ｔ 谋ｌ 阈读黼韵警 高中数学“逆向思维’’策略解题的一般规律研究 吴志鸿 ，Ｉ： 可 （内蒙古阿拉善盟阿右旗一中，内蒙古 阿拉善７＇３７３００） ［摘要］在高中数学问题的解决和处理中，引导学生使用逆向思维策略来解题越来越受到教师的普遍重视。本文对高中数学中可用 于逆向思维策略解题的一般规律进行了论述，目的在于提高对这一策略的认知，提高学生创新思维能力。 ［关键词］逆向思维数学解题 ． 候，可以选择逆向思维的策略，从反面考虑，就会得到更捷径的解 前言 在高中数学问题的解决和处理中，引导学生使用逆向思维策略 题策略，使问题的解决是柳暗花明。 一．来解题越来越受到教师的普遍重视。这里所说的“逆向思维“指的 ３．正面化归不规范，可考虑选择逆向思维策略 是与人们常规性、习惯性思维相反的一种思维模式，它是正向思维 序列的倒向思维序列，它是发散思维的一个类型，也是培养和训练 学生发散思维的一种较好的形式。在近几年的一线教学中，笔者越 来越深切感受到，在数学问题解决和研究中，对于那些从正面难以 解决的数学问题，拟采用逆向思维策略来解决就显得是易如反掌， 尤为轻松。 总的来说，思维是人们认识和解决问题的核心所在，思维的广 阔性、多样性、奇异性、深刻性能够直接关系到学生的数学能力。 更何况，在讲求创新发展的现实生活中，人们借助逆向思维方式实 际问题的现象更是比比皆是。所以说，不论是从数学学科问题的解 题活动需要，还是社会的长远发展来看，培养学生的逆向思维能力 就显得尤为重要。鉴于此，本文对高中数学中可用于逆向思维策略 解题的一般规律进行了论述，目的在于提高对这一策略的认知，提 高学生创新思维能力。 二、应用于“逆向思维”策略解题的一般规律 文章接下来的内容，对这些规律进行了陈述。但是对问题的陈 述并非绝对而言，仅是基于笔者的教学经验基础上，相对的大体性 的结出一个应用的选取规律。一般地说，也遇到下列几种情况时， 考虑和引进“逆向思维”的策略，对问题的解决多是有益的。 １．正面问题解决有多种情况，可以考虑采用逆向思维策略 当在解决一些问题的时候，常常会出现问题情景较多，单纯从 正面解题显得无从入手，难以找到头绪，这个时候可以考虑采用逆 向思维策略。比如说，有这样一个数学问题——“有红、黄、蓝、 黑、白五个球，分别装入红、黄、蓝、黑、白五个口袋，每袋装一 个球，问至少有两个口袋与球的颜色不同的装法有多少种？”对于 这个问题的解答，如果直接从正面人手解题的话，需要至少分为四 种情况来进行，即是恰有二个口袋、三个口袋、四个口袋、五个口 袋与球的颜色不相同的情况，然后，在此基础上，借助加法原理就 可求出结果。但是，采用这样的解题显然是比较繁琐的，也是较难 驾驭的。同时，不可避免会遇到其余四个口袋与所装球的颜色都相 同的情况。由此，我们可以考虑借助“逆向思维”来进行思考： “所有口袋与所装球的颜色相同”易得五个球装进五个口袋的装 法，而所谓口袋与所装球的颜色相同的装法只有一种，这种从反面 思维的解法就容易得多了。 ２．正面问题Ｊ－Ｆ决难度较大，可以考虑采用逆向思维策略 有些问题从正面考虑难度很大，或者几乎近于不可能，对此可 考虑选取“逆向思维”的策略，引进反证法、同一法等，而这种类 型的情况，在平面几何和立体几何中最为普遍。比如：在立体几 何中，关于直线与平面平行有这样一个定理——“如果平面外的一 条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平 行。”对于这一定理的论证，从正面思维来看，只有直线在平面外 这一假设条件。从这条件可以得出直线与平面间是平行或者是相交 的位置关系。如果想从正面直接推断出直线平行与平面这一结论， 相关的定理和条件显然是比较少的，难以解决这一问题。在这个时 当出现正面化归不规范，不易启动思维，不易使问题突破的时 候，特别是一些含有参变量的代数问题，有位置变化的几何问题， 从正面化归不具有某种人们熟悉的简单可行的规范程式，此时可考 虑“逆向思维”的策略，采用角色置换法，通过主次变元的对换， 变量与常量的对换，动粹结合转换等方法，迅速获得问题的解答。 例如：椭圆的长铀为２ａ，短轴为２ｂ，在第一象限内滚动，并始 终与Ｘ轴和ｖ铀分别保持相切，求椭圆的中心点的轨迹。 考虑到椭圆在第一象限内的位置不确定，正面求解可以说是很 难的，反过来“逆向思维”把椭圆固定，而让其相切的坐标轴平 移、转动，则问题就会得到较好的解决。 ４．问题表现为逆向结构，可顺其自然采用逆向思维策略 这类问题在我们的解题活动中可以说是屡见不鲜的，如给出两 个集合的交集和并集的结果，而求原集合；在含有参数变量的不等 式中，给出不等式的解集而确定其参数；在含有参变量的函数中给 出具体的最值，求其解析式中所含参数，等等。诸如此类的问题本 质上就显示的是逆向思维的特征，对于这些问题的解决我们可顺藤 摸瓜，当机立断的考虑“逆向思维”的策略，赢得问题的解决。 ５．对于某些存在性问题的推断，可采用逆向思维策略 对于一些存在性问题，特别是那些否定型的“存在性问题”， 如果直接正面人手比较困难时，可以直接采用逆向思维策略，采用 反证法，从反面推证，观效正面，得出结论，可以说这是突破此类 问题最为行之有效的办法。 比如说：在证明“抛物线上不存在四点构成的四边形为平行 四边形”这一问题的时候，可以运用逆向思维，采用反证法，直 接来证明“四边形的两组对边不可能平行”即可。假设抛物线为Ｙ －－２ｐｘ（ｐ＞Ｏ），在其上存在四点Ａ／Ｂ／Ｃ／Ｄ，构成平行四边形，设这 四点分别为Ａ（ｙｔ２／２ｐ，Ｙ１）、Ｂ（ｙ２２／２ｐ，Ｙ２）、ｃ（ｙ３２／２ｐ，Ｙ３）、 Ｄ（ｙ４２１２ｐ，Ｙ ），因为ＡＢ∥ｃＤ，所以（Ｙｌ－Ｙ２）／（Ｙｌ２／２ｐ－ｙ２２／２ｐ） ：（Ｙ３－Ｙ４），（Ｙ３ｚ／２ｐ—ｙ４２／２ｐ）有Ｙｌ＋Ｙ２：ＹｎＹ４，两式相减有：Ｙ２－Ｙ３＝ｙ３一 Ｙ：，即可得到Ｙ：＝ｙ，，这显然是不可能的，故此假设错误，原结论得 证。 此为一标准的否定型“存在性问题”，在此，拟想从正面思 维，可以说是很难的，但引进反证法则效果出奇，没有费多少气 力，其结论即可昭然若揭，可谓干净利索。由此，策略的合理选取 在问题解决中的重要性可见一斑。 参考文献 【１］陈伟芳．教学解题中的逆向思维【Ｊ］．数理化学习（高中版）． ２００６（１７） ［２］叶际飞．谈逆向思维在数学解题中的运用［Ｊ】．中学教研（数 学）．２００８（０４） 【３］林海艳．浅谈数学解题中的逆向思维…．赤峰学院学报（自然 科学版）．２００５（０６） ［４】曹莉．逆向思维在数学解题中的运用［Ｊ】．连云港师范高等专科 学校学报．１ ９９７（０３）