北师大版高中数学必修四同步课时跟踪检测：必修4模块质量检测

(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

θθ

1．已知：θ为第三象限角且cos2＜0，2所在象限为( ) A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

θ

解析：∵θ为第三象限角，∴2为第二或四象限角． θθ

又∵cos2＜0，∴2为第二象限角． 答案：B

2．若1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( ) 1A．sin2 C.

11

πB．6 1

D．2sin2

sin2

解析：要求圆心角所对的弧长，需要知道圆的半径，这可以利用直角三角形获得．

答案：C

→和CD→是相反向量，则点D的

3．已知三点A(1,1)，B(－1,0)，C(0,1)，若AB坐标是( )

A．(－2,0) C．(2,0) 答案：B

π4．若f(x)＝tanx＋4，则( )

A．f(0)＞f(－1)＞f(1) B．f(0)＞f(1)＞f(－1)

B．(2,2) D．(－2，－2)

C．f(1)＞f(0)＞f(－1) D．f(－1)＞f(0)＞f(1)

3π

解析：f(x)的递增区间为kπ－4π，kπ＋4，k∈Z，

3π

又∵f(1)＝f(1－π)且－4π＜1－π＜－1＜0＜4， ∴f(0)＞f(－1)＞f(1－π)，即f(0)＞f(－1)＞f(1)． 答案：A

5．(2017·山东卷)函数y＝3sin2x＋cos2x的最小正周期为( ) πA.2 C．π

2πB．3 D．2π

π31

解析：y＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋cos2x＝2sin2x＋6，∴最小正周

222π

期T＝2＝π.

答案：C

1ππ6．(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sinx＋3＋cosx－6的最大值为( )

56

A.5 3C.5

πππ

解析：∵x＋3－x－6＝2，



ππππx＋3－＝sinx＋3， ∴cosx－6＝cos

21ππx＋∴f(x)＝5sin＋cosx－6＝ 36π

x＋5sin3.

6

∵x∈R，∴f(x)max＝5. 答案：A

π7．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cosx＋3，则下列结论错误的是( )



B．1 1D．5

A．f(x)的一个周期为－2π 8π

B．y＝f(x)的图像关于直线x＝3 π

C．f(x＋π)的一个零点为x＝6 π

D．f(x)在2，π单调递减



8ππx＋解析：f(x)＝cos的周期是2kπ(k∈Z，k≠0)，∴A正确；当x＝3时，x3ππππ

＋3＝3π，∴f(x)＝cosx＋3＝－1，∴B正确；∵f(x＋π)＝cosx＋π＋3，当x＝6

πππ2π

时，f(x＋π)＝cosπ＋2＝0，∴C正确；f(x)＝cosx＋3在2，3上单调递减；

2π

在3，π上单调递增，∴D错误． 

答案：D

8．(2017·全国卷Ⅰ)函数y＝

sin2x

的部分图像大致为( )

1－cosx

解析：函数y＝

sin2x

的定义域是{x|x≠2kπ，k∈Z}，易知为奇函数，其图

1－cosx

π0，像关于原点对称，故可排除B；又当x＝π时，y＝0，故可排除D；又当x∈2时，y>0，故可排除A.

答案：C

9．已知在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点P为边BC所在直线上的→·→＋AC→)的值，正确的是( )

一个动点，则关于AP(AB

A．为定值2 C．最小值为1

B．最大值为4 D．与P的位置有关

→|＝1.

解析：如图，取BC中点D，由题意知|AD

→·→＋AC→)＝AP→·→＝2|A→→|·→|2＝2. AP(AB2ADD|·|APcos∠DAP＝2|AD答案：A

π

10．若函数f(x)＝3sin2x－3的图像为C，则下列结论中正确的是( )

11π

①图像C关于直线x＝12对称； 2π

②图像C关于点3，0对称；



π5π③函数f(x)在区间－12，12内是增函数；



π

④由y＝3sin2x的图像向右平移3个单位长度可以得到图像C. A．①② C．①②③

B．②③ D．①②③④

11π11π11π11ππ

解析：当x＝12时，f12＝3sin6－3＝－3，此时直线x＝12经过函数



11π

图像的最低点，故直线x＝12是函数图像的对称轴，结论①正确；

2π4ππ2π

－f3＝3sin33＝0，图像C关于点3，0对称，结论②正确；

ππππ5ππ5π当x∈－12，12时，2x－3∈－2，2，所以函数f(x)在区间－12，12内是

增函数，结论③正确；

ππ函数y＝3sin2x的图像向右平移3个单位长度得函数y＝3sin2x－3＝

2π

2x－3sin的图像，显然结论④不正确． 3

答案：C

第Ⅱ卷(非选择题，共70分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

11．已知：a，b夹角为120°，且a＝(－2，－4)，|b|＝5，则a在b方向上的投影为________．

解析：|a|＝－22＋－42＝25.

1∴a在b方向上投影为|a|·cos120°＝25×－2＝－5.

答案：－5

12．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，λ

则μ＝________.

解析：记a＝(－1,1)，则b＝(5,3)－(－1,1)＝(6,2)，c＝(4,0)－(5,3)＝(－1，－3)．又∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)＝(－λ＋6μ，λ＋2μ)，∴－λ＋6μ＝－1， λ＋2μ＝－3，

1λ

∴λ＝－2，μ＝－2，∴μ＝4. 答案：4

π

13．函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜2的图像如右图所示，则y的表达式为________________．

解析：显然A＝2，

T2ππ

由2＝3－6，求出周期T＝π， ω＝2.

ππ由x＝6时，y＝2可求得φ＝6. π

∴y的表达式为y＝2sin2x＋6.

π

2x＋答案：y＝2sin 6

14．(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

解析：∵|e1|＝1，|e2|＝1，e1·e2＝0，∴(3e1－e2)·(e1＋λe2)＝3－λ，|3e1－e2|＝2，|e1＋λe2|＝1＋λ2.由题意得13

＝2.∴λ＝3.

3

答案：3 三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

π

15．(12分)(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3cos2x－3－2sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

1ππ(2)求证：当x∈－4，4时，f(x)≥－2. 33

解：(1)f(x)＝2cos2x＋2sin2x－sin2x 13

＝2sin2x＋2cos2x π

＝sin2x＋3.



2π所以f(x)的最小正周期T＝2＝π. ππ

(2)证明：因为－4≤x≤4，

3e1－e2·e1＋λe23－λ1

＝cos60°＝2，∴

|3e1－e2||e1＋λe2|21＋λ2

ππ5π

所以－6≤2x＋3≤6. π1π2x＋－所以sin3≥sin6＝－2. 1ππ所以当x∈－4，4时，f(x)≥－2. 1

16．(12分)已知sinα＋cosα＝－5. (1)求sinα·cosα的值； π1(2)若2<α<π，求sinα＋

1

的值．

cosπ－α

1

解：(1)∵sinα＋cosα＝－5， 1

∴(sinα＋cosα)2＝25， 1

即1＋2sinαcosα＝25， 12

∴sinα·cosα＝－25. (2)由(1)得，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝π

又2<α<π，∴sinα－cosα>0， 7

∴sinα－cosα＝5. 1∴sinα＋

cosα－sinα35111

＝sinα－cosα＝sinαcosα＝12. cosπ－α

49， 25

17．(12分)(2017·江苏卷)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．

(1)若a∥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． 解：(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－3)，a∥b，

所以－3cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.

3

于是tanx＝－3. 5π

又x∈[0，π]，所以x＝6.

π(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－3)＝3cosx－3sinx＝23cosx＋6.

ππ7π

因为x∈[0，π]，所以x＋6∈6，6，

3π从而－1≤cosx＋6≤2. 

ππ

于是，当x＋6＝6，即x＝0时，f(x)取到最大值3； π5π

当x＋6＝π，即x＝6时，f(x)取到最小值－23. 3

18．(14分)已知向量a＝sinx，2，b＝(cosx，－1)．

(1)当a∥b时，求2cos2x－sin2x的值；

π

(2)求f(x)＝(a＋b)·b在－2，0上的函数值的范围．

3

解：(1)∵a∥b，∴sinx·(－1)＝2·cosx， 3∴tanx＝－2，

3－22－2×2

2cosx－2sinx·cosx2－2tanx20

∴2cos2x－sin2x＝＝＝＝13. sin2x＋cos2xtan2x＋132

－2＋1311

(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋|b|2＝sinx·cosx－2＋cos2x＋1＝2sin2x＋2(1＋cos2x)π112

2x＋－2＝2(sin2x＋cos2x)＝2sin. 4

π3πππ

∵x∈－2，0，∴2x＋4∈－4，4，

π2

∴sin2x＋4∈－1，，

221∴f(x)∈－，，

22

21π

∴f(x)在－2，0上的函数值的范围为－，.

22

由Ruize收集整理。

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