一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（A．﹣5
2．（3分）函数y＝A．x≠5
B．
C．﹣1
的自变量x的取值范围是（B．x＞2且x≠5
C．x≥2
）
D．x≥2且x≠5
）
D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为（A．（0，﹣2）
）B．（0，2）
C．（﹣6，2）
D．（﹣6，﹣2）
4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（
）
A．B．C．D．
5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（A．互相平分C．互相垂直
）
B．相等D．互相垂直平分
6．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠
BED等于（）
A．B．αC．αD．180°﹣α
7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（A．3
）
B．4
C．3或4
第1页（共21页）D．7
8．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9．（3分）计算（10．（3分）方程
﹣4）（
+4）的结果是
．．
的解是
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为
．
12．（3分）从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y＝
，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是
．
13．（3分）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为
．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为
．
第2页（共21页）三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15．计算：2+|
﹣1
﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）
2020
•（）
2020
．
16．先化简，再求值：，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．
18．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
第3页（共21页）（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
21．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
第4页（共21页）23．如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．①求证：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线
l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，
D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共21页）2020年山东省菏泽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．）1．（3分）下列各数中，绝对值最小的数是（A．﹣5
B．
C．﹣1
|＝
）
D．，
【解答】解：∵|﹣5|＝5，||＝，|﹣1|＝1，|∴绝对值最小的数是．故选：B．2．（3分）函数y＝A．x≠5
的自变量x的取值范围是（B．x＞2且x≠5
C．x≥2
）
D．x≥2且x≠5
【解答】解：由题意得x﹣2≥0且x﹣5≠0，解得x≥2且x≠5．故选：D．
3．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为（A．（0，﹣2）
）B．（0，2）
C．（﹣6，2）
D．（﹣6，﹣2）
【解答】解：∵将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，∴点P'的坐标是（0，2），
∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（0，﹣2）．故选：A．
4．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的主视图为（
）
A．B．C．D．
【解答】解：从正面看所得到的图形为．
第6页（共21页）故选：A．
5．（3分）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（A．互相平分C．互相垂直
）
B．相等D．互相垂直平分
【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：C．
6．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠
BED等于（）
A．B．αC．αD．180°﹣α
【解答】解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ABE+∠ADE＝180°，∴∠BAD+∠BED＝180°，∵∠BAD＝α，∴∠BED＝180°﹣α．故选：D．
7．（3分）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（A．3
）
B．4
C．3或4
第7页（共21页）D．7
【解答】解：当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，解得：k＝3，
当k＝3时，原方程为x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∵1+3＝4，4＞3，∴k＝3符合题意；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，解得：k＝4，
当k＝4时，原方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，∵2+2＝4，4＞3，∴k＝4符合题意．∴k的值为3或4．故选：C．
8．（3分）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9．（3分）计算（
﹣4）（
+4）的结果是）2﹣42
第8页（共21页）﹣13．
【解答】解：原式＝（
＝3﹣16＝﹣13．
故答案为：﹣13．10．（3分）方程【解答】解：方程
的解是＝
，
x＝．去分母得：（x﹣1）2＝x（x+1），整理得：x2﹣2x+1＝x2+x，解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．故答案为：x＝．
11．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，连接CD，若BC＝4，CD＝3，则cos∠DCB的值为
．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边的中点，∴AD＝BD＝CD＝AB，又∵CD＝3，∴AB＝6，
∴cos∠DCB＝cos∠B＝故答案为：．
12．（3分）从﹣1，2，﹣3，4这四个数中任取两个不同的数分别作为a，b的值，得到反比例函数y＝
，则这些反比例函数中，其图象在二、四象限的概率是
．＝＝，
【解答】解：画树状图得：
第9页（共21页）则共有12种等可能的结果，∵反比例函数y＝∴ab＜0，
∴有8种符合条件的结果，∴P（图象在二、四象限）＝故答案为：．
13．（3分）如图，在菱形OABC中，OB是对角线，OA＝OB＝2，⊙O与边AB相切于点D，则图中阴影部分的面积为2﹣π．
＝，
中，图象在二、四象限，
【解答】解：连接OD，∵四边形OABC为菱形，∴OA＝AB，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△OAB为等边三角形，∴∠A＝∠AOB＝60°，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴OD＝OA•sinA＝
，
同理可知，△OBC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，
∴图中阴影部分的面积＝2×故答案为：2
﹣π．
﹣
＝2
﹣π，
第10页（共21页）14．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为
3
．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD＝∵BP＝BA＝5，∴PD＝BD﹣BP＝8，∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DQP，∴∠DPQ＝∠DQP，∴DQ＝DP＝8，
∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
＝13，
BQ＝故答案为：3
＝．
＝3．
三、解答题（本题共78分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．）15．计算：2+|
﹣1
﹣3|+2sin45°﹣（﹣2）+2
×
2020
•（）
2020
．
【解答】解：原式＝+3﹣＝+3﹣＝2．
16．先化简，再求值：
+
﹣1
﹣（﹣2×）2020
，其中a满足a2+2a﹣3＝0．
【解答】解：原式＝•
第11页（共21页）＝•
＝•
＝2a（a+2）＝2（a2+2a），
∵a满足a2+2a﹣3＝0，∴a2+2a＝3，
当a2+2a＝3时，原式＝2×3＝6．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．
【解答】证明：∵ED⊥AB，
∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，∴△ABC≌△AED（AAS），∴AE＝AB，AC＝AD，∴CE＝BD．
18．某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°，已知斜坡AB的坡度为i＝1：2.4，点A到大楼的距离AD为72米，求大楼的高度CD．
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
第12页（共21页）∵CD⊥AD，
∴四边形BEDF是矩形，∴FD＝BE，FB＝DE，
在Rt△ABE中，BE：AE＝1：2.4＝5：12，设BE＝5x，AE＝12x，根据勾股定理，得
AB＝13x，∴13x＝52，解得x＝4，∴BE＝FD＝5x＝20，
AE＝12x＝48，
∴DE＝FB＝AD﹣AE＝72﹣48＝24，
∴在Rt△CBF中，CF＝FB×tan∠CBF≈24×≈32，∴CD＝FD+CF＝20+32＝52（米）．答：大楼的高度CD约为52米．
19．某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图．
（1）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？（2）所抽取学生成绩的中位数落在哪个组内？
（3）若该学校有1500名学生，估计这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有多少人？【解答】解：（1）本次抽取的学生有：12÷20%＝60（人），
第13页（共21页）C组学生有：60﹣6﹣12﹣18＝24（人），
即被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有24人；（2）所抽取学生成绩的中位数落在C：80≤x＜90这一组内；（3）1500×
＝150（人），
答：这次竞赛成绩在A：60≤x＜70组的学生有150人．
20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（n，﹣1）两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y＝，得：m＝2，∴y＝，
当y＝﹣1时，x＝﹣2，∴B（﹣2，﹣1），
将A（1，2）、B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b，得：解得
，
，
∴y＝x+1；
∴一次函数解析式为y＝x+1，反比例函数解析式为y＝；
（2）在y＝x+1中，当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），设P（m，0），
第14页（共21页）则PC＝|﹣1﹣m|，∵S△ACP＝•PC•yA＝4，∴×|﹣1﹣m|×2＝4，解得m＝3或m＝﹣5，
∴点P的坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
21．今年史上最长的寒假结束后，学生复学，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需32元；购买4根跳绳和3个毽子共需36元．（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不能超过260元；若要求购买跳绳的数量多于20根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．【解答】解：（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，依题意，得：解得：
．
，
答：购买一根跳绳需要6元，购买一个毽子需要4元．（2）设购买m根跳绳，则购买（54﹣m）个毽子，依题意，得：解得：20＜m≤22．又∵m为正整数，∴m可以为21，22．
∴共有2种购买方案，方案1：购买21根跳绳，33个毽子；方案2：购买22根跳绳，32个毽子．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长．
，
【解答】（1）证明：方法一：连接AD、OD．
第15页（共21页）∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°．∴∠ADO+∠ODB＝90°．∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE．
∴∠EDA+∠ADO＝90°．∴∠EDA＝∠ODB．∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∴∠EDA＝∠OBD．∵AC＝AB，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD．∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°．∴∠DEA＝90°．∴DE⊥AC．
方法二：∵DE是圆O的切线，∴OD⊥DE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴DE⊥AC；
（2）解：∵∠ADB＝90°，AB＝AC，∴BD＝CD，
∵⊙O的半径为5，BC＝16，
第16页（共21页）∴AC＝10，CD＝8，∴AD＝∵S△ADC＝∴DE＝
＝
＝6，
AC•DE，＝
．
23．如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD．（1）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：AE＝BE；（2）如图2，将△ABD沿AB翻折得到△ABD'．①求证：BD'∥CD；
②若AD'∥BC，求证：CD2＝2OD•BD．
【解答】（1）证明：∵AE∥DC，∴∠CDO＝∠AEO，∠EAO＝∠DCO，又∵OA＝OC，
∴△AOE≌△COD（AAS），∴CD＝AE，OD＝OE，∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD，∴BE＝CD，∴AE＝BE；
（2）①证明：如图1，过点A作AE∥DC交BD于点E，
由（1）可知△AOE≌△COD，AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE，
∵将△ABD沿AB翻折得到△ABD'，∴∠ABD'＝∠ABD，
第17页（共21页）∴∠ABD'＝∠BAE，∴BD'∥AE，又∵AE∥CD∴BD'∥CD．
②证明：如图2，过点A作AE∥DC交BD于点E，延长AE交BC于点F，
∵AD'∥BC，∴∠D'AB＝∠ABC，由翻折可知∠D'AB＝∠DAB，∴∠ABC＝∠DAB，∵AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABD，
∴∠ABC﹣∠EAB＝∠DAB﹣∠ABD，∴∠DBC＝∠DAE，∵AE∥DC，∴∠AED＝∠CDB，∴△ADE∽△BCD，∴
，
由①知AE＝CD，OD＝EO，∴DE＝2OD，∴CD2＝2OD•BD．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线
l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，
D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第18页（共21页）【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax+bx﹣6中得：
2
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x﹣x﹣6；
2
（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，
当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），
设BC的解析式为：y＝kx+n，则
，解得：
，
∴BC的解析式为：y＝x﹣6，
设D（x，x﹣x﹣6），则H（x，x﹣6），
2
第19页（共21页）∴DH＝x﹣6﹣（x﹣x﹣6）＝﹣∵△BCD的面积是，∴∴
解得：x＝1或3，
∵点D在直线l右侧的抛物线上，∴D（3，﹣
），
＝
＝
，
，
2
，
∴△ABD的面积＝；
（3）分两种情况：
①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，
∵B（4，0），D（3，﹣∴N的纵坐标为当y＝
，
2
），且M在x轴上，
时，即x﹣x﹣6＝
或1﹣，
，
，
解得：x＝1+∴N（1﹣
）或（1+，）；
②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，
第20页（共21页）∴N（﹣1，﹣）；
综上，点N的坐标为：（1﹣
，
）或（1+
，
）或（﹣1，﹣
第21页（共21页））．
9:42:09；用户：刘兆军；邮箱：177****7031；学号：********
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