统编人教A版高中必修第一册《4.3 对数》名校精品导学案

1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质； 2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.

1.数学抽象：对数的运算性质； 2.逻辑推理：换底公式的推导； 3.数学运算：对数运算性质的应用；

4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题.

重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用； 难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．

一、 预习导入

阅读课本111-113页，填写。 1．对数的运算性质

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝___________________， M

(2)loga＝___________________，

N(3)logaMn＝___________________(n∈R)．

[点睛] 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的． 2．换底公式

logcb

若c>0且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)．

logca

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)积、商的对数可以化为对数的和、差． ( )

1

(2)loga(xy＝logax·logay. ( ) (3)log2(－5)2＝2log2(－5)． ( ) (4)由换底公式可得logab＝

log－2b

. ( )

log－2a

2．计算log84＋log82等于( )

A．log86 B．8 C．6 D．.1

3．计算log510－log52等于( )

A．log58 B．lg 5 4．log48＝________.

题型一 对数运算性质的应用 例1 计算下列各式的值:

(1)log2√71

96+log224-2log284; (2)lg 52+2

3lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 跟踪训练一 1.计算下列各式的值

(1)log1

3√27+lg 25+lg 4+7log72+(-9.8)0. (2)2log32-log332

9+log38-52log53. 题型二 换底公式的应用 例2 计算下列各式的值:

(1)logloglg289g2732; (2)(log43log83)lg3

.

跟踪训练二 1.化简:

(1)log23·log36·log68;

(2)(log23+log43)(log32+log274). 题型三 对数的综合应用

C．1 2

D．.2

例3 (1)若3x=4y=36,求2+1𝑥𝑦的值;

(2)已知3x=4y=6z,求证:111

𝑥+2𝑦=𝑧. 跟踪训练三

1.已知3a=7b=M,且2+1𝑎𝑏=2,求M的值?

1.log29log23

＝( ) A.12 B．2 C.32 2．2log510＋log50.25＝( )

A．0 B．1 C．2 3．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )

A．a－2 B．3a－(1＋a)2 C．5a－2

D．－a2＋3a－1

4．计算log225·log322·log59的结果为( )

A．3 B．4 C．55．已知a2＝16

81

(a＞0)，则log2a＝________.

36．lg 5＋lg20的值是________．

7．若logab·log3a＝4，则b的值为________． 8．求下列各式的值：

(1)2log525＋3log264； (2)lg(3＋5＋3－5)； (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.

答案

3

D.92 D．.4

D．.6

小试牛刀

1．(1)√ (2)× (3)× (4)× 2．D 3. C 34. 2自主探究

例1 【答案】(1)- (2)3 【解析】(1)(方法一)原式=log212

796

√7×24√96×√8412=log2=-2.

12

1√21

(方法二)原式=log2+log2(23×3)-log2(22×3×7) =2log27-2log2(25×3)+3+log23-1-2log23-2log27 =-2×5-2log23+2+2log23=-2+2=-2.

1

1

1

5

1

1

1

1

1

(2)原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2 =2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2) =2+lg 5+lg 2=2+1=3. 跟踪训练一

1.【答案】(1) 5 (2) -7 【解析】(1)log3√27+lg 25+lg 4+7

=log332+lg 52+lg 22++1 =2+2lg 5+2lg 2+2=3+2(lg 5+lg 2)

3

3

3

log7

1

2+(-9.8)0

12

105例2 【答案】(1) 9 (2) 6

【解析】(1)原式=lg8·lg27=3lg2·3lg3=

lg3

lg3lg2

lg3

lg3

lg9

lg32

2lg3

5lg2

109

. (2)原式=(lg4+lg8)lg3=(2lg2+3lg2)·lg3

lg2

4

=2lg2·lg3+3lg2·lg3=2+3=6.

lg3lg2lg3lg2115

跟踪训练二

1.【答案】(1) 3 (2)

5 2【解析】(1)原式=log23·1

log26log28

·=log28=3. log23log262

(2)原式=(log23+2log23)×(log32+3log32) =(2log23)×(3log32)=2log23×log32 =log23×521log233

5

5

=.

52例3 【答案】(1) 1 (2)

1 2【解析】(1)∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436,

∴𝑥=log

=log𝑦

21

1

4

22

3

=36

2

log3636log363

=2log363=log369,

=36

1

log3636log364=log364.

∴𝑥+𝑦=log369+log364=log3636=1.

(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m. 所以𝑥=log故+

𝑥1

12𝑦1

1

3

1

=logm3,𝑦=log𝑚

12

11

4

=logm4,𝑧=log𝑚

1m211

6𝑚

=logm6.

=logm3+logm4=logm3+log4=logm3+logm2

1

=logm(3×2)=logm6=𝑧. 跟踪训练三 1.【答案】3√7 5

【解析】因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,

所以+=

𝑎

𝑏2

1

2log𝑀

+

1

log𝑀

=2logM3+logM7=logM9+logM7=logM63=2,

37所以M2=63,因为M>0,所以M=√63=3√7. 当堂检测

1-4．BCAD 4．2 5．1 6. 81

7．【答案】（1） 22；（2） 1

2；（3）1.

【解析】(1)∵2log525＝2log552＝4log55＝4， 3log264＝3log226＝18log22＝18， ∴2log525＋3log264＝4＋18＝22. (2)原式＝1

2lg(3＋5＋3－5)2

＝1

2lg(3＋5＋3－5＋29－5) ＝12lg 10＝12

. (3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2 ＝(lg 5)2－(lg 2)2＋2lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 10(lg 5－lg 2)＋2lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.

6