哈工大研究生2012数值分析

1.(10分)构造出方程f x =x3-2x2+x=0所有根的迭代法，使迭代格式至少2阶收敛，并说明2阶收敛理由。取初值为2，计算接近2的根（要求迭代两次，结果保留4位小数）。

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2.(10分)试确定求积公式 −1𝑓(𝑥)𝑑𝑥≈𝐴−1𝑓 −1 +𝐴0𝑓 0 +𝐴1𝑓(1)，r=3中的待定参数𝐴−1、𝐴0、𝐴1，使公式的代数精度尽可能高，并导出该公式的余项（设𝑓(𝑥)∈𝐶4[−1,1]）。

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1

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332 0𝑥1

3.(10分)方程组 −1 3 −1 𝑥2 = 6

−5 7 −1 𝑥310

1) 用Crout三角分解法解方程组；

2). 计算其系数矩阵A的按模最大的特征值及对应的特征向量。

选取初始向量𝑣0=(0,1,1)𝑇（要求迭代二次，结果保留4位小数）

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−12−1 1𝑥1

4.(10分)已知线性方程组 2 2 2 𝑥2 = 4

−1 −1 2 𝑥3−5

1) 分别写出Jacobi迭代矩阵和Gauss-Seidel迭代矩阵； 2) 分别讨论Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性。

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5.(10分)试用共轭梯度法(cg法)求解线性方程组。（初始值取𝑥(0)=(0,0,0)𝑇）

2043 0𝑥1

34 −1 𝑥2 = 30 0 −1 4 𝑥3−24

已知计算过程为：

给定x(0)，计算𝑟(0)=𝑏−𝐴𝑥(0),𝑝0=𝑟(0) 对k=0，1，···计算

(𝑟 𝑘 ,𝑟 𝑘 )(𝑘+1)

𝛼𝑘=;𝑥=𝑥(𝑘)+𝛼𝑘𝑝𝑘;𝑟(𝑘+1)=𝑟(𝑘)−𝛼𝑘𝐴𝑝𝑘

(𝑝𝑘,𝐴𝑝𝑘)(𝑟 𝑘+1 ,𝑟 𝑘+1 )(𝑘+1)

𝛽𝑘=; 𝑝=𝑟+𝛽𝑘𝑝𝑘 𝑘+1 (𝑟𝑘,𝑟𝑘)

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6.(10分)已知函数f(x)满足数表

x f(xi) 0 0 1 1 4 2

1) 试求f(x)在[0，4]上的Hermite插值多项式H(x)使之满足下列条件 H(x)= f(x)，i=0,1,2 H’(x)=1/2。

2) 写出余项R(x)= f(x)-H(x)的表达式。

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7.(10分)已知数据点(0,7),(1,4),(2,3),(3,3)试利用反差商构造有理插值函数R(x)通过已知数据点。

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8.(10分)选择形如y=

i xi yi

1a0+a1x

，( a0、a1为常数)的经验公式拟合给定的数据表：

0 1.00 5.10 1 1.25 5.79 2 1.50 6.53 3 1.75 7.45 4 2.00 8.46 第 8 页 共 10 页

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9.(10分) 已知求解常微分方程初值问题的差分方法：

ℎ

𝑦𝑛+1=𝑦𝑛+[𝑓 𝑥𝑛,𝑦𝑛 +2𝑓 𝑥𝑛+1,𝑦𝑛+1 ]

31) 求出局部截断误差主项，指出方法的阶数； 2) 讨论其绝对稳定性。

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10.(10分)给定线性多部法 𝑦𝑛+1

11ℎ′′=𝑦𝑛+𝑦𝑛−1+[7𝑦𝑛−𝑦𝑛−1] 224初始值及𝑦0、𝑦1，h为步长。

1) 讨论该方法的收敛性和绝对稳定性；

𝑦′+10𝑦=02) 对初值问题 取步长h=0.04，初值𝑦1=0.6703，求x=0.08，0.12时

𝑦 0 =1.0

的数值解（计算中保留小数点后4位）。 （参考定理：设x1和x2是实系数二次方程x2+bx+c=0的根，则 𝑥1 <1, 𝑥2 <1的充要条件是 𝑏 <1+𝑐, 𝑐 <1）

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