．
27．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB= 2：1 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）．
=6，
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定．
【分析】（1）根据矩形的性质可得AB=CD，∠A=∠D=90°，再根据M是AD的中点，可得AM=DM，然后再利用SAS证明△ABM≌△DCM；
（2）四边形MENF是菱形．首先根据中位线的性质可证明NE∥MF，NE=MF，可得四边形MENF是平行四边形，再根据△ABM≌△DCM可得BM=CM进而得ME=MF，从而得到四边形MENF是菱形；
（3）当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，证明∠EMF=90°根据有一个角为直角的菱形是正方形得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠D=90°， 又∵M是AD的中点， ∴AM=DM．
在△ABM和△DCM中，
19 / 21
，
∴△ABM≌△DCM（SAS）．
（2）解：四边形MENF是菱形． 证明如下：
∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点， ∴NE∥MF，NE=MF．
∴四边形MENF是平行四边形． 由（1），得BM=CM，∴ME=MF． ∴四边形MENF是菱形．
（3）解：
当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由： ∵M为AD中点， ∴AD=2AM． ∵AD：AB=2：1， ∴AM=AB． ∵∠A=90，
∴∠ABM=∠AMB=45°． 同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°． ∵四边形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形． 故答案为：2：1．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，以及菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握菱形和正方形的判定方法．
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