北京理工大学2022-2022学年第二学期数学分析B期末试题(A卷)答案

一. 1. 4,

6(2分, 2分) 3x(2z)2x2 2. , (2分, 2分) 32z(2z) 3.

20d11sincos12d, 22 (2分, 2分)

4. y2yxe 5.

22x, ye2xx3(C)(2分, 2分)

343, (0,) (2分, 2分) 35121 6. , , 0 (2分, 1分, 1分)

242 7. 8R(R21) (4分)

二. n{yz,xz,xy}…………………….(2分)

切平面 yz(Xx)xz(Yy)xy(Zz)0……………………(4分) 即 yzXxzYxyZ3xyz

三坐标轴截距 3x, 3y, 3z……………………(6分)

V199(3x)(3y)(3z)xyza2……………………..(8分) 622ax1三. 令t, 得级数(1)ntn, limn11, R1……………(2分)

na2n1nt1时, 级数(1)发散, 故(1)的收敛域为t(1,1)……………..(3分) 由1x11, 得原级数收敛域 3x1………………..(4分) 2n1 设 S(t)ntn1t0S(t)dttnn1t…………………(6分) 1tS(t)(t1)…………………(8分) 21t(1t)n(n1x1nx1)2212(x1)……………………..(9分) x12(x1)2(1)2四. I20d40d2cos0r3sindr………………………….(4分)

84sincos4d…………………………(7分)

08825cos4(1)………………………….(9分)

0558五. fx2xyfyx23y21………………(2分) 令fx0,fy0, 解得x0, y131313, 或x1, y0

得四点 P1(0,), P2(0,), P3(1,0), P4(1,0)………………..(4分) 23 在点P1, ACB240, A130

P1(0,)是极小点, f(P1)23是极小值………………..(6分) 9 在点P2, ACB240, A13230

P2(0,)是极大点, f(P2)23是极大值……………..(8分) 9 在点P3,P4, 都有ACB240, 故P3,P4不是极值点…………(10分) 六.

由题意, 有

YX……………………….(1分) xy即 2x(y)2(xy)(y)2y…………………….(3分)

(y)y2C…………………….(4分)

由(0)1, 得C1, 故 (y)1y2…………………….(5分)

dx(1y)2dy……………………(8分)

0012125……………………(10分) 33x21(1)n12nx…………………..(3分) 七. f(x)xn1n(1)n12n1(1)n12n1xx………………….(4分)

nnn1n1(1)n2n1xx………………………(6分)

n2n(n1) 收敛域为 x[1,1]………………………(8分) 八. 设S1:z2(x2y24), S2:z1(x2y21)

ISS1S2x3dydzy3dzdx(z1)dxdy………………..(1分)

S1S2SS1S2xdydzydzdx(z1)dxdy(3xV22013323y21)dV……………..(3分)

dzd(321)d0z349….………….(5分, 6分) 30322210…………….(8分)

49……………..(9分) 30f(x)九. 由 lima, 得 f(0)limf(x)0………………..(1分)

x0x0xf(x)f(0)f(0)lima……………….(2分)

x0xf(0)21f(0)11假设a0, 那么f(x)xo(x2), f()o() 222n2nnI11 由于2收敛, (1)n1f()收敛,

nn1n1n(1)n1n11f()绝对收敛 …...(5分) n11(1)n1f()f()nna lim假设a0, 有 limnn11nn11由于  发散, (1)n1f()发散…………….(7分)

nn1nn1但由于f(0)0及f(x)的连续性, 在x0的某邻域内有

11f(x)0, f(x)单调增, 故当n充分大时f()单调减少, 且f()0

nn故

1n1(1)f()收敛, 且为条件收敛……………(9分) nn1