降低函数概念的抽象性

摘要：对于中学生来说，函数的概念是一个比较抽象，但同时也是十分重要的知识点，它是后续学习函数的图像和性质的基础。本文从学生的认知角度剖析一下函数的概念，降低其抽象性，便于学生理解。

关键词：函数的概念；降低；抽象性

高中数学知识内容多，进度快。而函数这部分概念是学生刚刚进入高中阶段，还没有适应新的学习生活，就要学习的。再加上函数本身又难以理解，导致很多学生到了高三毕业，函数仍然搞不懂，成为“夹生饭”。现从学生角度剖析一下函数的概念。 一、函数概念中内容比较多，将知识细化，各个击破

在初中也给出过函数的定义。我问过学生们：“什么是函数？”回答的内容无非就是一次函数、二次函数、反比例函数，以及因变量随着自变量的变化而变化，都理解的不到位。高中的函数概念有整整一页纸的篇幅，要想让学生记住，就得通过自主学习。如何自主学习？那就需要教师的引导。通过提出小问题，将知识细化。

如：问题1：函数的定义初中与高中有什么区别？问题2：接1，有什么共同点？问题3：定义域和值域与自变量x和因变量y有什么关系？问题4：函数的对应关系是怎么样的？问题5：定义域是集合A吗？值域是集合B吗？

学生带着问题看书，有目的地分组讨论，最后用自己的理解回答。

将概念变成问题细化后，在学生回答时，若有遗漏和错误，其他同学可以补充和解答。老师再进行总结。对于问题1，初中的定义是变化过程中的函数，强调了对应关系，而高中的定义是在集合的背景下定义的，且表述更为细致；对于问题2，初中和高中的定义的对应关系是相同的，都是强调每一个自变量x都有唯一确定的因变量y与之对应；对于问题3，自变量x属于集合A，因变量y属于集合B，集合A叫作定义域，因变量组成的集合叫作值域，这个说法是新知识，要强调二者的书写要写成集合形式（后面还可以用区间形式）。自变量和因变量都是数，集合A和集合B是两个非空的数集；对于问题4，自变量x需强调“任意性”，因变量y需强调“唯一性”；对于问题5，定义域是集合A，但值域并不一定是集合B，这个可以通过简单的对应关系进行注解。如：

图1-1 图1-2

对于图1-1就可以解释值域就是集合B，而图1-2就可以解释值域是集合B的子集。 二、函数概念中符号表示比较抽象，应进行注解，便于理解

高中的函数概念可记作f：A→B，表示从A到B的对应，其中f就是对应关系，箭头左边是定义域。这也是后面学习反函数的基础。这样表示，学生更能清楚地看到函数的三要素：定义域、值域、对应关系，加深理解。

还有就是y=f（x）的表示，很多学生不明白它有什么好，且不喜应用。函数概念的应用是高考的高频考点，是学生必须要掌握的内容。下面举几个简单的函数概念的常见例题。

例1、下列对应中，哪些是函数，哪些不是？为什么？

（1）设A=｛1，2，3，4｝，B=｛3，5，7，9｝，对应的关系是f（x）=2x+1，x A； （2）设A=｛1，4，9｝，B=｛-1，1，-2，2，-3，3｝，对应关系是“A中的元素开平方”； （3）A=R，B=R，对应关系是f（x）= ，x A； （4）A=R，B=R，对应关系是f（x）=2 +1，x A；

（5）A=｛中国，日本，英国｝，B=｛北京，东京，伦敦｝，对应关系是集合A中国家对应的首都.

对于概念的考核，就看其是否符合定义。函数可以理解为两个非空数集之间的对应，且每一个自变量x都要有唯一的因变量y与之对应。因此，（1）与（4）是函数。且（4）中值域是｛y｜y≥1｝，是集合B的子集；（2）、（3）、（5）不是函数。（2）不符合唯一性。反之，则可行；（3）中当x为0时集合B没有数与之对应，不符合任意性；（5）不是数集之间的对应。

例2、下列函数是不是同一个函数？

函数的概念是基础，学生要将其理解清楚，为学习函数的图像和性质做好准备，循序渐进，才能收到事倍功半的效果。