试题数：20，总分：0
1.（填空题，0分）已知复数z满足（ 𝑧 -2）i=1（i是虚数单位），则z=___ ．
2.（填空题，0分）已知等差数列{an}，其中a1= 3 ，a2+a5=4，an=33，则n的值为___ ． 3.（填空题，0分）已知α∈（0，π），且有1-2sin2α=cos2α，则cosα=___ ．
4.（填空题，0分）在复平面上复数-1+i，0，3+2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为 ___ ．
5.（填空题，0分）若复数z满足|z-4+7i|≤2，则|z-10-i|的最大值为 ___ ．
⃗⃗ =（-3x，2），且 𝑎⃗⃗ 的夹角为钝角，则x的6.（填空题，0分）若向量 𝑎⃗ =（x，2x）， 𝑏⃗ 、 𝑏取值范围是 ___ ．
7.（填空题，0分）数列{an}的前n项和Sn=3+2n，则其通项公式an=___ ．
⃗⃗⃗⃗⃗=1⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 8.（填空题，0分）在△ABC中，AB=1，AC=2， ⃗𝐶𝐸𝐶𝐵𝐶𝐴𝐴𝐸•⃗⃗⃗𝐵𝐶639.（填空题，0分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）是R上的偶函数，图象关于点M（ π，0）对称，在[0， ]是单调函数，则符合条件的数组（ω，φ）有___ 对． 10.（填空题，0分）若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是___ ．
11.（单选题，0分）设复数z满足 1+𝑧 =i，则|1+z|=（ ） A.0 B.1 C. √2 D.2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =0，则△ABC的形状一定是（ ） 12.（单选题，0分）在△ABC中，若 𝐴𝐵A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
⃗⃗ |≠0，且关于x的方程x2+| 𝑎⃗⃗ =0有实根，则 𝑎13.（单选题，0分）已知| 𝑎⃗ |=2| 𝑏⃗ |x+ 𝑎⃗ • 𝑏⃗ 与 ⃗⃗ 的夹角的取值范围是（ ） 𝑏
1−𝑧
3
4
𝜋2
1
A.[0， 6 ] B.[ 3 ，π] C.[ 3 ， 3 ] D.[ 6 ，π]
14.（单选题，0分）设a∈R，函数f（x）=cosx+cosax，下列三个命题： ① 函数f（x）=cosx+cosax是偶函数；
② 存在无数个有理数a，函数f（x）的最大值为2；
③ 当a为无理数时，函数f（x）=cosx+cosax是周期函数，以上命题正确的个数为（ ） A.3 B.2 C.1 D.0
15.（问答题，0分）已知复数z=a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使 𝑧 = （1）求证：2a+b=6； （2）求|z|的取值范围．
⃗⃗ 是两个不共线的非零向量（t∈R）． 16.（问答题，0分）设 𝑎⃗ 、 𝑏
1⃗⃗ ， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ），那么当实数t为何值时，A，B，C三点共（1）记 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑂𝐴 = 𝑎⃗ ， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑂𝐵 =t 𝑏𝑂𝐶 = 3 （ 𝑎⃗ + 𝑏
2+4𝑖
-3ati𝑡
𝜋𝜋
2𝜋𝜋
𝜋
成立．
线？
⃗⃗ |=1且 𝑎⃗⃗ 夹角为120°⃗⃗ |的值最小？ （2）若| 𝑎⃗ |=| 𝑏⃗ 与 𝑏，那么实数x为何值时，| 𝑎⃗ +x 𝑏
17.（问答题，0分）已知等比数列{an}的公比q≠1，a1=32，且2a2、3a3、4a4成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an，求数列{|bn|}的前n项和Tn．
18.（问答题，0分）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF．小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30°，∠CAB=75°，又选择了相距100米的B点，测得∠ABC=60°． （1）请你根据小明的测量数据求出塔CD高度；
（2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离DF，在测得∠BAE=90°之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案： 方案 ① ：测量∠ABF和∠DAF 方案 ② ：测量∠ABE和∠EAF 方案 ③ ：测量∠ABE和∠ECF 方案 ④ ：测量∠ABF和∠AFB
请问：小明的备选方案中有哪些是可行的？写出所有可行方案的序号；
（3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶DF之间的距离，精确到米．∠ABF=58.0°，∠ABE=50.2°，∠DAF=16.7°，∠EAF=41.5°，∠ECF=53.8°，∠AFB=32.0°．
𝑆𝑛
19.（问答题，0分）设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n， 𝑛 ）都在函数f（x）
𝑛=x+ 2𝑥 的图象上．
𝑎
（1）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1）、（a2，a3）、（a4，a5，a6）、（a7，a8，a9，a10）、（a11）、（a12，a13）、（a14，a15，a16）、（a17，a18，a19，a20）、（a21）、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为{bn}，求b5+b100的值； （2）设An为数列{
𝑎𝑛−1
}的前𝑎𝑛
n项积，若不等式An• √𝑎𝑛+1 ＜f（a）-
𝑎𝑛+3
对一切2𝑎
n∈N*都成
立，求a的取值范围．
20.（问答题，0分）若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”，已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．
2020-2021学年上海市实验学校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：20，总分：0
1.（填空题，0分）已知复数z满足（ 𝑧 -2）i=1（i是虚数单位），则z=___ ． 【正确答案】：[1]2+i
【解析】：直接利用复数的运算和共轭复数的应用求出结果．
【解答】：解：因为 (𝑧‾−2)𝑖=1 ，所以 𝑧=𝑖+2=2−𝑖 ， 所以z=2+i． 故答案为：2+i．
【点评】：本题考查的知识要点：复数的运算，复数的共轭，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
2.（填空题，0分）已知等差数列{an}，其中a1= 3 ，a2+a5=4，an=33，则n的值为___ ． 【正确答案】：[1]50
【解析】：由已知求得等差数列的公差，代入an=33可求n的值．
【解答】：解：在等差数列{an}，由a1= ，a2+a5=4，得 2a1+5d=4，即 3+5𝑑=4 ， 𝑑=3 ． ∴ 𝑎𝑛=3+3(𝑛−1)=3𝑛−3 ， 由an=33，得
3𝑛−3=33 ，解得：n=50． 故答案为：50．
【点评】：本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．
3.（填空题，0分）已知α∈（0，π），且有1-2sin2α=cos2α，则cosα=___ ． 【正确答案】：[1] 5 √52
11
2
2
1
2
2
1
3
11
【解析】：由二倍角公式和同角的三角函数关系，计算即可．
【解答】：解：由1-2sin2α=cos2α，得1-cos2α=2sin2α， 即2sin2α=4sinαcosα； 又α∈（0，π），所以sinα≠0， 所以sinα=2cosα＞0；
由sin2α+cos2α=（2cosα）2+cos2α=5cos2α=1， 解得cosα= 5 ． 故答案为： 5 ．
【点评】：本题考查了三角恒等变换与三角函数求值问题，是基础题．
4.（填空题，0分）在复平面上复数-1+i，0，3+2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为 ___ ． 【正确答案】：[1] √13
【解析】：根据复数的代数意义，求出点的坐标，结合中点坐标公式以及两点间的距离公式进行求解即可．
【解答】：解：∵复数-1十i，0，3+2i所对应的点分别是A，B，C， ∴A（-1，1），B（0，0），C（3，2）， 则AC的中点M（1， 2 ）， 设D（x，y）， 则BD的中点是M，
𝑥+02
即 {𝑦+0
2
3
√5√5=1=2
3 ，得 {
𝑥=2
，即D（2，3）， 𝑦=3
则|BD|= √22+32 = √4+9 = √13 ， 故答案为： √13
【点评】：本题主要考查复数的几何意义以及两点间距离的计算，根据复数的几何意义求出点的坐标是解决本题的关键．
5.（填空题，0分）若复数z满足|z-4+7i|≤2，则|z-10-i|的最大值为 ___ ． 【正确答案】：[1]12
【解析】：由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】：解：满足|z-4+7i|≤2的复数z表示的点的轨迹为以M（4，-7）为圆心，以2为半径的圆及其内部， 如图，
|z-10-i|的几何意义为动点Z到定点A（10，1）的距离， 则|z-10-i|的最大值为|MA|+2= √(10−4)2+(1+7)2+2 =12． 故答案为：12．
【点评】：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题． ⃗⃗ =（-3x，2），且 𝑎⃗⃗ 的夹角为钝角，则x的6.（填空题，0分）若向量 𝑎⃗ =（x，2x）， 𝑏⃗ 、 𝑏取值范围是 ___ ．
【正确答案】：[1]（-∞，- 3 ）∪（- 3 ，0）∪（ 3 ，+∞）
⃗⃗ =【解析】：本题考查的知识点是平面向量数量积表示两个向量的夹角， 𝑎⃗ =（x，2x）， 𝑏⃗⃗ 的夹角为钝角，结合数量积表示两个向量的夹角，我们可以得到一个（-3x，2），且 𝑎⃗、 𝑏⃗⃗ 反向的排除． 关于x的不等式，解不等式即可得到x的取值范围，但要注意， 𝑎⃗ 与 𝑏
⃗⃗ 的夹角θ为钝角 【解答】：解：∵ 𝑎⃗，𝑏⃗⃗ =（-3x，2）， 又∵向量 𝑎⃗ =（x，2x）， 𝑏∴cosθ=
⃗⃗⃗⃗•𝑏𝑎−3𝑥2+4𝑥 = ＜0 ⃗⃗||𝑎⃗⃗|•|𝑏√5|𝑥|•√3𝑥2+41
1
4
即-3x2+4x＜0 解x＜0，或x＞ 3 ⃗⃗ 反向，不满足条件 又∵当x=- 3 时， 𝑎⃗ 与 𝑏
故满足条件的x的取值范围是（-∞，- 3 ）∪（- 3 ，0）∪（ 3 ，+∞）
1
1
4
1
4
故答案为：（-∞，- 3 ）∪（- 3 ，0）∪（ 3 ，+∞）
⃗⃗ 的夹角为钝角得到 𝑎⃗⃗＜0 ，而忽视了 𝑎⃗⃗【点评】：本题是一个易错题，容易只由 𝑎⃗ ， 𝑏⃗•𝑏⃗•𝑏⃗⃗ 夹角为钝角的充要条件，因为 𝑎⃗⃗ 的夹角为180°⃗⃗＜0 ，从而扩大＜0 不是 𝑎⃗，𝑏⃗ ， 𝑏时也有 𝑎⃗•𝑏x的范围，导致错误．
7.（填空题，0分）数列{an}的前n项和Sn=3+2n，则其通项公式an=___ ． 5，𝑛=1
【正确答案】：[1] {
2𝑛−1，𝑛≥2
【解析】：在数列{an}的前n项和Sn=3+2n中，取n=1求得数列首项，当n≥2时，可得an=Sn-Sn-1，验证首项后得结论．
【解答】：解：由Sn=3+2n，得a1=S1=5；
当n≥2时， 𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=3+2𝑛−(3+2𝑛−1)=2𝑛−1 ． 验证n=1时上式不成立． 5，𝑛=1∴an= { ．
𝑛−1
2，𝑛≥25，𝑛=1
故答案为： { ．
2𝑛−1，𝑛≥2
【点评】：本题考查数列递推式，训练了利用数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题． ⃗⃗⃗⃗⃗=1⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 8.（填空题，0分）在△ABC中，AB=1，AC=2， ⃗𝐶𝐸𝐶𝐵𝐶𝐴𝐴𝐸•⃗⃗⃗𝐵𝐶
6
3
114
【正确答案】：[1] 【解析】：根据平面向量的运算性质分别计算即可．
⃗⃗⃗ =（ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 【解答】：解： ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝐸•⃗⃗⃗𝐵𝐶𝐴𝐶𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 𝐴𝐶63
1
⃗⃗⃗⃗⃗ - 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）• 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 3 ⃗𝐴𝐶𝐵𝐶6
1
⃗⃗⃗⃗⃗ - 1 （ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=[ 3 ⃗𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐵 ）]（ ⃗𝐴𝐶𝐴𝐵 ） 6
1
2
1
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）（ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ） = 6 （ 𝐴𝐶= （4-1）= ，
16
12
1
故答案为： 2 ．
【点评】：本题考查了平面向量的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．
9.（填空题，0分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）是R上的偶函数，图象关于点M（ 4 π，0）对称，在[0， 2 ]是单调函数，则符合条件的数组（ω，φ）有___ 对． 【正确答案】：[1]4
【解析】：根据正弦、余弦函数的奇偶性、对称性和单调性，进行求解即可．
【解答】：解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）是R上的偶函数， ∴φ= 或φ= ，
故当φ= 2 时，f（x）=cosωx，
∵它的图象关于点M（ 4 π，0）对称，∴ω× 4 =kπ+ 2 ，k∈Z，即ω= 在[0， 2 ]是单调函数，∴ 2 = 𝜔 ≥ 2 -0，∴0＜ω≤2． 当k=0，ω= 3 ；当k=1，ω=2．
则符合条件的数组（ω，φ）有：（ 3 ， 2 ）、（2， 2 ）．
当φ= 2 时，f（x）=-cosωx，同理求得符合条件的数组（ω，φ）有：（ 3 ， 2 ）、（2，
3𝜋
）． 2
3𝜋
2
3𝜋
2
𝜋
𝜋
2
𝜋
𝑇
𝜋
𝜋
3
3𝜋
𝜋
4𝑘+2
． 3
𝜋𝜋
2
3𝜋23
𝜋
1
综上可得，符合条件的数组（ω，φ）有4对， 故答案为：4．
【点评】：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，利用三角函数的单调性、奇偶性和对称性是解题的关键，属于中档题．
10.（填空题，0分）若a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数，且a、b、-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q+pq的值形成的集合是___ ．
【正确答案】：[1]{9}
【解析】：由算术平均数和几何平均数的定义求出a=
𝑝+𝑞
，b= √𝑝𝑞 ，且2
a≥b＞-2，再由a、
b、-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，列出方程组求出a=4，b=1，由此能求出p+q+pq的值形成的集合．
【解答】：解：∵a、b分别是正数p、q的算术平均数和几何平均数， ∴a=
𝑝+𝑞
，b= √𝑝𝑞 ，且2
a≥b＞-2，
∵a、b、-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， 2𝑏=𝑎−2∴ { ，解得a=4，b=1， (−2)2=𝑎𝑏∴p+q=8，pq=1，∴p+q+pq=9， ∴p+q+pq的值形成的集合是{9}． 故答案为：{9}．
【点评】：本题考查满足条件的集合的求法，考查算术平均数、几何平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.（单选题，0分）设复数z满足 1+𝑧 =i，则|1+z|=（ ） A.0 B.1 C. √2 D.2
【正确答案】：C
【解析】：化简复数方程，求出复数z为a+bi（a、b∈R）的形式，然后再求复数|1+z|的模．
【解答】：解：由于
1−𝑖
1−𝑧1+𝑧
1−𝑧
=𝑖 ，所以1-z=i+zi
−2𝑖2
所以z= 1+𝑖 = (1+𝑖)(1−𝑖)=则|1+z|= |1−𝑖|=√2 故选：C．
(1−𝑖)(1−𝑖)
=−𝑖
【点评】：本题考查复数代数形式的混合运算，复数求模，是基础题．
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 =0，则△ABC的形状一定是（ ） 12.（单选题，0分）在△ABC中，若 𝐴𝐵A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【正确答案】：B
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故∠A= 𝜋 ，由此可得△ABC的形状． 【解析】：由条件求得 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵 • 𝐴𝐶𝐴𝐵 ⊥ 𝐴𝐶
2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 【解答】：解：在△ABC中， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵 • 𝐵𝐶𝐴𝐵2 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵 •（ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵 + ⃗⃗⃗𝐵𝐶𝐴𝐵 • 𝐴𝐶∴∠A= ，则△ABC为直角三角形， 故选：B．
【点评】：本题主要考查两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，属于基础题．
⃗⃗ |≠0，且关于x的方程x2+| 𝑎⃗⃗ =0有实根，则 𝑎13.（单选题，0分）已知| 𝑎⃗ |=2| 𝑏⃗ |x+ 𝑎⃗ • 𝑏⃗ 与 ⃗⃗ 的夹角的取值范围是（ ） 𝑏A.[0， 6 ] B.[ 3 ，π] C.[ 3 ， 3 ] D.[ 6 ，π] 【正确答案】：B
⃗⃗=0 有实根，可知方程的判别式大于等于0，【解析】：根据关于x的方程 𝑥2+|𝑎⃗|𝑥+𝑎⃗•𝑏⃗⃗≥0 ，再由找出 |𝑎⃗|−4𝑎⃗•𝑏
2
⃗⃗|2|𝑎⃗⃗⃗⃗•𝑏𝑎4cosθ= |𝑎⃗⃗ ≤ 12
⃗⃗|•|𝑏|⃗⃗||𝑎21
𝜋
2
𝜋
𝜋
𝜋2𝜋
𝜋
=2 ，可得答案．
1
⃗⃗|≠0 ，且关于x的方程 𝑥2+|𝑎⃗⃗=0 有实根， 【解答】：解： |𝑎⃗|=2|𝑏⃗|𝑥+𝑎⃗•𝑏⃗⃗≥0 ，设向量 𝑎⃗⃗ 的夹角为θ， 则 |𝑎⃗|2−4𝑎⃗•𝑏⃗，𝑏
⃗⃗|2|𝑎⃗⃗⃗⃗•𝑏𝑎4cosθ= |𝑎⃗⃗ ≤ 12
⃗⃗|•|𝑏|⃗⃗||𝑎
21
=2 ，
1
∴θ∈ [，𝜋] ， 故选：B．
【点评】：本题主要考查平面向量数量积的逆应用，即求角的问题．属基础题． 14.（单选题，0分）设a∈R，函数f（x）=cosx+cosax，下列三个命题： ① 函数f（x）=cosx+cosax是偶函数；
② 存在无数个有理数a，函数f（x）的最大值为2；
③ 当a为无理数时，函数f（x）=cosx+cosax是周期函数，以上命题正确的个数为（ ） A.3 B.2
𝜋3
C.1 D.0
【正确答案】：B
【解析】：由奇偶性的定义，即可判断 ① ；运用余弦函数的值域，即可判断 ② ；运用周期函数的定义，结合和差的余弦公式，即可判断 ③ ．
【解答】：解：函数f（x）=cosx+cosax，x∈R； f（-x）=cos（-x）+cos[a（-x）]=cosx+cosax=f（x）， ∴函数f（x）是偶函数， ① 正确； f（x）=cosx+cosax=2cos cos
(𝑎+1)𝑥2
(𝑎+1)𝑥2
cos
(𝑎−1)𝑥2
，
=cos (𝑎−1)𝑥2
=±1时，函数f（x）的最大值为2，
存在无数个有理数a，函数f（x）的最大值为2， ② 正确； ③ 当a为无理数时，若函数f（x）=cosx+cosax是周期函数， 设t为函数f（x）的周期，可得f（x+t）=f（x），
即为cos（x+t）+cosa（x+t）=cosxcost-sinxsint+cosaxcosat-sinaxsinat =cosx+cosax，
可得cost=1，且cosat=1， 即有t=2kπ，at=2mπ，k，m∈Z， 即有ka=m，可得a为有理数， 故 ③ 不正确． 正确命题的个数为2， 故选：B．
【点评】：本题考查函数的奇偶性和周期性、最值，考查定义法的运用，以及运算求解能力，属于中档题．
15.（问答题，0分）已知复数z=a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使 𝑧 = （1）求证：2a+b=6； （2）求|z|的取值范围．
2+4𝑖
-3ati𝑡
成立．
【正确答案】：
【解析】：（1）直接利用复数相等的条件列式即可证明结论； （2）写出|z|，用含有a的代数式表示，再由配方法求最值得答案．
【解答】：（1）证明：∵z=a+bi（其中a、b∈R），存在实数t，使 𝑧 = 则a-bi=
2+4𝑖
-3ati，可得 {𝑡
2+4𝑖
-3ati， 𝑡
𝑎=
2𝑡
𝑏=3𝑎𝑡−
4 ，消去𝑡
t可得2a+b=6；
（2）解：|z|2=a2+b2=a2+（6-2a）2=5a2-24a+36 = 5(𝑎−∴|z|∈[
【点评】：本题考查复数相等的条件，考查复数模的求法，训练了利用配方法求最值，是基础题．
⃗⃗ 是两个不共线的非零向量（t∈R）． 16.（问答题，0分）设 𝑎⃗ 、 𝑏
1⃗⃗ ， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ），那么当实数t为何值时，A，B，C三点共（1）记 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑂𝐴 = 𝑎⃗ ， ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑂𝐵 =t 𝑏𝑂𝐶 = 3 （ 𝑎⃗ + 𝑏
122
)5
+
36 ． 5
6√5 ，+∞）． 5
线？
⃗⃗ |=1且 𝑎⃗⃗ 夹角为120°⃗⃗ |的值最小？ （2）若| 𝑎⃗ |=| 𝑏⃗ 与 𝑏，那么实数x为何值时，| 𝑎⃗ +x 𝑏
【正确答案】：
1
⃗⃗ =- 2 λ 𝑎⃗⃗ ，再根据 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即- 𝑎【解析】：（1）由A、B、C三点共线可得 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵 =λ 𝐴𝐶⃗ +t 𝑏⃗ + λ 𝑏33
{
−1=−3𝜆𝑡=
1
𝜆3
2
，解得t的值．
⃗⃗ =- 1 ，再根据| 𝑎⃗⃗ |2=（x+ 1 ）2+ 3 ≥ 3 ，可得| 𝑎⃗⃗ |的最小值． （2）由条件求得 𝑎⃗•𝑏⃗ +x 𝑏⃗ -x 𝑏
2244
1
⃗⃗ =λ（- 2 𝑎⃗⃗ ）=- 2 λ 𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴- 𝑎【解答】：解：（1）∵A、B、C三点共线，∴ 𝐴𝐵⃗ +t 𝑏⃗ + 𝑏⃗
3
3
3
1
⃗⃗ ， + λ 𝑏3
−1=−3𝜆1∴ { ，解得 t= ． 12
𝑡=3𝜆
⃗⃗ |=1，＜ 𝑎⃗⃗ ＞=120°⃗⃗ =- 1 ， （2）∵| 𝑎⃗ |=| 𝑏⃗ ， 𝑏，∴ 𝑎⃗•𝑏2
⃗⃗ |2=| 𝑎⃗⃗ |2-2x• 𝑎⃗⃗ =1+x2+x=（x+ 1 ）2+ 3 ≥ 3 ， ∴| 𝑎⃗ +x 𝑏⃗ |2+x2| 𝑏⃗•𝑏
2
4
4
2
⃗⃗ |的最小值为 √3 ，此时，x=- 1 ． ∴| 𝑎⃗ -x 𝑏22
【点评】：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量共线的性质，求向量的模，属于基础题．
17.（问答题，0分）已知等比数列{an}的公比q≠1，a1=32，且2a2、3a3、4a4成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=log2an，求数列{|bn|}的前n项和Tn．
【正确答案】：
【解析】：（1）由已知可得2a2+4a4=6a3，结合等比数列的通项公式可得a1q+2a1q3=3a1q2．解方程可求首项a1，公比q，进而可求通项
6−𝑛 1≤𝑛≤6
（2）由（1）可求an=26-n，bn=log226-n=6-n．则有 |𝑏𝑛|=|6−𝑛|={ ，从而
𝑛−6 𝑛≥7.分1≤n≤6及n≥7两种情况分别对数列进行求和即可
【解答】：解：（1）因为2a2、3a3、4a4成等差数列， 所以2a2+4a4=6a3，即a1q+2a1q3=3a1q2．
因为a1≠0，q≠0，所以2q2-3q+1=0，即（q-1）（2q-1）=0． 因为q≠1，所以 𝑞=2 ．所以 𝑎𝑛=𝑎1𝑞𝑛−1=32×(2)所以数列{an}的通项公式为an=26-n（n∈N*）． （2）因为an=26-n，所以bn=log226-n=6-n． 6−𝑛 1≤𝑛≤6
所以 |𝑏𝑛|=|6−𝑛|={
𝑛−6 𝑛≥7.
当1≤n≤6时，Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|=b1+b2+…+bn=
𝑛×[5+(6−𝑛)]
2
1
1𝑛−1
=26−𝑛 ．
=−2𝑛2+
1
11
𝑛 ； 2
当n≥7时，Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|=（b1+b2+…+b6）-（b7+b8+…+bn）=2（b1+b2+…+b6）-
（b1+b2+…+bn）= 2×15−(−2𝑛2+综上所述， 𝑇𝑛={1
2
1
11𝑛)2
=2𝑛2−
1
11
𝑛2
+30 ．
−2𝑛2+𝑛−
2
1
11
𝑛2
11
𝑛 12
≤𝑛≤6
+30 𝑛≥7.
【点评】：本题主要考查了等差数列与等比数列综合的基本运算，这是数列部分最基本的类型考查，而（2）的关键是要对n分类讨论，求解的关键还是等差数列的求和公式．
18.（问答题，0分）如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD和EF．小明在只有量角器（可以测量从测量人出发的两条射线的夹角）和直尺（可测量步行可抵达的两点之间的直线距离）且不渡过河的条件下，为了计算塔CD的高度，他在点A测得点D的仰角为30°，∠CAB=75°，又选择了相距100米的B点，测得∠ABC=60°． （1）请你根据小明的测量数据求出塔CD高度；
（2）在完成（1）的任务后，小明想要计算两塔顶之间的距离DF，在测得∠BAE=90°之后，小明准备再测量两个角的大小，并为此准备了如下四个方案： 方案 ① ：测量∠ABF和∠DAF 方案 ② ：测量∠ABE和∠EAF 方案 ③ ：测量∠ABE和∠ECF 方案 ④ ：测量∠ABF和∠AFB
请问：小明的备选方案中有哪些是可行的？写出所有可行方案的序号；
（3）选择（2）中的一种方案，并结合以下数据，计算出两塔顶DF之间的距离，精确到米．∠ABF=58.0°，∠ABE=50.2°，∠DAF=16.7°，∠EAF=41.5°，∠ECF=53.8°，∠AFB=32.0°．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用三角形内角和求出∠ACB，由正弦定理求出AC，在△ACD中，利用边角关系求解CD即可；
（2）分别利用三角形内角和定义以及余弦定理进行分析判断即可； （3）利用（2）中的计算过程，代入数值计算即可．
【解答】：解：（1）在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-75°-60°=45°， 由正弦定理可得， 𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐵𝐴=𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐶𝐵 ， 所以 𝐴𝐶=
100×𝑠𝑖𝑛60°
𝑠𝑖𝑛45°
𝐴𝐶
𝐴𝐵
=50√6 米，
又由题意可知，DC⊥AC，∠DAC=30°，
所以 𝐶𝐷=𝐴𝐶•𝑡𝑎𝑛∠𝐷𝐴𝐶=50√6×𝑡𝑎𝑛30°=50√2 米； （2）可行方案： ① ② ③ ．理由如下： 由（1）知， 𝐴𝐷=𝑠𝑖𝑛30°=100√2 米， 因为∠BAE=90°，所以AB⊥AE， 由已知AB⊥EF，且AE∩EF=E， 所以AB⊥平面AEF，又AF⊂平面AEF， 所以AB⊥AF，∠BAF=90°， ① 若已知∠ABF和∠DAF．
在直角△ABF中，AF=AB•tan∠ABF，
在△ADF中，由余弦定理可得， 𝐷𝐹=√𝐴𝐷2+𝐴𝐹2−2𝐴𝐷•𝐴𝐹•𝑐𝑜𝑠∠𝐷𝐴𝐹 ． ② 若已知∠ABE和∠EAF．
在直角△ABE中，AE=AB•tan∠ABE， 因为∠EAC=∠BAE-∠BAC=90°-75°=15°，
所以在△EAC中，由余弦定理可得， 𝐸𝐶=√𝐴𝐸2+𝐴𝐶2−2𝐴𝐸•𝐴𝐶•𝑐𝑜𝑠∠𝐸𝐴𝐶 ， 在直角△AEF中，EF=AE•tan∠EAF，
在EF上截取EG=CD，则FG=EF-EG，且四边形DCEG为矩形，故EC=DG， 在直角△DGF中， 𝐷𝐹=√𝐺𝐹2+𝐷𝐺2=√𝐺𝐹2+𝐸𝐶2 ． ③ 若已知∠ABE和∠ECF．
在直角△ABE中，AE=AB•tan∠ABE， 因为∠EAC=∠BAE-∠BAC=90°-75°=15°，
所以在△EAC中，由余弦定理可得， 𝐸𝐶=√𝐴𝐸2+𝐴𝐶2−2𝐴𝐸•𝐴𝐶•𝑐𝑜𝑠∠𝐸𝐴𝐶 ， 在直角△ECF中，EF=EC•tan∠ECF，
在EF上截取EG=CD，则FG=EF-EG，且四边形DCEG为矩形，故EC=DG，
𝐶𝐷
在直角△DGF中， 𝐷𝐹=√𝐺𝐹2+𝐷𝐺2=√𝐺𝐹2+𝐸𝐶2 ．
④ 由于∠ABF和∠AFB在同一个三角形中，无法获取其他三角形中的边角关系， 故而无法利用正弦定理和余弦定理进行求解． （3）选择方案 ① ，解析如下： ∠ABF=58.0°，∠DAF=16.7°，
由（1）知， 𝐴𝐷=𝑠𝑖𝑛30°=100√2 米．
由（2）中方案 ① 知，在直角△ABF中，AF=AB•tan∠ABF=100•tan58.0°=160.03米， 在△ADF中，由余弦定理可得， 𝐷𝐹=√𝐴𝐷2+𝐴𝐹2−2𝐴𝐷•𝐴𝐹•𝑐𝑜𝑠∠𝐷𝐴𝐹 = √(100√2)+160.032−2×100√2×160.03×𝑐𝑜𝑠16.7°≈47 ， 故两塔顶DF之间的距离为47米．
【点评】：本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了线面垂直的判定，逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．
19.（问答题，0分）设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n， 𝑛 ）都在函数f（x）
𝑛
=x+ 2𝑥 的图象上．
𝐶𝐷
2
𝑆
𝑛
𝑎
（1）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1）、（a2，a3）、（a4，a5，a6）、（a7，a8，a9，a10）、（a11）、（a12，a13）、（a14，a15，a16）、（a17，a18，a19，a20）、（a21）、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为{bn}，求b5+b100的值； （2）设An为数列{
𝑎𝑛−1
}的前𝑎𝑛
n项积，若不等式An• √𝑎𝑛+1 ＜f（a）-
𝑎𝑛+3
对一切2𝑎
n∈N*都成
立，求a的取值范围．
【正确答案】：
【解析】：（1）题意转化为 𝑆𝑛=𝑛2+
𝑎𝑛
，再利用2
an=Sn-Sn-1得到an+an-1=4n-2，进而得到
数列an的奇数项是等差数列，偶数项也是等差数列，从而求出an=2n，再结合题意求b5和b100即可；
（2）题意转化为 (1−𝑎)(1−𝑎)⋯(1−𝑎)√2𝑛+1＜𝑎−2𝑎 对一切n∈N*都成立．构造函数
1
2
𝑛
1113
𝑔(𝑛)=(1−𝑎)(1−𝑎)⋯⋯(1−𝑎)√2𝑛+1 ，n∈N*，结合函数的单调性求出g（n）的最大
1
2
𝑛
111
值再建立不等式即可求解．
【解答】：解：（1）因为点 (𝑛，𝑛) 都在函数 𝑓(𝑥)=𝑥+
𝑛𝑛
所以 𝑛=𝑛+2𝑛 ，即 𝑆𝑛=𝑛2+
𝑆
𝑛𝑎𝑛
的图象上， 2𝑥
𝑆𝑎
𝑎𝑛
① ， 2
当 n⩾2 时， 𝑆𝑛−1=(𝑛−1)2+由 ① - ② 得， 𝑎𝑛=(𝑛2+
𝑎𝑛−1
② ， 2
𝑎𝑛
)−2
[(𝑛−1)2+
𝑎𝑛−1
] ， 2
整理得an+an-1=4n-2 ③ ， 当n⩾3时，an-1+an-2=4n-6 ④ ， 由 ③ - ④ 得an-an-2=4，
11
又 1=1+2×1⇒𝑎1=2，
𝑆𝑎
𝑆2
2
2
=2+2×2⇒𝑎2=4 ，
𝑎
于是数列{a2n}是为4为首项，4为公差的等差数列，即a2n=4n， 数列{a2n-1}是以2为首项，4为公差的等差数列，即a2n-1=4n-2， 所以an=2n．
另解：当n⩾2时，an+an-1=4n-2⇔an-2n=-（an-1-（2n-2）），
于是有 𝑎𝑛−2𝑛=−(𝑎𝑛−1−(2𝑛−2))=(−1)2[𝑎𝑛−2−(2𝑛−4)]=⋯=(−1)𝑛−1(𝑎1−2)=0 ， 故an=2n．
因为 𝑎𝑛=2𝑛(𝑛∈𝑁∗) ，
所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4 项循环地分为
（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42）
每一次循环记为一组，由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．
由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20． 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20．
故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80． 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以b100=68+24×80=1988．又b5=22，所以b5+b100=2010． （2）因为
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
=1−𝑎 ，故 𝐴𝑛=(1−𝑎)(1−𝑎)⋯⋅(1−𝑎) ，
𝑛
1
2
𝑛
1111
所以 𝐴𝑛√𝑎𝑛+1=(1−𝑎)(1−𝑎)⋯⋅(1−𝑎)√2𝑛+1 ．
1
2
𝑛
111
又 𝑓(𝑎)−
𝑎𝑛+32𝑎
𝑛
=𝑎+2𝑎−
𝑎
𝑎𝑛+3
2𝑎
=𝑎−2𝑎 ，
n∈N*都成立，
3
3
故 𝐴𝑛√𝑎𝑛+1＜𝑓(𝑎)−
1
1
1
2
𝑎𝑛+3
对一切2𝑎
1
即 (1−𝑎)(1−𝑎)⋯(1−𝑎)√2𝑛+1＜𝑎−2𝑎 对一切n∈N*都成立．
𝑛
设 𝑔(𝑛)=(1−𝑎)(1−𝑎)⋯⋯(1−𝑎)√2𝑛+1 ，n∈N*，则只需 [𝑔(𝑛)]𝑚𝑎𝑥＜𝑎−2𝑎 即可．
1
2
𝑛
1113
𝑔(𝑛+1)
由于 ()
𝑔𝑛
=(1−
1𝑎𝑛+1
)
√2𝑛+3⋅
√2𝑛+1=
2𝑛+1√2𝑛+3⋅
2𝑛+2√2𝑛+2=
√4𝑛2+8𝑛+3√4𝑛2+8𝑛+4＜1 ，
√3 ． 2
所以 g（n+1）＜g（n），故 g（n） 是单调递减，于是 [𝑔(𝑛)]𝑚𝑎𝑥=𝑔(1)=令
√3＜𝑎2
−
(𝑎−√3)(2𝑎+√3)3√3 ，即 ＞0 ，解得 −＜𝑎＜0 ，或 𝑎＞√3 ． 2𝑎𝑎2
√3，0)∪(√3，2
综上所述，使得所给不等式对一切 n∈N*都成立的实数 a 的取值范围是 (−+∞) ．
【点评】：本题考查了利用函数的解析式求数列的递推公式进而求解数列的项，考查等差数列的求和公式的应用，考查数列的单调性求解数列的最大（小）项问题，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于难题．
20.（问答题，0分）若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，则称y=f（x）为“Ω函数”，已知函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”，求出所有的有序实数对（a，b）．
【正确答案】：
【解析】：利用题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，即可得到答案．
【解答】：解：因为函数f（x）=tanx是一个“Ω函数”， 设有序实数对（a，b）满足tan（a-x）tan（a+x）=b恒成立，
当a= 2+𝑘𝜋 ，k∈Z时，tan（a-x）tan（a+x）=-cot2x，不是常数，不符合题意； 所以a≠ 2+𝑘𝜋 ，k∈Z，
𝜋𝜋
当x≠ 2+𝑚𝜋 ，m∈Z时，有（btan2a-1）tan2x+（tan2a-b）=0恒成立， 所以btan2a-1=0且tan2a-b=0， 所以tan2a=1，b=1， 故 𝑎=4+𝑘𝜋 ，k∈Z，b=1，
所以当x≠ 2+𝑚𝜋 ，m∈Z时， 𝑎=4+𝑘𝜋 ，k∈Z时，tan（a-x）tan（a+x）=-cot2a=1为定值，
故满足f（x）=tanx是一个“Ω函数”的有序实数对（a，b）为 (𝑘𝜋+4，1)，𝑘∈𝑍 ．
【点评】：本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
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