高一数学必修一：集合与函数知识点总结

集合知识网络 定 义 特 征 表示法 分 类 一组对象的全体形成一个集合 确定性、互异性、无序性 列举法{1,2,3,„}、描述法{x|P} 有限集、无限集 自然数集N、正整数集N或N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、空集φ 集合 数 集 关 系 运 算 “或”元素和集合的关系是如2M或3N 集合与集合之间的关系是\", ,,,,,CuA\" 交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}； 并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}； 补集 CUA＝{x|xA且x∈U}，U为全集 注意：① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ4. ③ 对于任意集合A,B，则 CUACUBCU(AB)；CUACUBCU(AB)； ④ 若集合

性 质 AA； φA； 若AB，BC，则AC； A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝AA∪B＝BAB； A∩CUA＝φ； A∪CUA＝I；CU( CUA)＝A 方 法 韦恩示意图 数轴分析 A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n，所有真子集的个数是2n1，所有非空n子集的个数是21，所有非空真子集的个数是2n2。 第二章函数

1. 函数三要素：（1）解析式 （2）定义域 （3）值域 2. 函数定义域的求法：

AnA22n （1）分式的分母不得为零; n (2) 偶次方根的被开方数不大于零; n（3）对数函数的真数必须大于零; (4) 指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； （5）

22y[f(x)]0，要求f(x)0； （6）抽象函数求定义域：

如f(3x-1)的定义域为[1,2]，指的是f(3x-1)中的范围是1 ①f[g(x)]的定义域为[a,b]，指的是x的取值范围为[a,b]，而不是g(x)的范围为[a,b]，

x2.

②f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同。

（7）对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型形式；

f(x)ax2bxc,x(m,n)的

1

②逆求法（反求法）：通过反解，用用来解，型如：

y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；常

yaxb,x(m,n)；

cxd④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：

yxk(k0)，利用平均值不等式公式来求值域； x⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 3、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 ⑴单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）

增

函

数

：

对任意的x1,x2[a,b],x1x2f(x1)f(x2) 减函数：

对任意的x1,x2[a,b],x1x2f(x1)f(x2)

注：① 函数上的区间I且x1，x2∈I.若f(x1)f(x2)＞0（x1≠x2），则函数f(x)在区间I上是增函数；

x1x2若f(x1)f(x2)＜0（x1≠x2），则函数f(x)是在区间I上是减函数。

x1x2 ② 用定义证明单调性的步骤:<1>设x1，x2∈M，且x1x2；则 <2> f(x1)f(x2)作差整理；

<3>判断差的符号； <4>下结论； ③ 增+增=增 减+减=减

④ 复合函数y=f[g(x)]单调性:同增异减

u O 1 2 x （yf(u)，u(x)，则yf(x) （外层）（内层）如：求ylog1x22x的单调区间

2（设ux22x，由u0则0x2)

且ylog1u，ux11，如图：22当x(0，1]时，ux22x，又ylog1u，∴ylog1(x22x)

22当x[1，2)时，ux22x，又ylog1u，∴ylog1(x22x)

22⑵奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系）

f(x) －f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数； f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。

注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(｜x｜);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0. a·2xa2如：若f(x)为奇函数，则实数a2x1

0a·2a2（∵f(x)为奇函数，xR，又0R，∴f(0)0 即0，∴a1）

201⑶周期性: ①若f(x+T)=f(x)且T≠0的常数,则T是函数f(x)的周期;

②若f(x+a)=f(x+b) ，a、b为常数且a≠b,则b- a是函数f(x)的周期。

2

⑷对称性:①若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=ab对称;( 即:‘一均二等’的原则)

2②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=③你还知道函数y=f(x)关于直线x=0(即y轴),直线y=0(即x轴),原点。

⑸函数图象的变换

ba对称. 2yf(x)b平移变换：

yf(xa)yf(x)yf(x)byf(xa) (a>0,b>0) 左加右减 上加下减 对称变换：(1)y=f(-x) 与y=f(x)关于y轴对称. (2)y=-f(x) 与y=f(x)关于x轴对称.

(3)y=-f(-x) 与y=f(x)关于原点对称. (4)yf1(x)与y=f(x)关于直线y=x对称. (5)y=|f(x)| 的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部

分不变.（下翻上）

(6)y=f(|x|) 的图象：可将y=f(x)，x作出x<0的图象。 （右翻左）

伸缩变换：

（1）y=Af(x)(A>0)的图象，可将y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到. （2）y=f(ax)（a>0）的图象，可将y=f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变而得到

a0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，

4. 求反函数的步骤：

(1) 反解x； （2）对调x,y; （3）写反函数的定义域（即原函数的值域）. 注：函数与反函数之间:f(a)=bf(b)=a

-1

5. 常用的初等函数：一次函数,二次函数,反比例函数, 指数函数,对数函数,yxk(k0)的图象和性

x质(重点掌握!!) （1）一次函数：当kykxb(k0)，

20时，是增函数；当k0时，是减函数；

2b4acb2（2）二次函数yaxbxca0ax图象为抛物线

2a4a

b4acb2b 顶点坐标为，，对称轴x4a2a2a2 开口方向：a0，向上，函数y4acb

min4aa0，向下，ymax4acb24a

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程 ax2bxc0，0时，两根x1、x2为二次函数yax2bxc的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax2bxc0(0)解集的端点值。

②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

两点式：

ya(xx1)(xx2)；对称轴方程是 ；与x轴的交点为 ；

3

顶点式：

ya(xk)2h；对称轴方程是 ；顶点为 ；

acmxb(x0)ya(遇y=的函数一般用反比例函数来解决) xxbnxaxmn（3）反比例函数：

yan（4）指数函数：ya(a0,a1) 指数运算法则ab= ；mb（5）对数函数：

= ；(ab)= ；a = 。

n0ylogax(a0,a1) 对数运算法则：logaMN= ；loganMN= ；logaMn= ；loga（换底公式）；

M= ；log

amMn= ； logaa=1； loga1=0; logab=

y y=ax(a>1) (01) 1 O 1 x alogaN=N（对数恒等式）注意：（1）

yax与ylogax的图象关系

是 ；

由图象记性质！ （注意底数的限定！） （6）“对勾函数”yxkk0 x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ (0yx 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减

函数。

（7）幂函数yx（会做=1，2，3，1，-1的图象）

2k(k0)的图象：定义域： ；值域： ； x y k 注：①图象都过（1，1）点。 ②在第四象限无幂函数图象。

③>0时，幂函数在第一象限是增函数。 ④<0时，幂函数在第一象限是减函数。 6. 函数与方程：

O k x （1）函数yf(x)的零点方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点。 （2）一般地，如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0那么，函数

yf(x)在 (a,b)内有零点，即c(a,b)，使得f(c)0,这个c也就是方程f(x)0的根。

注：①解决了存在性问题（有且至少有1个）。

②在(a,b)内只有1个零点，说明函数是单调的。 8. 解应用问题的一般步骤：

7.二分法步骤： （1）审题；（2）建模；

（1）确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度； （3）解模；（4）作答

（2）求区间(a,b)中点c；

（3）计算 f(c)①f(c)0,c是函数零点。②f(a)f(c)<0, x0(a,c).③f(c)f(b)<0, (4) ab 否则重复2~4.

4