3勾股定理的应用
一、选择题（共8小题）
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3．将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（ ）
A. π B. 3π C. 9π D. 6π
2. 为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小X搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（ ） A. 0.7米 B. 0.8米 C. 0.9米
3. 小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米．小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（ ）
A. 锐角弯 B. 钝角弯 C. 直角弯 D. 不能确定
4. 如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）X围是（ ）
A. 5≤a≤12 B. 5≤a≤13 C. 12≤a≤13 D. 12≤a≤15
5. 一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（ ）组．
A. 13，12，12 B. 12，12，8 C. 13，10，12 D. 5，8，4
6. 如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）
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A. 3m B. 5m C. 7m D. 9m 7. 如图，带阴影的长方形面积是（ ）
A. 9 cmB. 24 cmC. 45 cm D. 51 cm
8. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
2222
A. 5 B. 25 C. 10+5 D. 35
二、填空题（共5小题）
9. 如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______． 10. 如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等干4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是______cm．（π取3）
11. 如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC=______．
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12. 如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm、和10cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是______cm．
13. 如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走______cm．（杯子厚度忽略不计）
三、解答题（共4小题，满分38分）
14. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．
15. 如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
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16. 有一个长、宽、高分别为12cm，4cm，3cm的长方体铁盒，铁盒内能放入的最长的木棒长为多少？
17. 印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅” 请用学过的数学知识回答这个问题．
答案
一、选择题 1. 【答案】C
【解析】圆环的面积=π•AB2-π•BC2=π（AB2-BC2），在直角△ABC中，根据勾股定理得到AC2=AB2-BC2，因而圆环的面积是π•AC2=9π．故选C． 考点：圆的认识． 2. 【答案】A
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【解析】由题意分析，满足2.5是该直角三角形的斜边，所以需要满足条件考点：勾股定理
点评：本题属于对勾股定理的基本知识的理解和运用以及分析 3. 【答案】C
，故选B
【解析】∵小华从家到学校走直线用了10分钟，速度是每分钟走50米，∴小华家到学校的直线距离=50× 10=500（米）；∵小刚到小明家用了6分钟，∴小刚到小明家的距离=50×6=300（米）；∵小明家到学校用了8分钟，∴小明家到学校的距离=50×8=400（米）．∵300+400=500，∴小刚上学走了个直角弯．故选C． 4. 【答案】C
【解析】a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：12≤a≤13．故选C． 5. 【答案】C
【解析】等腰三角形的高把等腰三角形分成两个直角三角形，腰为斜边，高和底边长一半为直角边，因此由三角形的三边关系及勾股定理即可解答.每组线段中最长线段为腰，另两条线段中一条为高，一条为底.利用三角形的三边关系判定即可得到哪条是底边，哪条是高.通过验证只有选项C符合题意. 考点：等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理
点评：综合运用等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理、三角形三边关系定理进行判断． 6.【答案】A
【解析】连接OA，交⊙O于E点，在Rt△OAB中，OB=6，AB=8，所以OA=所以AE=OA-OE=4．因此选用的绳子应该不大于4，故选A．
=10.又因为OE=OB=6，=13．即a的取值X围是
2
2
2
7.【答案】C
【解析】由图可知，△ABC是直角三角形，∵AC=8cm，BC=12cm，∴AB==15×3=45cm2．故选C．
=15cm，∴S阴影
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8. 【答案】B
【解析】将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图①，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得：AB=AB=
．（2）如图②，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得，．（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形
成一个长方形，如图③.∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD= 10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=，故选B．
；由于25＜5
＜5
①②③
点睛：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 二、填空题 9. 【答案】54cm2
【解析】根据勾股定理，得直角三角形的另一条直角边是＝54（cm）．故答案为：54cm． 10.【答案】20
【解析】本题考查的是两点之间线段最短先将图形展开，再根据两点之间线段最短及勾股定理即可得到结果．如图，将圆柱体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，根据题意可得：AC是圆周的一半，
，
2
2
＝9（cm）．则直角三角形的面积＝×12×9
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11.【答案】17
【解析】以MN为轴作A点对称点A′，连接A′B交MN于C，则A′B就是AC+BC最小值；根据勾股定理求得A′B的长，即可求得AC+BC的最小值．作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，则AC+BC=A′C+ BC=A′B，A′B就是AC+BC的最小值；延长BN使ND=A′M，连接A′D，∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴AA′∥BD， ∴四边形A′DNM是矩形，∴ND=AM=3，A′D=MN=15，∴BD=BN+ND=5+3=8，∴A′B=故答案为17．
=17，∴AC+BC=17，
考点：轴对称-最短路线问题． 12. 【答案】5
【解析】由题意知：盒子底面对角长为
cm，盒子的对角线长：
cm，细木棒长
25cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是：25-20=5cm． 考点：勾股定理的应用． 13.【答案】10
【解析】将圆柱的侧面展开成平面，其形状是一个矩形，如图是展开图的一半，将A点对称到A′点，线段A′B的长就是所求的最短距离，在Rt△A′BE中，BE=×12=6cm，A′E=AE+AA′=8cm，则AB=10cm，小虫要到A处饱餐一顿至少要走10cm．
=
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三、解答题 14.【答案】12cm
【解析】本题设旗杆高为x m，表示出绳子的长，利用勾股定理列出方程即可. 解：设旗杆的高AB为x m,则绳子AC的长为(x+1) m. 在Rt△ABC中,AB+BC=AC, 即x2+52=(x+1)2. 解得x=12.∴AB=12 m. ∴ 旗杆高12 m. 15. 【答案】15.
【解析】先根据题意，正确画出图形，还要根据题意确定已知线段的长，再根据勾股定理列方程进行计算． 解：设BD=x米，则AD=（10+x）米，CD=（30-x）米. 根据题意，得：（30-x）2-（x+10）2=202， 解得x=5．
即树的高度是10+5=15米． 16. 【答案】13cm.
【解析】本题根据题目中所给的信息，可以构造出直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 解：如图，
2
2
2
木棒的长为
17.【答案】3.5尺.
=13（cm）．
【解析】首先设湖水深x尺，则荷花(x+1)尺，然后根据勾股定理求出x的值，得出答案.
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解：设湖水深x尺，则荷花(x+1)尺，根据勾股定理定理可得：解得：x=12 即湖水深12尺. 考点：勾股定理的应用
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