初中难度几何100题

初中难度几何100题(总102页)

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第一题：

已知：ABC外接于⊙O，BAC60，AEBC，CFAB，AE、CF相交于点H，点D为弧BC的中点，连接HD、AD。 求证：AHD为等腰三角形

AFHOBEDC

2

第二题：

如图，F为正方形ABCD边CD上一点，连接AC、AF，延长AF交AC的平行线DE于点E，连接CE,且AC=AE。 求证：CECF

ADFEB

3

C

第三题：

已知：ABC中，ABAC，BAC20，BDC30。 求证：ADBC

ADB

C

4

第四题：

已知：ABC中，D为AC边的中点，A3C，ADB45。 求证：ABBC

BA

DC

5

第五题：

如图，四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点E，BAC50，ABD60，CBD20，CAD30，ADB40。求ACD。

ABEDC

6

第六题：

已知，ABC30，ADC60，ADDC。求证：AB2BC2BD2

ABDC

7

第七题：

如图，PC切⊙O于C，AC为圆的直径，PEF为⊙O的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D。

求证：四边形ABCD为平行四边形

ABPEODFC

8

第八题：

已知：在ABC中，ABAC，A80，OBC10，OCA20。 求证：ABOB

AOB

C

9

第九题：

已知：正方形ABCD中，OADODA15，求证：OBC为正三角形。

AODB

C

10

第十题：

已知：正方形ABCD中，E、F为AD、DC的中点，连接BE、AF，相交于点P，连接PC。 求证：PCBC

AEDPFBC

11

第十一题：

如图，ACB与ADE都是等腰直角三角形，ADEACB90，

CDF45，DF交BE于F，求证：CFD90

ADEFC

B

12

第十二题：

已知：ABC中，CBA2CAB，CBA的角平分线BD与CAB的角平分线

AD相交于点D，且BCAD。

求证：ACB60

CDB

A

13

第十三题：

已知：在ABC中，ACBC，C100，AD平分CAB。 求证：ADCDAB

CDA

B

14

第十四题：

已知：ABC中，ABBC，D是AC的中点，过D作DEBC于E，连接

AE，取DE中点F，连接BF。

求证：AEBF

BEFA

DC

15

第十五题：

已知：ABC中，A24，C30，D为AC上一点，ABCD，连接

BD。

求证：ABBCBDAC

BA

DC

16

第十六题：

已知：ABCD与A1B1C1D1均为正方形，A2、B2、C2、D2分别为AA1、BB1、

CC1、DD1的中点。 求证：A2B2C2D2为正方形

A1B1A2D1C1D2AB2C2DB

17

C

18

第十七题：

如图，在ABC三边上，向外做三角形ABR、BCP、CAQ，使

CBPCAQ45，BCPACQ30，ABRBAR15。

求证：RQ与RP垂直且相等。

CPQBA

R

19

第十八题：

如图，已知AD是⊙O的直径，D是BC中点，AB、AC交⊙O于点E、F，

EM、FM是⊙O的切线，EM、FM相交于点M，连接DM。

求证：DMBC

AEOFBDCM

20

第十九题：

如图，三角形ABC内接于⊙O，两条高AD、BE交于点H，连接AO、OH。若AH2，BD3，CD1，求三角形AOH面积。

AEOBHCD

21

第二十题：

如图，DAC2x，ACB4x，ABC3x，ADBC，求BAD。

AB

DC

22

第二十一题：

已知：在RtABC中，ABC90，D为AC上一点，E是BD的中点，

12。

求证：ADB2ABD

BE1A

2DC

23

第二十二题：

已知正方形ABCD，P是CD上的一点，以AB为直径的圆⊙O交PA、PB于

E、F，射线DE、CF交于点M。

求证：点M在⊙O上。

AEMOFB

24

DPC

第二十三题：

已知，点D是ABC内一定点，且有DACDCBDBA30。 求证：ABC是正三角形。

ADB

C

25

第二十四题：

如图，过正方形的顶点A的直线交BC、CD于M、N，DM与BN交于点L，

BPBN，交DM于点P。

求证：（1）CLMN；（2）MONBPM

ABOMLDCNP

26

第二十五题：

已知：在正方形ABCD中，E是CD上一点，AE交BD于点G，交BC的延长线于点F，连接OF，交CD于点H，连接GH。 求证：（1）当且仅当E为CD中点时，OGGHAO； （2）SHCFCFCH 4AGOHB

DECF

27

第二十六题：

已知：ABCD与AEFG均为正方形，连接CF，取CF的中点M，连接DM、

ME。

求证：MDE为等腰直角三角形

BGACMFDE

28

第二十七题：

四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且ABAD，AOOC。请你猜想ABBO与BCOD产数量关系，并证明你的结论。

ABODC

29

第二十八题：

已知：四边形ABDC中，ABCACB58，CAD48，BCD30，求BDA的度数。

ABCD

30

第二十九题：

在ABC中，D是AB的中点，DAC2DCA，DCB30，求B的度数。

BDA

C

31

第三十题：

在四边形ABCD中，ADCD，ACBD，ABAC，求BEC的度数。

DAEB

C

32

第三十一题：

在RtABC中，ACB90，CAB60，CDAB，M、N为直线AB上的两点，且MCANCB8，求EMD的度数。

CEMA

DBN

33

第三十二题：

如图，ABC中，BDAC于D，E为BD上一点，且ABD38，

CBD68，BCE14，DCE8，求DAE的度数。

BEA

DC

34

第三十三题：

CD为⊙O的直径，A、B为半圆上两点，DE为过点D的切线，AB交DE于

E，连接OE，交CB于M，交AC于N。

求证：ONOM

NBACOEDM

35

36

第三十四题：

如图，四边形ABCD中，BCCD，BCA21，CAD39，

CDA78，求BAC的度数。

CBAD

37

第三十五题：

如图，四边形ABCD中，ADCD，BAC10，ABD50，

ACD20，求CBD的度数。

BAD

C

38

第三十六题：

如图，BDCE，G、H为BC、DE中点，ABAC，FDFE，

BACDFE。

求证：AF//GH

ABGCFDHE

39

第三十七题：

如图，在正方形ABCD中，有任意四点E、F、G、H，且EF4、

GH3，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积。

AGEDHB

FC

40

第三十八题：

已知，2C3B，2BCAB，求A。

CA

B

41

第三十九题：

在ABC中，ABC60，D是BC边上一点，DCAB，DAB21，求

C。

AB

DC

42

第四十题：

在ABC中，ABAC，D为BC边上一点，E为AD上一点，且满足

BDE2CEDBAC。

求证：BD2CD。

AEB

DC

43

第四十一题：

已知，FC是正方形ABCD和正方形AEFG上的点F、C的连线，点H是FC的中点，连接EH、DH。 求证：EHDH且EHDH。

EAFHGB

DC

44

第四十二题：

已知：CADDAB10，CBD40，DBA20，求证：CDB70

CDA

B

45

第四十三题：

如图，E、F分别是圆内接四边形ADBC的对角线AB、CD的中点，若

DEBCEB。

求证：AFDBFD

ADEFBOC

46

第四十四题：

已知：ABAC，ADB60，BCE30。 求证：BABE

AEDB

C

47

第四十五题：

已知：直角三角形ABC，A为直角，I为内心，BD、CE分别为两内角平分线。

IBC的面积为S。求四边形BCDE的面积。

AEIB

DC

48

第四十六题：

ABACCDDE，且BEBD，求EBD的度数。

AED

BC

49

第四十七题：

如图，ABC≌CDE，DABC90，点B在CD上，AB、CE交于

F，过B作BGAC于G，交CE于H，连接AH并延长，交CD于I，设

ABx，BCy。（xy）

求：（1）AH的长（用x，y表示）；（2）

BC的值。 ICAEFHD

GC

BI50

第四十八题：

在ABC中，ADBC，P是ABC外接圆O上一点，点P关于AB、AC的对称点为点E、F，连接EF与AD交于点H，求证：H是ABC的垂心。

AFHEBDOCP

51

第四十九题：

如图，点D、E分别在AC、AB上，BD与CE交于点O，ADAE，

OCOB。

求证：ACAB （寻求直接证法）AEDOBC

52

第五十题：

以任意四边形四条边为基础向外做正方形，连接相对两正方形的中心。求证：这两条线段垂直且相等。

GHFOAENBPDCJIMLK

53

第五十一题：

如图，ABC为一普通三角形，求证：AB2PCAC2PBBC(AP2PBPC)

ABPC

54

第五十二题：

ABC中，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于P，ADAE；若BEPBCDPC，求证：ABAC。（直接证明）

AEPB

DC

55

第五十三题：

如图，O、I分别为ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上，ABAC，求证：ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径。

AOIB

DC

56

第五十四题：

如图，三角形BDC和三角形BEA都是等腰直角三角形，BDCBEA90，连接AC，取AC中点F，连接EF、DF、DE，证明三角形DEF是等腰直角三角形。

DEAFBC

57

第五十五题：

ABC中，CACB，D、E分别在CA、CB上，并且CECD，过C、D作

AE的垂线分别交AB于G、H，若ACB90,求证：BGGH。

CDEA

HGB

58

第五十六题：

P是ABC内一点，PBAPCA，D是BC中点，过点P分别作BAC内外

角平分线的垂线，垂足为E、F，求证：D、E、F三点共线。

AFEPB

DC

59

第五十七题：

已知，ABC，BCA90，过C作AB的垂线，垂足为D点，设X是线段

CD内部的一个点，K在线段AX上，满足BKBC；类似地，L在线段BX上，满足ALAC。令M为AL与BK的交点，证明：MKML

CXLKA

MDB

60

第五十八题：

A100，DC平分C，CAE20，求CDE

ADB

EC

61

第五十九题：

四边形ABCD内接于圆，其边AB、DC的延长线交于点P，AD和BC的延长线交于点Q，过Q作该圆的两条切线，切点分别为E、F，求证：P、E、F三点共线。

AEOBCFDP

Q

62

第六十题：

在锐角ABC中，AC、BC切内接圆于点E、D，在AC、BC上取点Q、

P，使得CQAE、CPBD，BQ交AP于点M，把AP与圆的交点离A近的

记作点N。 求证：PMAN

ANMQEB

PDC

63

第六十一题：

在ABC中，D是AB的中点，DAC2DCA，DCB30，求B的度数。

BDA

C

64

第六十二题：

如图，MN为ABC边BC的中垂线，MN交ABC的外接圆于M、N，交BC于D，过D做AN的平行线，P为该平行线上一点，过P作直线与PM垂直交

ABC于E、F。

求证：PEPF

MAEPFBDCN

65

第六十三题：

四边形ABCD是正方形，CE=EF，CEF90，连接AF，G是AF中点，连接GD、GE。求证：GDGE且GDGE。

BGEFAC

D

66

第六十四题：

设点I、H分别为锐角ABC的内心和垂心，点B1、C1为两边中点，射线B1I交边AB于点B2（B2B），射线C1I交AC的延长线于点C2，B2C2与BC相交于K，A1为BHC的外心。

求证：A、I、A1三点共线的充要条件是BKB2和CKC2面积相等。

AC1B2BHB1IKCC2A1

67

第六十五题：

如图，ABC的内切圆I切AB、BC、AC于点D、E、F，直线EF与AI、

BI、DI交于点M、N、K。

求证：DMKEDNKF

CFNKMIEA

DB

68

第六十六题：

四边形ABCD内接于⊙O，两对角线交于H两组对边分别相交于P、Q。 求证：H为OPQ的垂心

AOBHCP

DQ

69

第六十七题：

ABAC，BAC80，PBC20，PCB40，求APB的大小。

APB

C

70

第六十八题：

过圆外一点A作圆的切线AC、AD，再作割线AEF，分别经E、F作圆的切线相交于B，求证：B、C、D三点共线。

BDEAOFC

71

第六十九题：

两个半径不等的圆满K1、K2交于A、B两点，C、D为K1、K2上两点且

ACAD，CB交⊙K2于F，DB交⊙K1于E，CD、EF的中垂线交于P。

求证：CA、PA、EP构成直角三角形。

DACK2K1BE

FP

72

第七十题：

如图，ABC中，BAC60，AB2AC，点PABC内，且PA3，

PB5，PC2，求ABC的面积。

APB

C

73

第七十一题：

若ABC为等边三角形，O为其内接圆，D为O上一点，证明或否证：

AD2BD2CD2为定值。

ABODC

74

第七十二题：

ABC的内切圆I切BC于D，M是高AH的中点，DM交圆于R，求证：DR平分BRC。

ARMIBDHC

75

第七十三题：

如图，正三角形ABC，以A为顶点向外作两个正三角形ADE和AGF，连接

EF、DB、CG，取EF、DB、CG中点M、K、N连接。

求证：三角形KNM为正三角形

FMEADKB

CNG

76

第七十四题：

如图，F为三角形ABC内一点，AFBAFC，G是AF上的点，直线BG、

CG分别交AC、AB于D、E，求证：EFADFA

AEDGFCB

77

第七十五题：

如图，ABC中，分别在AB、AC上取点D、E，使得BDCE，连接BE、CD相交于点

P，点M是BC的中点，BAC的平分线AQ与PM相交于点Q，DQ与BE交于点K，EQ与CD交于点T.

求证：（1）四边形BPCQ是平行四边形 （2）

（3）SABKSBKQSACTSCTQ （4）

BKBE CTCDSBKQSCTQAB ACADPKBMQ

ETC

78

第七十六题：

如图，平行四边形ABCD，E、F、H分别为BC、AD、BD中点，G为DC上任一点，GE、DB延长线交于J点，连接JF，取JF上的点I，使得

IH//AD，连接IE，求证：IE//FG

JBECIHGA

FD

79

第七十七题：

如图，四边形ABCD是圆满内接四边形，对角线ACBD，E是AB、DC交点，F是AD、BC交点，L、M是AC、BD的中点，连接LM和EF 求证：

LM1ACBD() EF2BDACFDCMLOABE

80

第七十八题：

如图，四边形ABCD各边都相等，ABC60，FD与BA延长线交于E点，延长BC至F，连接FA、CE，交点为M，连接CA 求证：CA2CMCE

FCMDB

AE

81

第七十九题：

如图，三角形ABC，D为BC上的点，过B作BEAE，交AD延长线于E，作CFAD交AD于F，G为BC中点，连接FG与GE 求证：FGGE

AFCGDEB

82

第八十题：

三角形ABC，O重心，过O作任一直线交AB、AC于X、Y，求证：OX≤

2OY

AXOB

YC

83

第八十一题：

如图，三角形ABC，以AB、AC为底边向外作等腰ABD和ACE，

ADBD，AECE，DABEAC，F、G、H、I、J分别为AD、AE、EC、BD、BC中点，连接FH、IG、AJ，求证：FH、IG、AJ三线

共点.

FDAGEIHB

JC

84

第八十二题：

如图，A为圆外一点，AB、AC为圆两条切线，切点为B、C，ADE为圆任意一条割线，交圆于D、E，在圆上取一点F，连接BF使得BF//DE，连接

CF交DE于G.求证：G为DE中点.

BFADGC

OE

85

第八十三题：

如图，以任意ABC三边分别向内侧作三个正三角形BCD、ABE、ACF，连接AD并延长与CE相交于G，求证：F、B、G三点共线.

ADEGBCF

86

第八十四题：

如图，AC、BD为圆内两条不平行的弦，分别延长后相交于点S，另过A、B分别作圆的两条切线PA、PB，相交于P，连接BC、AD，交点为Q，求证：

P、Q、S三点共线.

ACPOQDB

S87

第八十五题：

P是是圆O外一点，过P点作圆O的两条切线PA、PB，切点为A、B，M为

弦AB中点，C为圆O上优弧AB上的任一点，连接CM、CP。 求证：ACPBCM

COAMBP

88

第八十六题：

已知，H是ABC垂心，BDAC，O是ABH外心，点M是AH中点，

CM、OD交于G，过C作CE//GH，交AH延长线于E。

求证：ODDE

AOMGBHDCE

89

第八十七题：

已知，锐角ABC的外接圆为⊙O，AD是直径，过点B、C作BC垂线交直线

CA、BA于点E、F。

求证：BEDADF

FEAOCBD

90

第八十八题：

设A、B、C、D是圆上四点，点P满足条件APCBPD，AC与BD交于点E，⊙PAB与⊙PCD交于P、F两点，求证：APEFPD。

PAEDCFB

91

第八十九题：

如图，AB为⊙O的任意一条弦，E、F为AB三等分点，P为劣弧AB上一点，延长PE、PF分别交⊙O于C、D。 证明；ACBDCDEF

PAEFOBDC

92

第九十题：

如图，PB、PC交矩形ABCD的对角线于E、F，DE与AF交于点Q。 求证：PQBC

PAQEFDB

C

93

第九十一题：

已知，点D、E、F分别是BC、AC、AB上三点，AEF、CED、BDF垂心分别是G、H、I。 求证：SDEFSGIH

AGFEHDC

B

I94

第九十二题：

如图，在ABC中，ABAC，内切圆I与边BC切于点D，AD交内切圆I于另一点E，圆I的切线EP交BC的延长线于点P，CF//PE，交AD于点F，直线BF交圆I于点M、N。 证明：ENPENQ

AEIFNQMB

DCP

95

第九十三题：

已知，BAC90，AHBC于点H，点J、I、S分别是ABH、

ACH、ABC的旁心，S在BC上的射影是E，过J、I分别作JE、IE作垂

线交于点G。

求证：（1）四边形EJGI是正方形（2）SG//AE且SGAE

AHBECJIGS

96

第九十四题：

如图，四边形ABTG、ACDE是正方形，线段BC的中点是K，求证：TEK的面积=GDK的面积。

GEATDBKC

97

第九十五题：

如图，在ABC中，设ABAC，过A作ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D；交直线l于E、F。 求证：直线DE、DF分别通过ABC的内心与一个旁心。

AFECDB

98

第九十六题：

如图，ABCD是圆内接四边形，AC与BD的交点为P，E是弧AB上一点，连接EP并延长交DC于点F，点G、H分别在CE，DE的延长线上，满足

EAGFAD，EBHFBC，求证：C、D、G、H四点共圆。

GEAHBPDFC

99

第九十七题：

如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M。

求证：若OKMN，则A、B、C、D四点共圆。

AOBKDCN

M

100

第九十八题：

如图，圆I内切于圆O，切点为P，圆O的弦AB切圆I于点Q，PQ的延长线交圆O于点M，MN为圆O的直径，过点P作PA的垂线交AN于点C，求证：

C、I、Q三点共线。

PCNIOQAMB

101

第九十九题：

2013年中国西部数学奥林匹克几何题

已知PB、PC是⊙O的切线，点G在⊙O上，PGEF，其中OE、OF分别是BOG、COG的角平线。 求证：EGGF

PGBECOF

102

第一百题：

设ABC中，BAC60，ATCBTCCTA120，点M是BC的中点。

求证：TATBTC2AM

ATB

MC

103

第一百零一题：

如图：O、H是ABC的外心和垂心，D、F分别是BC、AB的中点；P、Q分别在BA、BC上，且满足DPDH，FQFH。 求证：PQOH

AFOHQP

BDC

104