高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》专项训练及解析答案

一、选择题

1．若复数z的虚部小于0，|z|5，且zz4，则iz（ ） A．13i 【答案】C 【解析】 【分析】

根据zz4可得z2mi(mR)，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】

由zz4，得z2mi(mR)，因为|z|m245，所以m1. 又z的虚部小于0，所以z2i，iz12i. 故选：C 【点睛】

此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.

B．2i

C．12i

D．12i

2．如图所示，在复平面内，OP对应的复数是1－i，将OP向左平移一个单位后得到

uuuvuuuvuuuuv，则P0对应的复数为( ) O0P0

A．1－i C．－1－i 【答案】D 【解析】 【分析】

B．1－2i D．－i

uuuvuuuvuuuuvuuuuv要求P0对应的复数，根据题意，只需知道OP，而OP，从而可求P0对应00OO0O0P0的复数 【详解】

uuuuvuuuvuuuuv1因为O0P0OP，OO0对应的复数是－，

所以P0对应的复数，

11ii，故选D. 即OP0对应的复数是

【点睛】

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．

uuuv

3．已知复数zi(2i)，其中i是虚数单位，则z的模z= ( ) A．3 【答案】B 【解析】

B．5 C．3

D．5

zi(2i)i2i22(1)25，故选B．

4．已知复数z满足1izA．1i 【答案】A 【解析】 因为zB．1i

3i，i为虚数单位，则z等于（ ）

C．

11i 22D．

11i 22|3+i|2(1i)1i，所以应选答案A． 1i(1i)(1i)

5．若zC且z34i2，则z1i的最大和最小值分别为M,m，则Mm的值等于（ ） A．3 【答案】B 【解析】 【分析】

根据复数差的模的几何意义可得复数z在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到M,m，从而可得Mm的值. 【详解】

因为z34i2，

故复数z在复平面上对应的点P到z134i对应的点A的距离小于或等于2， 所以P在以C3,4为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又z1i表示P到复数z21i对应的点B的距离， 故该距离的最大值为AB2B．4

C．5

D．9

3141222412，

最小值为AB2412，故Mm4. 故选：B. 【点睛】

本题考查复数中z1z2的几何意义，该几何意义为复平面上z1,z2对应的两点之间的距离，注意z1z2也有明确的几何意义（可把z1z2化成z1z2），本题属于中档题.

6．已知为虚数单位， mR，复数zm22m8m28m则m的取值集合为（ ）

A．0 B．8 C．2,4 D．4,2 【答案】B

，若z为负实数，

m28m0【解析】由题设可得{2，解之得m8，应选答案B。

m2m80

7．设zA．i 【答案】A 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】 解：Qz34i2，fxxx1，则fz（ ） 43iB．i

C．1i

D．1i

34i 43iz34i34i43ii 43i43i43iQfxx2x1

fzii1i

故选：A 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

2

8．欧拉公式eixcosxisinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，

eiei4表示的复数在复平面中位于（ ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】 根据欧拉公式计算

eiei4，再根据复数几何意义确定象限.

【详解】

ei因为

e4icosisincos4isin4122i2222i22，在第（，）22，所以对应点

22二象限，选B. 【点睛】

本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.

9．设i是虚数单位，则2i3i24i32020i2019的值为（ ） A．10101010i 【答案】B 【解析】 【分析】

利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】

解：设S2i3i24i32020i2019,

可得：iS02i23i34i42019i20192020i2020，

23420192020i2020， 则(1i)S2iiiiiB．10111010i C．10111012i D．10111010i

(1i)Siiiiii23420192020i2020i(1i2019)i2020i2020，

1ii(1i)i(1i)2可得：(1i)Si2020i20202021i，

1i2可得：S故选：B. 【点睛】

本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.

2021i(2021i)(1i)10111010i， 1i2

10．若复数z34sinA．

 6212cosi为纯虚数，0,，则（ ）

 3C．

B．

2 3D．

2或 33【答案】B 【解析】

分析：由题意得到关于sin,cos的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.

详解：若复数z34sin12cosi为纯虚数，则：

232sin34sin204，即：， 112cos0cos23sin2，故. 结合0,，可知：3cos12本题选择B选项.

点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

11．若z1z21，则称z1与z2互为“邻位复数”.已知复数z1a3i与z22bi互为“邻位复数”，a,bR，则a2b2的最大值为（ ） A．827 【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意点(a,b)在圆(x2)2(y3)21，a2b2表示点(a,b)到原点的距离，计算得到答案. 【详解】

B．827 C．17 D．8

|a3i2bi|1，故(a2)2(3b)21，点(a,b)在圆(x2)2(y3)21上，

而a2b2表示点(a,b)到原点的距离， 故ab的最大值为故选：B. 【点睛】

本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力.

222(3)1(17)2827.

222

12．设z2t5t3t2t2i，其中tR，则以下结论正确的是（ ） A．z对应的点在第一象限 C．z对应的点在实轴的下方 【答案】C 【解析】 【分析】

B．z一定不为纯虚数 D．z一定为实数

22根据t22t2t110，2t25t3可正可负也可为0，即可判定. 【详解】

2Qt22t2t110，z不可能为实数，所以D错误；

2z对应的点在实轴的上方，又Qz与z对应的点关于实轴对称，z对应的点在实轴的下

方，所以C正确；

13t,2t25t30，z对应的点在第二象限，所以A错误；

21t,2t25t30，z可能为纯虚数，所以B错误； 2C项正确.

故选：C 【点睛】

此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.

13．复数z满足(2i)z1i，那么|z|（ ） A．

2 5B．

1 5C．

2 5D．

10 5【答案】D 【解析】 【分析】 化简得到z【详解】

13i，再计算复数模得到答案. 55131i(1i)(2i)13i10. ，∴zi，∴|z|2i55555(2i)z1i，∴z故选：D. 【点睛】

本题考查了复数的运算，复数模，意在考查学生的计算能力.

14．复数z(1ai)(a2i)在复平面内对应的点在第一象限，其中aR，i为虚数单位，则实数a的取值范围是（ ） A．(0,2) 【答案】A 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解.

B．(2,)

C．(,2)

D．(2,0)

【详解】

由题意，复数z(1ai)(a2i)3a(2a)i在复平面内对应的点在第一象限，

23a0所以，解得0a2，即实数a的取值范围是(0,2). 22a0故选：A. 【点睛】

本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.

15．如果复数z满足z3iz3i6，那么z1i的最小值是（ ） A．1 【答案】A 【解析】

分析：先根据已知z3iz3i6找到复数z对应的点Z的轨迹，再利用数形结合求

B．2

C．2

D．5 z1i的最小值.

详解：设复数z对应的点Z(x,y),则由题得x2(y3)2它表示点Z到A（0，-3）和B（0,3）的距离和为6， 所以点Z的轨迹为线段AB,

因为z1i=(x1)2(y1)2，它表示点Z到点C（-1,-1）的距离， 所以当点Z在点D(0，-1)时，它和点C（-1,-1）的距离最小，且这个最小距离为1. 故答案为：A

点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)zabi表示复数z对应的点到（-a,-b）的距离，类似这样的结论还有一些，大家要结合直角坐标理解它的几何意义，并做到能利用它解题.

x2(y3)26，

16．（2018江西省景德镇联考）若复数z上，则z（ ） A．2 【答案】B 【解析】

分析：化简复数z，求出对应点坐标，代入直线方程，可求得a的值，从而可得结果. 详解：因为复数zB．2

C．1

D．22 a2i在复平面内对应的点在直线xy02a2iai， 22所以复数z由复数z可得

a2ia在复平面内对应的点的坐标为,1， 22a2i在复平面内对应的点在直线xy0上， 2a10a2，z1i, 2z112,故选B.

17．已知复数zxyi（x，yR），且z23，则A．3 C．26 【答案】C 【解析】 【分析】

根据模长公式，求出复数z对应点的轨迹为圆，值为过(0,1)点与圆相切的切线斜率，即可求解. 【详解】

∵复数zxyi（x，yR），且z23， ∴B．6 D．26 y1的最大值为（ ） xy1表示(x,y)与(0,1)连线的斜率，其最xx222y23，∴x2y3.

2设圆的切线l：ykx1，则2k1k123，

化为k24k20，解得k26，

y1的最大值为26. x故选:C. 【点睛】

∴

本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.

18．已知复数z1，则下列说法正确的是（ ） 34iB．复数z的虚部为

A．复数z的实部为3 C．复数z的共轭复数为【答案】C

4i 2534i 2525D．复数的模为1

【解析】 【分析】

直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】

z134i34i， 34i25252534 ， ，虚部为2525所以z的实部为

2234341z的共轭复数为i，模为， 252552525故选C. 【点睛】

该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.

19．在复平面内，复数z满足z1i12i，则z对应的点位于 （ ） A．第一象限 【答案】B 【解析】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

12i12i1i1i2i2i213i13zi，z1i12i∵，∴21i1i2221i1i∴z13i，故对应的点在第二象限．故选B． 222

20．已知方程x4ix4ai0aR有实根b，且zabi，则复数z等于（ ） A．22i 【答案】A 【解析】 【详解】

由b是方程x4ix4ai0aR的根可得b4ib4ai0,

22B．22i C．22i D．22i

整理可得：baib4b40，

2ba0a2所以2，解得，所以z22i，故选A.

b4b40b2