长汀县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

长汀县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

11x,x[0,)221． 已知函数f(x)，若存在常数使得方程f(x)t有两个不等的实根x1,x2

3x2,x[12,1]（x1x2），那么x1f(x2)的取值范围为（ ）

A．[3,1) B．[18,36) C．[31416,2) 2． 如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（ ）

A． B． C． D．

3． 执行下面的程序框图，若输入x2016，则输出的结果为（ ）

A．2015 B．2016 C．2116

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D．[38,3)

D．2048

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4． 设函数

A．f（x）是奇函数，C．f（x）是偶函数

，则有（ ）

B．f（x）是奇函数，D．f（x）是偶函数，

y=bx

5． 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A．1﹣ B．﹣ C． D．

，c=2，cosA=，则b=（ ）

6． △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=A．

B．

C．2

D．3

7． 如图所示，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长

为（ ）

A．22 B． C. D．42+2 8． 设m是实数，若函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f（x）的性质叙述正确的是（ ）

A．只有减区间没有增区间 B．是f（x）的增区间

C．m=±1 D．最小值为﹣3

9． 设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＜0}=（ ） A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|0＜x＜4}

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10．设函数f（x）=A．0

B．1

C．2

D．3

，则f（1）=（ ）

11．两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的则这两个圆锥的体积之比为（ ） A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1

12．如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜称中心是（ ）

）的图象过点（0，

，

），则f（x）的图象的一个对

A．（﹣

，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（，0）

二、填空题

13．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．

1,3)，B(1,1,1)，且|AB|22，则m . 14．在空间直角坐标系中，设A(m，15．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是 ．

10，abba，则ab= ▲ ． 317．平面内两定点M（0，一2）和N（0,2），动点P（x，y）满足

16．已知ab1，若logablogba，动点P的轨迹

为曲线E，给出以下命题：

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①m，使曲线E过坐标原点； ②对m，曲线E与x轴有三个交点；

③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；

④若P、M、N三点不共线，则△ PMN周长的最小值为2m＋4;

⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN 的面积不大于m。

其中真命题的序号是 ．（填上所有真命题的序号） 18．已知面积为

的△ABC中，∠A=

若点D为BC边上的一点，且满足

=

，则当AD取最小时，

BD的长为 ．

三、解答题

19．某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一 次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指 数不低于70，说明孩子幸福感强）．

（1）根据茎叶图中的数据完成22列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留 守儿童有关？ 留守儿童 非留守儿童 总计 幸福感强 幸福感弱 总计 1111] （2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访， 求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．

n(adbc)2参考公式：K

(ab)(cd)(ac)(bd)2附表：

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P(K2k0) k0

0.050 3.841 0.010 6.635 20．等差数列{an}的前n项和为Sn．a3=2，S8=22． （1）求{an}的通项公式； （2）设bn=

21．如图，已知AB是圆O的直径，C、D是圆O上的两个点，CE⊥AB于E，BD交AC于G，交CE于F，CF=FG．

（Ⅰ）求证：C是劣弧（Ⅱ）求证：BF=FG．

的中点；

，求数列{bn}的前n项和Tn．

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22．设函数f（θ）=

经过点P（x，y），且0≤θ≤π． （Ⅰ）若点P的坐标为

，求f（θ）的值；

上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的

，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边

（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：最小值和最大值．

23．解关于x的不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）．

24．在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）满足（1）求点P的轨迹方程；

=3，其中=（2x+3，y），=（2x﹣﹣3，3y）．

，求直线l的方程．

（2）过点F（0，1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若|AB|=

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长汀县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C 【解析】

3131t1，由x，可得x，4244113111322由13x，可得x（负舍），即有x1,x2，即x2，则

433422331x1fx23x13x22,.故本题答案选C.

162试题分析：由图可知存在常数，使得方程fxt有两上不等的实根，则

考点：数形结合．

【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.

2． 【答案】C

【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱， 底面是一个边长是侧棱长是

，

×2=6+

，

的等边三角形，

∴三棱柱的面积是3×故选C．

【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．

3． 【答案】D

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【解析】

试题分析：由于20160，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到x2，从而可得y1，由于

20151，则进行y2y循环，最终可得输出结果为2048．1

考点：程序框图．

4． 【答案】C

【解析】解：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称． 又f（﹣x）=

=

=f（x），所以f（x）为偶函数．

而f（）=故选C．

==﹣=﹣f（x），

【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．

5． 【答案】A

【解析】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为

，

连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：

﹣

，

．

∴此点取自阴影部分的概率是故选A．

6． 【答案】D

【解析】解：∵a=

，c=2，cosA=，

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∴由余弦定理可得：cosA==∴解得：b=3或﹣（舍去）． 故选：D．

7． 【答案】C 【解析】

=2

，整理可得：3b﹣8b﹣3=0，

考

点：平面图形的直观图. 8． 【答案】B

【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数， 则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，

当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件， 当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件， 作出函数f（x）的图象如图： 则函数在上为增函数，最小值为﹣2， 故正确的是B， 故选：B

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．

9． 【答案】D

【解析】解：∵偶函数f（x）=2x﹣4（x≥0），故它的图象

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关于y轴对称，

且图象经过点（﹣2，0）、（0，﹣3），（2，0）， 故f（x﹣2）的图象是把f（x）的图象向右平移2个 单位得到的，

故f（x﹣2）的图象经过点（0，0）、（2，﹣3），（4，0）， 则由f（x﹣2）＜0，可得 0＜x＜4， 故选：D．

【点评】本题主要考查指数不等式的解法，函数的图象的平移规律，属于中档题．

10．【答案】D

【解析】解：∵f（x）=f（1）=f[f（7）]=f（5）=3． 故选：D．

11．【答案】D

2

【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr=

，

×4πR2=

．

，∴r=．

∴球心到圆锥底面的距离为∴两个圆锥的体积比为：

=．∴圆锥的高分别为和

=1：3．

故选：D．

12．【答案】 B

【解析】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，

），

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可得：2sinφ=解得：φ=

，

，即sinφ=，由于|φ|＜，

即有：f（x）=2sin（2x+由2x+

）．

，k∈Z， ，0），k∈Z

，0），

=kπ，k∈Z可解得：x=

故f（x）的图象的对称中心是：（当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（故选：B．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】 甲 ．

【解析】解：【解法一】甲的平均数是方差是

=（87+89+90+91+93）=90，

= [（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；

=（78+88+89+96+99）=90，

乙的平均数是方差是∵

＜

= [（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2； ，∴成绩较为稳定的是甲．

【解法二】根据茎叶图中的数据知，

甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些； 乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些； 所以甲的成绩相对稳定些． 故答案为：甲．

【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．

14．【答案】1 【解析】 试题分析：ABm1211231222，解得：m1，故填：1.

考点：空间向量的坐标运算

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15．【答案】0 【解析】

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点， ∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），

=（﹣1，0，﹣1），

=﹣1+0+1=0，

∴A1E⊥GF，

∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0． 故答案为：0．

=（1，﹣1，﹣1），

16．【答案】43 【解析】

101101（舍）试题分析：因为ab1，所以logba1，又logablogba3logalogba3logba3或3，

b因此ab3，因为abba，所以b3bbb3bb3,b1b3,a33，ab43 3考点：指对数式运算 17．【答案】①④⑤

解析：∵平面内两定点M（0，﹣2）和N（0，2），动点P（x，y）满足|∴

•

=m

①（0，0）代入，可得m=4，∴①正确；

②令y=0，可得x2+4=m，∴对于任意m，曲线E与x轴有三个交点，不正确； ③曲线E关于x轴对称，但不关于y轴对称，故不正确； ④若P、M、N三点不共线，|

|+|

|≥2

=2

，所以△PMN周长的最小值为2

+4，正确；

|•|

|=m（m≥4），

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⑤曲线E上与M、N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H，则四边形GMHN的面积为2S△MNG=|GM||GN|sin∠MGN≤m，∴四边形GMHN的面积最大为不大于m，正确． 故答案为：①④⑤． 18．【答案】

．

【解析】解：AD取最小时即AD⊥BC时，根据题意建立如图的平面直角坐标系， 根据题意，设A（0，y），C（﹣2x，0），B（x，0）（其中x＞0）， 则

=（﹣2x，﹣y），

=（x，﹣y）， ，

⇒

=

cos

=9，

=18，

∵△ABC的面积为∴∵

22

∴﹣2x+y=9，

∵AD⊥BC， ∴S=•由故答案为：

•

=得：x=

． ⇒xy=3

， ，

【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．

三、解答题

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19．【答案】（1）有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；（2）【解析】

3. 5试题解析：（1）列联表如下： 幸福感强 留守儿童 非留守儿童 总计 2

幸福感弱 9 7 16 总计 15 25 40 6 18 24 40(67918)243.841． ∴K15252416∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关．

（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：a1，a2；幸福感强的孩子3人，记作：b1，b2，

b3．

“抽取2人”包含的基本事件有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(b1,b2)，

(b1,b3)，(b2,b3)共10个．

事件A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)共6个． 故P(A)63． 105考点：1、 茎叶图及独立性检验的应用；2、古典概型概率公式. 20．【答案】

【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3=2，S8=22． ∴

，

解得，

．

∴{an}的通项公式为an=1+（n﹣1）=

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（2）∵bn=∴Tn=2=2=

．

==﹣+…+

，

21．【答案】

【解析】解：（I）∵CF=FG ∴∠CGF=∠FCG ∴AB圆O的直径 ∴∵CE⊥AB ∴∵

∴∠CBA=∠ACE ∵∠CGF=∠DGA ∴

∴∠CAB=∠DAC

∴C为劣弧BD的中点 （II）∵

∴∠GBC=∠FCB ∴CF=FB

同理可证：CF=GF ∴BF=FG

【点评】本题考查的知识点圆周角定理及其推理，同（等）角的余角相等，其中根据AB是圆O的直径，CE⊥AB于E，找出要证明相等的角所在的直角三角形，是解答本题的关键．

22．【答案】

【解析】解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得：

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于是f（θ）===2

（Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC）如图所示， 其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）． 因为P∈Ω，所以0≤θ≤∴f（θ）=且故当当

，即

，

时，f（θ）取得最大值2； ，

=

，

，即θ=0时，f（θ）取得最小值1．

【点评】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．

23．【答案】

22

【解析】解：由12x﹣ax﹣a＞0⇔（4x+a）（3x﹣a）＞0⇔（x+）（x﹣）＞0，

①a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}； ②a=0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}； ③a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}． 综上，当a＞0时，﹣＜，解集为{x|x＜﹣或x＞}；

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2

当a=0时，x＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；

当a＜0时，﹣＞，解集为{x|x＜或x＞﹣}．

24．【答案】

【解析】解：（1）由题意，

22

可化为4x+3y=12，即：

=（2x+3）（2x﹣3）+3y2=3， ； ；

∴点P的轨迹方程为

（2）①当直线l的斜率不存在时，|AB|=4，不合要求，舍去；

②当直线l的斜率存在时，设方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

22

代入椭圆方程可得：（4+3k）x+6kx﹣9=0，

∴x1+x2=∴|AB|=∴k=±

，

，x1x2=•|x1﹣x2|=

，

=

，

∴直线l的方程y=±x+1．

【点评】本题考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了向量的坐标运算，训练了利用数量积，属于中档题．

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