湖南省娄底市新化县2016届中考数学一模试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把你认为符合题目要求的选项填在表中相应的题号下． 1．2016的相反数是（ ）
A． B．﹣2016 C．﹣ D．2016
2．某市户籍人口1694000人，则该市户籍人口数据用科学记数法可表示为（ ）
A．1.694×104人 B．1.694×105人 C．1.694×106人 D．1.694×107
人 3．下列运算错误的是（ ） A．
=1 B．x2
+x2
=2x4
C．|a|=|﹣a| D． =
4．解不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B．
C．
D．
5．对于函数y=，下列说法错误的是（ ） A．这个函数的图象位于第一、第三象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小
6．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（ ）
A．70° B．60° C．55° D．50°
7．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（
A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 8．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
1
）
A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
9．某学校小组5名同学的身高（单位：cm）分别为：147，151，152，156，159，则这组数据的中位数是（ ）
A．147 B．151 C．152 D．156
2
10．二次函数y=﹣x+2x+4的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 11．8的立方根是 ．
2
12．分解因式：2x+4x+2= ．
13．将直线y=3x+1向下平移4个单位后，所得直线的表达式是 ．
14．如图，在⊙O中，AB是直径，C是圆上一点，且∠BOC=40°，则∠ACO= ．
15．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC= ．
2
16．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是 ．
17．如图所示的扇形图给出的是地球上海洋、陆地的表面积约占地球总表面积的百分比，若宇宙中有一块陨石落在地球上，则它落在海洋中的概率是 %．
18．将连续正整数按如下规律排列：
若正整数565位于第a行，第b列，则a+b= ．
2
三、解答题：本大题共2小题，每小题6分，共12分． 19．计算：2÷|﹣|+
﹣2
﹣（π﹣6）
0
20．先化简，再求值：，其中x=﹣．
四、解答题：本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
21．为了深化改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）： 某校被调查学生选择社团意向统计表 选择意向 所占百分比 文学鉴赏 a 科学实验 35% 音乐舞蹈 b 手工编织 10% 其他 c 根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值； （2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的人数．
22．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
3
五、解答题：本大题共2个小题，每小题9分，共18分．
23．某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？
24．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC． （1）求证：∠1=∠2；
（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
六、解答题：本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
25．如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA=∠B；
（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．
26．已知二次函数y=﹣x+2x+m
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围．
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；
（3）在第（2）问的条件下，动点M在直线AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），设点M到直线AB的距离为d，求d的最大值．
2
4
5
2016年湖南省娄底市新化县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把你认为符合题目要求的选项填在表中相应的题号下． 1．2016的相反数是（ ）
A． B．﹣2016 C．﹣ D．2016 【考点】相反数．
【专题】推理填空题；实数．
【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．
【解答】解：2016的相反数是﹣2016． 故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
2．某市户籍人口1694000人，则该市户籍人口数据用科学记数法可表示为（ ）
4567
A．1.694×10人 B．1.694×10人 C．1.694×10人 D．1.694×10人 【考点】科学记数法—表示较大的数．
n
【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
6
【解答】解：将1694000用科学记数法表示为：1.694×10． 故选：C．
n
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列运算错误的是（ ） A．
=1 B．x+x=2x
2
2
4
C．|a|=|﹣a| D． =
【考点】分式的乘除法；绝对值；合并同类项；零指数幂． 【专题】计算题．
【分析】A、原式利用零指数幂法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断； C、原式利用绝对值的代数意义判断即可；
D、原式利用乘方的意义计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、原式=1，正确；
2
B、原式=2x，错误； C、|a|=|﹣a|，正确；
6
D、原式=，正确，
故选B
【点评】此题考查了分式的乘除法，绝对值，合并同类项，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．解不等式组A．
C．
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
B
D．
．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【分析】分别求得不等式组中的两个不等式的解集，然后取其交集，并表示在数轴上．
【解答】解：
解不等式（1），得 x≤﹣1．
解不等式（2），得 x＞﹣3，
则原不等式组的解集为：﹣3＜x≤﹣1． 表示在数轴上为：
．
故选：C．
【点评】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式的解集．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．对于函数y=，下列说法错误的是（ ） A．这个函数的图象位于第一、第三象限
B．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质：对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大解答即可．
7
【解答】解：函数y=的图象位于第一、第三象限，A正确； 图象既是轴对称图形又是中心对称图形，B正确； 当x＞0时，y随x的增大而减小，C错误； 当x＜0时，y随x的增大而减小，D正确， 由于该题选择错误的，故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，掌握对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大是解题的关键．
6．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，若∠1=40°，∠2=30°，则∠3的度数是（ ）
A．70° B．60° C．55° D．50° 【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠C的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，∠1=30°， ∴∠C=40°．
∵∠3是△CDE的外角，
∴∠3=∠C+∠2=40°+30°=70°． 故选A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
7．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（
A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE． 【解答】解：当∠D=∠B时， 在△ADF和△CBE中
∵，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
8
）
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
8．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【考点】菱形的性质；平行四边形的性质．
【分析】根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直． 【解答】解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，； C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质； D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质． 故选D．
【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．
9．某学校小组5名同学的身高（单位：cm）分别为：147，151，152，156，159，则这组数据的中位数是（ ）
A．147 B．151 C．152 D．156 【考点】中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【解答】解：由于此数据已经按照从小到大的顺序排列了，发现152处在第3位．所以这组数据的中位数是152， 故选C．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
2
10．二次函数y=﹣x+2x+4的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】二次函数的最值． 【专题】计算题．
2
【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
2
【解答】解：y=﹣（x﹣1）+5， ∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为5． 故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在
对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣时，y=；
当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因
9
为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=；确定一个二次函数的最值，首
先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 11．8的立方根是 2 ． 【考点】立方根． 【专题】计算题．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果． 【解答】解：8的立方根为2， 故答案为：2．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
22
12．分解因式：2x+4x+2= 2（x+1） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】根据提公因式，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
22
【解答】解：原式=2（x+2x+1）=2（x+1），
2
故答案为：2（x+1）．
【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式2，再利用和的平方公式．
13．将直线y=3x+1向下平移4个单位后，所得直线的表达式是 y=3x﹣3 ． 【考点】一次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将直线y=3x+1向下平移4个单位所得直线的解析式为y=3x+1﹣4，即y=3x﹣3． 故答案为y=3x﹣3．
【点评】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
14．如图，在⊙O中，AB是直径，C是圆上一点，且∠BOC=40°，则∠ACO= 20° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】由∠BOC=40°，利用圆周角定理求解即可求得∠A的度数，然后由等腰三角形的性质求得答案．
【解答】解：∵∠BOC=40°， ∴∠A=∠BOC=20°， ∵OA=OC，
10
∴∠ACO=∠A=20°． 故答案为：20°．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=
．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理． 【专题】网格型．
【分析】先构建格点三角形ADC，则AD=2，CD=4，根据勾股定理可计算出AC，然后根据余弦的定义求解．
【解答】解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4， ∴AC=∴cosC=故答案为：
．
，
，
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．也考查了勾股定理．
2
16．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是 7 ． 【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质． 【专题】计算题．
2
【分析】先利用因式分解法解x﹣4x+3=0得到x1=3，x2=1，然后分类讨论：当三角形的腰为3，底为1时，易得三角形的周长；当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．
2
【解答】解：x﹣4x+3=0， （x﹣3）（x﹣1）=0， x﹣3=0或x﹣1=0， 所以x1=3，x2=1，
当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，
当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为7． 故答案为7．
11
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．
17．如图所示的扇形图给出的是地球上海洋、陆地的表面积约占地球总表面积的百分比，若宇宙中有一块陨石落在地球上，则它落在海洋中的概率是 71 %．
【考点】几何概率；扇形统计图．
【分析】本题只要求出海洋占总地球的面积的百分比即可． 【解答】解：依题意得：落在海洋的概率为71%=0.71． 【点评】本题考查了饼图和概率公式的综合运用．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
18．将连续正整数按如下规律排列：
若正整数565位于第a行，第b列，则a+b= 147 ． 【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】压轴题；规律型．
【分析】首先根据连续正整数的排列图，可得每行都有4个数，所以用565除以4，根据商和余数的情况判断出正整数565位于第几行；然后根据奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小，判断出565在第几列，确定出b的值，进而求出a+b的值是多少即可．
【解答】解：∵565÷4=141„1， ∴正整数565位于第142行， 即a=142；
∵奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小， ∴正整数565位于第五列， 即b=5，
∴a+b=142+5=147． 故答案为：147．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：（1）每行都有4个数．（2）奇数行的数字在前四列，数字逐渐增加；偶数行的数字在后四列，数字逐渐减小．
12
三、解答题：本大题共2小题，每小题6分，共12分．
19．计算：2÷|﹣|+﹣（π﹣6）
【考点】二次根式的性质与化简；绝对值；零指数幂；负整数指数幂． 【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意2=，（π﹣6）=1． 【解答】解：原式=÷+3
﹣1=3
．
﹣2
0
﹣2
0
【点评】本题考查的知识点是：a=
﹣p
；任何不等于0的数的0次幂是1．
20．先化简，再求值：，其中x=﹣．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=，
当x=﹣时，原式====﹣﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
四、解答题：本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
21．为了深化改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“科学实验”、“音乐舞蹈”和“手工编织”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校各年级部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图表（不完整）： 某校被调查学生选择社团意向统计表 选择意向 所占百分比 文学鉴赏 a 科学实验 35% 音乐舞蹈 b 手工编织 10% 其他 c 根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）求本次调查的学生总人数及a，b，c的值； （2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有1200名学生，试估计全校选择“科学实验”社团的人数．
13
【考点】条形统计图；用样本估计总体；统计表．
【分析】（1）根据选择科学实验的人数是70人，所占的百分比是35%，即可求得调查的总人数，进而根据百分比的意义求解；
（2）根据百分比的意义求得选择文学欣赏和手工纺织的人数，即可补全直方图； （3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解．
【解答】解：（1）本次调查的学生总人数是70÷35%=200（人）， b=
=20%，
c==5%，
a=1﹣35%﹣20%﹣10%﹣5%=30%；
（2）选择文学欣赏的人数是：200×30%=60（人）， 选择手工纺织的人数是：200×10%=20（人），
；
（3）该校共有1200名学生，估计全校选择“科学实验”社团的人数是1200×35%=420（人）． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．
14
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】作AD⊥BC于D，根据题意求出∠ABD=45°，得到AD=BD=30的概念求出CD的长，得到答案． 【解答】解：作AD⊥BC于D， ∵∠EAB=30°，AE∥BF，
∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60， ∴AD=BD=30
，
，求出∠C=60°，根据正切
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，
在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=30
，
则tanC=，
∴CD=∴BC=30
=10+10
， ．
+10
海里．
故该船与B港口之间的距离CB的长为30
【点评】本题考查的是解直角三角形的知识的应用，掌握锐角三角函数的概念、选择正确的三角函数是解题的关键．
15
五、解答题：本大题共2个小题，每小题9分，共18分．
23．某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等． （1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据“花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等”列分式方程求解即可；
（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意列不等式求解即可．
【解答】解：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：
=， 解得：x=60，
经检验x=60是原方程的根， ∴x+40=100．
答：甲礼品100元，乙礼品60元；
（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个， 根据题意得：100m+60（30﹣m）≤2000， 解得：m≤5．
答：最多可购买5个甲礼品．
【点评】此题主要考查了分式方程和不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系和不等关系，列出方程和不等式．
24．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE=OC． （1）求证：∠1=∠2；
（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质． 【专题】证明题．
【分析】（1）证明△ADC≌△ABC后利用全等三角形的对应角相等证得结论；
（2）首先判定四边形BCDE是平行四边形，然后利用对角线垂直的平行四边形是菱形判定菱形即可． 【解答】（1）证明：∵在△ADC和△ABC中，
，
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∴△ADC≌△ABC（SSS）， ∴∠1=∠2；
（2）四边形BCDE是菱形； 证明：∵∠1=∠2，CD=BC， ∴AC垂直平分BD， ∵OE=OC，
∴四边形DEBC是平行四边形， ∵AC⊥BD，
∴四边形DEBC是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大．
六、解答题：本大题共2个小题，每小题10分，共20分．
25．如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA=∠B；
（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．
【考点】切线的性质；弧长的计算；轨迹． 【专题】证明题．
【分析】（1）证明：连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直径，得到∠2+∠B=90°，于是得到结论；
（2）当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，求得点Q所经过的弧长==，当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，求得点Q所经过的弧长==，当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时，△ABQ与△ABC的面积相等． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠PCO=90°， ∴∠1+∠PCA=90°，
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∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠2+∠B=90°， ∵OC=OA， ∴∠1=∠2， ∴∠PCA=∠B；
（2）解：∵∠P=40°， ∴∠AOC=50°， ∵AB=12， ∴AO=6，
当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长==，
当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等， ∴点Q所经过的弧长==，
当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时，△ABQ与△ABC的面积相等， ∴点Q所经过的弧长=
=
，
或
或
．
∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为
【点评】本题考查了切线的性质，弦切角定理，弧长的求法，熟练掌握定理和计算公式是解题的关键．
2
26．已知二次函数y=﹣x+2x+m
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围．
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标；
（3）在第（2）问的条件下，动点M在直线AB上方的抛物线上运动（不与A、B重合），设点M到直线AB的距离为d，求d的最大值．
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【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而得到关于m的不等式，然后求得不等式的解集即可；
（2）将点A的坐标代入抛物线的解析式可求得m的值，从而得到抛物线的解析式，然后将x=0代入抛物线的解析式可求得点B的坐标，然后依据待定系数法可求得直线AB的解析式，然后再求得抛物线的对称轴方程为x=1，最后将x=1代入直线AB的解析式即可求得点P的纵坐标，从而得到点P的坐标；
2
（3）连接MB、MA、OM，过点M作MD⊥AB，垂足为D，设动点M的坐标为（a，﹣a+2a+3），由S△ABM=S△OAM+S△OBM﹣S△OAB列出△ABM的面积与a的函数关系式，接下来依据配方法可求得△ABM的最大值，最后依据三角形的面积公式可求得DM的长，从而得到d的最大值． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
2
∴△=2+4m＞0． 解得：m＞﹣1．
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0）， ∴0=﹣9+6+m． 解得：m=3，
2
∴二次函数的解析式为：y=﹣x+2x+3． ∴抛物线的对称轴为x=1． ∵令x=0，得y=3， ∴B（0，3）．
设直线AB的解析式为：y=kx+b．
∵将点A（3，0），（0，3）代入得：，解得：k=﹣1，b=3，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3， ∵把x=1代入y=﹣x+3得y=2， ∴P（1，2）．
（2）如图所示：连接MB、MA、OM，过点M作MD⊥AB，垂足为D．
设动点M的坐标为（a，﹣a+2a+3）．
∵S△ABM=S△OAM+S△OBM﹣S△OAB=×3a+×3×（﹣a+2a+3）﹣×3×3=∴当a=时，△ABM的面积最大，最大值为∵OB=0A=3， ∴AB=3
．
．
2
2
a+a=﹣（a﹣）+
22
，
19
∵S△ABM=AB•DM， ∴×解得：DM=
•DM=
．
．
∴d的最大值为．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题应用了一元二次方程根的判别式、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积公式、配方法求二次函数的最值，列出△ABM的面积与点M的横坐标a之间的函数关系式是解题的关键．
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