一、选择题
1.(2013·上饶模拟)观察下列各式:1=1,2+3+4=3,3+4+5+6+7=5,4+5+6+7+ 8+9+10=7,…,可以得出的一般结论是 ( ) (A)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n (B)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1) (C)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n (D)n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)
2.(2013·宝鸡模拟)观察下列数1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( ) (A)13,39,123 (C)24,23,123
(B)42,41,123 (D)28,27,123
2
2
2
2
2
2
2
2
3.(2013·太原模拟)如图是2012年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是 ( )
4.(2013·海口模拟)记Sn是等差数列{an}前n项的和,Tn是等比数列{bn}前n项的积,设等差数列{an}公差d≠0,若对小于2011的正整数n,都有Sn=S2011-n成立,则推导出a1006=0.设等比数列{bn}的公比q≠1,若对于小于23的正整数n,都有Tn=T23-n成立,则 ( ) (A)b11=1 (C)b13=1
(B)b12=1 (D)b14=1
5.三段论:“①所有的中国人都坚强不屈;②玉树人是中国人;③玉树人一定坚强不屈”中,其中“大前提”和“小前提”分别是 ( ) (A)①②
(B)①③
(C)②③ (D)②①
6.已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn(x)=f'n-1(x)(n∈N+且n≥2),则f1()+f2()+…+f2012()= ( )
(A)503 (B)1006 (C)0 (D)2012
7.对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界):
其中为凸集的是 ( ) (A)①② 二、填空题
8.(能力挑战题)方程f(x)=x的根称为f(x)的不动点,若函数f(x)=x1=1000,xn+1=
(n∈N),则x2012= .
+
”,在四面体P -ABC
*
(B)②③ (C)③④ (D)①④
有唯一不动点,且
9.(2013·黄山模拟)给出如下定理:“若Rt△ABC的斜边AB上的高为h,则有=
中,若PA,PB,PC两两垂直,底面ABC上的高为h,类比上述定理,得到的正确结论是 . 10.(2013·长安模拟)已知i=i,i=-1,i=-i,i=1,i=i,…由此可猜想i11.(2013·白鹭州模拟)完成下面三段论: 大前提:互为共轭复数的两复数的乘积是实数. 小前提:x+yi与x-yi互为共轭复数. 结论: .
12.(能力挑战题)已知P(x0,y0)是抛物线y=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得:
在y=2px两边同时求导,得:
2
2
1
2
3
4
5
2014
= .
2yy'=2p,则y'=,所以过P的切线的斜率:k=. 试用上述方法求出双曲线x-=1在P(三、解答题
13.如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:DE=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).
2
,)处的切线方程为 .
14.(2013·潍坊模拟)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.
(1)求出f(5).
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的关系式.
答案解析
1.【解析】选B.由已知的三个式子归纳:左边每一个式子均有2n-1项,且第一项为n,则最后一项为3n-2,右边均为2n-1的平方,故得出的一般结论为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1). 2.【解析】选B.∵3=1×3,2=3-1,6=2×3,5=6-1,15=5×3,…
2
∴从第一个数开始每两个数为一组,每组的第二个都是第一个的3倍,且下一组的第一个数是上一组的第二个数减1,故x=14×3=42,y=42-1=41,z=41×3=123,∴x,y,z分别为42,41,123.
3.【解析】选A.观察可知:该五角星对角上的两盏花灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁,故下一个呈现出来的图形是A.
4.【解析】选B.由等差数列中Sn=S2011-n,可导出中间项a1006=0,类比得等比数列中Tn=T23-n,可导出中间项b12=1. 5.【思路点拨】根据三段论的结构特征即可解决,务必要分清大前提、小前提及结论.
【解析】选A.解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质:大前提是一个“一般性的命题”(①所有的中国人都坚强不屈),小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件”(②玉树人是中国人),结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论”(③玉树人一定坚强不屈). 6.【思路点拨】先观察,归纳出fn(x)的解析式的周期,再代入求解. 【解析】选C.由已知可得f1(x)=sinx+cosx,f2(x)=cosx-sinx,f3(x)=-sinx- cosx,f4(x)=sinx-cosx,f5(x)=sinx+cosx,…,因此f1()+f2()+…+f2012() =503[f1()+f2()+f3()+f4()] =503(1-1-1+1)=0.
7.【思路点拨】根据凸集的定义,结合图形的形状特征即可判定. 【解析】选B.根据凸集的定义,结合图形任意连线可得②③为凸集. 8.【解析】由
=x得ax+(2a-1)x=0.
2
因为f(x)有唯一不动点,所以2a-1=0,即a=. 所以f(x)=所以xn+1=
. =
=xn+.
=
.
所以x2012=x1+×2011=1000+答案：
9.【解析】由平面类比到空间,在四面体P -ABC中,若PA,PB,PC两两垂直,底面ABC上的高为h, 则=
+
+
.
答案：=++
4n
10.【解析】由已知可知,i=1, ∴i
2014
=i
503×4+2
=i=-1.
2
答案：-1
【变式备选】设函数f(x)=f1(x)=f(x)=
(x>0),观察:
,
,f2(x)=f(f1(x))=
f3(x)=f(f2(x))=,故fn(x)= .
n
【解析】根据题意知,分子都是x,分母中的常数项依次是2,4,8,16,…可知fn(x)的分母中常数项为2,分母中x的系数为2-1,故fn(x)=答案：
n
.
11.【解析】由大前提、小前提得出的结论应为(x+yi)(x-yi)是实数. 答案：(x+yi)(x-yi)是实数
12.【解析】用类比的方法对=x-1两边同时求导得,yy'=2x,∴y'=, ∴y'=
=
=2,
=2(x-),∴2x-y-=0.
2
∴切线方程为y-答案：2x-y-=0
13.【证明】(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提) ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提) 所以DF∥EA.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提) DE∥BA且DF∥EA,(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形.(结论) (3)平行四边形的对边相等,(大前提) ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)
所以DE=AF.(结论) 上面的证明可简略地写成:
⇒四边形AFDE是平行四边形⇒DE=AF.
14.【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(5)=25+4×4=41. (2)由f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2, f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, …
得f(n+1)-f(n)=4n. ∴f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, …
f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1)
∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)] =2n(n-1), ∴f(n)=2n-2n+1.
2
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