对称周期图象结论

对称、周期、图象总结

一、 点的对称：

1、 点(x,y)关于Y轴的对称点是(x,y) 2、 点(x,y)关于X轴的对称点是(x,y) 3、 点(x,y)关于原点(0,0)的对称点是(x,y) 4、 点(x,y)关于直线yx的对称点是(y,x) 5、 点(x,y)关于直线yx的对称点是(y,x) 6、 点(x,y)关于直线xa的对称点是(2ax,y) 7、 点(x,y)关于直线yb的对称点是(x,2by) 8、 点(x,y)关于点(a,0)的对称点是(2ax,y) 9、 点(x,y)关于点(0,b)的对称点是(x,2by) 10、点(x,y)关于点(a,b)的对称点是(2ax,2by)

二、曲线的对称：由点的对称可推知。

1、曲线f(x,y)0关于Y轴的对称曲线方程是f(x,y)0； 2、曲线f(x,y)0关于X轴的对称曲线方程是f(x,y)0； 3、曲线f(x,y)0关于原点(0,0)的对称曲线方程是f(x,y)0； 4、曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线方程是f(y,x)0； 5、曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线方程是f(y,x)0； 6、曲线f(x,y)0关于直线xa的对称曲线方程是f(2ax,y)0； 7、曲线f(x,y)0关于直线yb的对称曲线方程是f(x,2by)0； 8、曲线f(x,y)0关于点(a,0)的对称曲线方程是f(2ax,y)0； 9、曲线f(x,y)0关于点(0,b)的对称曲线方程是f(x,2by)0； 10、曲线f(x,y)0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(2ax,2by)0； 三、一个函数自身对称

1、xI（I为函数定义域）都有f(x)f(x)f(x)图象关于Y轴（x0）对称； 2、f(ax)f(ax)f(x)f(2ax)f(x)图象关于直线xa对称；

3、f(ax)f(bx)f(x)f(abx)f(x)图象关于直线x(ab)/2对称； 4、f(amx)f(bmx)f(x)f(abx)f(x)图象关于直线x(ab)/2对称； （用

axm换前式中的x可得后式） 证明：在yf(x)上任取一点(x1,yf(xab11)其)关于x2的对称点为(abx1,y1)，f(abxx11)f(ambm)f(bmbx1m)f(x1)y1即(abx1,y1)也在yf(x)图象上。 5、xI（I为函数定义域）都有f(x)f(x)

f(x)f(x)0 f(x)图象关于原点(0,0)对称 f(x)f(x)2b f(x)图象关于原点(0,b)对称； f(x)f(2ax)0f(x)图象关于原点(a,0)对称； f(x)f(2ax)2bf(x)图象关于原点(a,b)对称；

关于直线对称平移之后可得偶函数，关于点对称平移之后可得奇函数

而

四、 两个函数对称问题

1、yf(x)与yf(x)图象关于x轴对称 2、yf(x)与yf(x)图象关于y轴对称 3、yf(x)与yf(x)图象关于原点(0,0)对称 4、yf(x)与yf1(x)图象关于直线yx对称 5、yf(x)与yf(2ax)图象关于直线xa对称

6、yf(ax)与yf(bx)图象关于直线x(ba)/2对称（注意和一个函数对称的区别）

yf(amx)与yf(bmx)图象关于直线x(ba)/(2m)对称

证明：在yf(amx)上任意一点(x1,y1f(amx1))关于x而f(bm(baba的对称点为(x1,y1)， 2mmbabax1))f(amx1)y1即(x1,y1)在yf(bmx)图象上，反之亦然。 mm7、yf(xa)与yf(bx)图象关于直线x(ba)/2对称

yf(mxa)与yf(bmx)图象关于直线x(ba)/(2m)对称

8、yf(x)与2nyf(2mx)图象关于点(m,n)对称 五、函数周期性问题

1、若f(xa)f(x)则a为f(x)的一个周期； 2、若f(xa)f(x)c或f(xa)3、若f(xa)11 (f(x)0)或f(xa)(f(x)0)，则2a为f(x)的周期。

f(x)f(x)11，则3a为f(x)的周期； f(x)11f(x)1f(xa)4、若f(x2)f(x1)f(x)则6为f(x)的周期；若f(x2a)f(xa)f(x)则6a为f(x)的周期；

事实上：f(x3a)f[(x2a)a]f(x2a)f(xa)f(xa)f(x)f(xa)f(x) f(x6a)f(x)

an2an1an则{an}是以6为周期的数列。

5、R上的函数f(x)关于直线xa,xb都轴对称，则2|ba|为f(x)的一个周期； 6、R上的函数f(x)关于点(a,c),(b,c)都中心对称，则2|ba|为f(x)的一个周期；

7、R上的函数f(x)关于点(a,c)成中心对称，又关于直线x=b成轴都对称，则4|ba|为f(x)的一个周期； 证明：f(x)f(2ax)2cf(2ax)f(x)2cf(2b2ax)f(x)2c

f(x)f(2bx)f(2ax)f(2b2ax)f(4b4ax)f(x)

六、图象问题

1、曲线f(x,y)0左移a个单位得曲线f(xa,y)0；曲线f(x,y)0右移a个单位得曲线f(xa,y)0； 曲线f(x,y)0下移b个单位得曲线f(x,yb)0；曲线f(x,y)0上移b个单位得曲线f(x,yb)0； 2、 曲线f(x,y)0左移a个单位、下移b个单位得曲线f(xa,yb)0；

曲线f(x,y)0左移a个单位、上移b个单位得曲线f(xa,yb)0； 曲线f(x,y)0右移a个单位、下移b个单位得曲线f(xa,yb)0； 曲线f(x,y)0右移a个单位、上移b个单位得曲线f(xa,yb)0

3、函数yf(x)左移a个单位下移b个单位得yf(xa)bybf(xa) 函数yf(x)左移a个单位上移b个单位得yf(xa)bybf(xa) 函数yf(x)右移a个单位下移b个单位得yf(xa)bybf(xa) 函数yf(x)右移a个单位上移b个单位得yf(xa)bybf(xa)

2、3规则一样吗？

4、点(x,y)按向量a(m,n)平移后得点(xm,yn)

5、曲线f(x,y)0按向量a(m,n)平移后得曲线f(xm,yn)0；

函数yf(x)按向量a(m,n)平移后得函数yf(xm)nynf(xm)

6、函数yf(|x|)的图象：保留yf(x)Y轴右侧的图象去掉左侧部分，然后作其关于Y轴的对称图象，这两部分合起来为yf(|x|)的图象。

7、函数y|f(x)|的图象：保留yf(x)X轴上方的图象去掉下方部分，然后作其关于X轴的对称图象，这两部分合起来为y|f(x)|的图象。

