新高考数学备考专题 概率统计考点真题训练(解析版)

一、单选题

1．（2022·广西玉林·模拟预测（文））2021年7月20日郑州特大暴雨引发洪灾，各地志愿者积极赴郑州救灾.某志愿小组共6人，随机派两人去执行某次抢救任务，则甲乙两人没有同去的概率为（ ） A．

1 153B．

5C．

14 15D．

11 33【答案】C 【分析】

利用列举法，结合古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】

6个人即为1，2，3，4，5，6代表，派遣的可能情形有：

(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，

(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种情形，甲乙同去占一种情形，

则不同去的概率为故选：C.

15114. 15152．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（ ）

A．32 【答案】D 【分析】

B．45 C．64 D．90

根据近视率求出三个年级的近视的人数，结合抽样比例可得答案. 【详解】

近视的学生中，高一、高二、高三学生数分别为180人，320人，450人， 由于抽取到的高一学生36人，则抽取到的近视学生中高三人数为90人. 故选：D.

3．（2021·江苏·高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）

A．14条 【答案】B 【分析】

B．12条 C．9条 D．7条

根据分步乘法计算原理即可求解. 【详解】

由图可知，由①④有3条路径，由④⑥有2条路径，由⑥⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①⑧共有32212条路径. 故选：B

4．（2021·全国·高考真题（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C 【分析】

根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C. 【详解】

因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%,故A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%,故B正确；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为

0.100.140.2020.6464%50%,故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.02(万元)，超过6.5万元，故C错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C. 【点睛】

本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于

频率组距. 组距5．（2020·全国·高考真题（文））设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据

10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A．0.01 【答案】C 【分析】

根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果. 【详解】

(i1,2,因为数据axib，,n)的方差是数据xi，(i1,2,,n)的方差的a2倍，

B．0.1 C．1 D．10

所以所求数据方差为1020.01=1 故选：C 【点睛】

本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．（2021·宁夏银川·模拟预测（理））在研究某高中高三年级学生的性别与是否喜欢某学科的关系时，总共调查了N个学生（N100m,mN），其中男女学生各半，男生中60%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢；女生中40%表示喜欢该学科，其余表示不喜欢．若有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，则可以推测N的最小值为（ ）

n(adbc)2附K，

(ab)(cd)(ac)(bd)2PK2k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 k A．400 【答案】B 【分析】

B．300 C．200 D．100

根据题目列出22列联表，再根据列联表的数据计算K2值，进而得到关于m的关系式，求解即可. 【详解】

由题可知，男女各50m人，列联表如下：

男 女 总计 喜欢 30m 20m 50m 2不喜欢 20m 30m 50m 总计 50m 50m 100m K2=100m900m2400m250505050m44m，

有99.9%把握认为性别与是否喜欢该学科有关，

4m10.828，解得m2.707，

mN，

m3，

Nmin300.

故选：B

7．（2021·江西·南昌市八一中学三模（文））已知变量y关于x的回归方程为yebx0.5，其一组数据如表所示：若x5，则预测y值可能为（ ）

x 1 e 2 e3 3 4 e6 y A．e5 【答案】D 【分析】

e4 B．e2

11C．e7

D．e2

15将回归方程左右同时取对数得：lnybx0.5，看作回归直线的形式，由回归直线过样本中心点可构造方程求得b，由此得到回归方程；将x5代入回归方程即可求得结果. 【详解】 由yebx0.5lnelne3lne4lne61234b0.5， 得：lnybx0.5，4415解得：b1.6，回归方程为ye1.6x0.5，若x5，则ye80.5e2.

故选：D. 【点睛】

关键点点睛：本题考查非线性回归中的预估值的求解，解题关键是能够通过对指数型回归模型左右同时取对数，将其变为线性回归的形式来进行求解.

8．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对x,y，再统计x、y两数能与1构成钝角三角形时的数对x,y的个数m，最后再根据m来估计π的值.假如统计结果是m60，那么π（ ） A．

16 56B．

5C．

78 25D．

142 45【答案】A 【分析】

通过实验结果可满足条件的面积为

π1

，由几何概型计算公式所得出所取得点在圆内的42

概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值. 【详解】

由实验结果可知200对正实数对x,y对应的区域面积为1，x、y两数能与1构成钝角三角1，此时面积为， 形时的数对x,y，满足x2y2＜1，且x、y都小于1，xy＞21满足条件的对数为m，因而满足条件的面积为

π1

，由几何概型计算公式所得出所取得42

π16016点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即，估计π的值为.

422005故选：A.

二、多选题

9．（2021·广东实验中学模拟预测）以下四个命题中真命题是（ ）

A．为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40

B．线性回归直线ybxa恒过样本点的中心x,y C．随机变量服从正态分布N2,20，若在,1内取值的概率为0.1，则在

2,3内的概率为0.4

D．概率值为零的事件是不可能事件 【答案】BC 【分析】

根据概率统计相关概念和性质，逐项分析判断即可得解. 【详解】 对A，由

800=20，所以分段间隔k为20，故A错误； 40对B，根据线性回归方程的性质可知回归直线ybxa恒过样本点的中心x,y， 故B正确度 ；

对C，由正态分布的性质可得正态分布密度曲线关于x2对称， 故在(,2)内取值的概率为0.5，由在,1内取值的概率为0.1，

所以在1,2内的概率为0.4，由对称性可得故在2,3内的概率为0.4，故C正确； 对D，对于连续型随机变量的情况下，某特定点被取到的概率为零，但是可能发生， 并不是不可能事件，故D错误. 故选：BC.

10．（2021·山东烟台·二模）某教练组为了比较甲、乙两名篮球运动员的竞技状态，选取了他们最近10场常规赛得分制成如图的茎叶图，则从最近10场比赛的得分看（ ）



A．甲的中位数大于乙的中位数 C．甲的竞技状态比乙的更稳定 【答案】AC 【分析】

B．甲的平均数大于乙的平均数 D．乙的竞技状态比甲的更稳定

由茎叶图求甲乙的中位数、平均数、方差，即可判断各选项的正误. 【详解】

由茎叶图知：甲的得分为8,12,15,21,23,25,26,28,30,34；乙的得分为

7,13,15,18,22,24,29,30,36,38，

A：甲、乙中位数分别为确；

B：甲的平均数

2325222424、23，即甲的中位数大于乙的中位数，正22812152123252628303422.2，乙的平均数

10713151822242930363823.2，甲的平均数小于乙的平均数，错误；

101101102222C：甲的方差s1(xi22.2)61.56，乙的方差s2(xi23.2)92.56，即

10i110i12s12s2，甲的竞技状态比乙的更稳定，正确，故D错误.

故选：AC.

11．（2022·全国·模拟预测）受疫情影响，全球经济普遍下滑.某公司及时调整产研策略，加大研发力度，不断推出新的产品，使2021年的经济由亏转盈，并健康持续发展.下表为2021年1月份至6月份此公司的经济指标y(万元)与时间x(月份)的关系:

x 1 m1 2 3 4 m2 5 6 y 0.3 2.2 4.5 m3 m1m2m36.5，其对应的回归方程为y0.7xa，则下列说法正确的有（ ） 其中 A．y与x负相关 B．a0.2

C．回归直线可能不经过点3.5,2.25 D．2021年10月份的经济指标y大约为6.8 【答案】BD 【分析】

由线性回归方程可直接判断A，由所给数据求出x,y（可判断C），代入回归方程可求a；将x10代入求y可判断D. 【详解】

由回归方程中x的系数0.7为正数，知y与x正相关，故A选项错误﹔ 由题意可知x111234563.5，ym10.32.2m24.5m32.25 66所以a2.250.73.50.2,所以y0.7x0.2，故B选项正确； 回归直线过点x,y，即过点3.5,2.25，故C选项错误﹔ 令x10,得y0.7100.26.8，故D选项正确. 故选：BD.

12．（2021·湖南·模拟预测）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分m处（m为正整数），按这种分法，下列结论正确的是（ ） 3A．为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是

41B．为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是

4C．为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1

1D．为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是

4【答案】ACD 【分析】

由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列an，利用等差数列前n项和公式得到an的首项和公差，再分类讨论分别求出每种情况中男、子、伯、侯、公五个等级分到的领地数，再利用概率对四个选项逐一分析，即可得正确选项. 【详解】

由题意可知，五位诸侯分得的领地成等差数列an，设其前n项和为Sn， 则5a154m50，得a12102m．因为a1，m均为正整数，所以有如下几种情况：

a18a16a14a12，，，共4种情况，每种情况各位诸侯分到领地的处数如下表m1m2m3m4所列：

a18，m1 男 8 子 9 伯 10 侯 11 公 12 a16，m2 a14，m3 6 4 2 8 7 6 10 10 10 12 13 14 14 16 18 a12，m4 3由表中数据可知：为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是；故选项A正确；

4为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是

41；故选项B不正确； 441；故选项C正确； 4为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是

1为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是，故选项D正确；

4故选：ACD．

三、填空题

13．（2021·山东·高考真题）打算从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采纳系统抽样方式，为此将他们一一编号为1~500，并对编号进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第五个号码段中抽出的号码应是______． 【答案】42 【分析】

由题设，根据等距抽样的特点确定第五个号码段中抽出的号码即可. 【详解】

从500名学生中抽取50名，那么每两相邻号码之间的距离是10， 第一个号码是2，那么第五个号码段中抽取的号码应是241042. 故答案为：42

14．（2022·云南昆明·一模（理））抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各

2个，抽奖规则为：每次从中随机抽取2个小球，按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽

到每个红球获得价值5元的奖品，每个白球获得价值1元的奖品，黑球不能获得奖品．抽奖一次，所得奖品的价值为6元的概率是__________． 【答案】

4 15【分析】

根据所得奖品的价值为6元可以确定红球、白球的个数，结合古典概型计算公式进行求解即可. 【详解】

因为抽到每个红球获得价值5元的奖品，每个白球获得价值1元的奖品， 所以当所得奖品的价值为6元时，必有一红一白，

11C2C24因此所得奖品的价值为6元的概率为：， C6215故答案为：

4 1515．（2021·全国全国·模拟预测）在某次篮球比赛中，运动员甲有两次定点投篮的机会，每次投篮投中得2分，投不中得0分.已知甲第一次定点投篮投中的概率为0.8，受心理因素的影响，若甲第一次投中，则第二次投中的概率将增加0.1；若甲第一次投不中，则第二次投中的概率将减少0.2.则这两次定点投篮中，甲总共获得2分的概率为___________. 1【答案】0.2

5【分析】

利用互斥事件概率公式即得. 【详解】

甲总共获得2分说明两次投篮中甲恰好投中一次，记所求概率为p， 则p0.8(10.9)(10.8)0.60.2. 故答案为：0.2.

1116．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为2和．假定两球是否

3落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

12【答案】

36【分析】

根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率. 【详解】

11甲、乙两球落入盒子的概率分别为,，

23且两球是否落入盒子互不影响，

111所以甲、乙都落入盒子的概率为，

236111甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1)(1)，

2332所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

312故答案为：；.

63【点睛】

本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.