初高中数学衔接《三角形与圆》

（一）三角形与三角形的“四心”

5．1三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图1图2如图1，在三角形ABC中，有三条边AB、BC、CA，三个角∠A,∠B,∠C，三个顶点A,B,C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3）图3例2已知V ABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c，I为V ABC的内心，且I在△ABC的边BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F，求证：AE=AF=证明b+c-a.2.例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知O为三角形ABC的重心和内心.求证三角形ABC为等边三角形.证明三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部（如图4）.三角形的三条高交于一点.图4练习1 1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2．（1）若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a、b、c，则三角形的内切圆的半径是;，（2）若直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边长）则三角形的内切圆的半径是.并请说明理由.5.2几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.例4在△ABC中，AB=AC=3,BC=2.求（1）△ABC的面积S ABC及AC边上的高BE；（2）△ABC的内切圆的半径r；（3）△ABC的外接圆的半径R.解例6如图，在△ABC中，=AC，为BC上任意一点.求证：AB P AP=AB-PB.PC 2 2证明：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.例7已知等边三角形ABC和点P，设点P到

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三边AB，AC，BC的距离分别为h1,h 2,h3，三角形ABC的高为h，“若点P在一边BC上，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h.”（如图a）请直接应用以上信息解决下列问题：当（1）点P在△ABC内（如图b）（2）点在△ABC外(如图c，这两种情况时，上述结论是否还成立？，若成立，请给予证明；若不成立，h1,h2,h3与h之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.解练习2 1．直角三角形的三边长为3，4，x,则x=.2．等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是.3．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．b=a-c 2 2 2 B．∠C=∠A+∠B C．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D．a:b:c=12:13:5 4．已知直角三角形的周长为3+3，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.5．证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.习题A组1．已知：在ABC中，AB=AC，∠BAC=120o,AD为BC边上的高，则下列结论中，正确的是（）A．AD=3 AB 2 B．AD=1 AB 2 C．AD=BD D．AD=2 BD 2 2．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（）A．6 B．4.5 C．2.4 D．8 3．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于.4．已知：a,b,c是△ABC的三条边，a=7,b=10，那么c的取值范围是。5．若三角形的三边长分别为1、a、，且a是整数，则a的值是。8 B组1．如图，等边ABC的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则CDE的周长为（）A．6+4 3 B．18+12 3 C．6+2 3 D．18+4 3 2．如图，在ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数。3．如图，Rt ABC,∠C=90o,M是AB的中点，AM=AN，MN//AC，求证：MN=AC。C组1．已知k>1,b=2k,a+c=2k 2,ac=k 4?1，则以a、b、c为边的三角形是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．形状无法确定2．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3∠A=∠1+∠2 D．3∠A=2(∠1+∠2 o 3．如图，在等腰Rt△ABC中∠C=90，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G.求证：BD=CG.第六讲三角形与圆（二）三角形与直线与圆，6．1直线与圆，圆与圆的关系垂径定理：在直线与圆相交

时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB垂径定理为直径；若直线不经过圆心，如图，

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连结圆心O和弦AB的中点M的线段OM垂直于这条弦AB.且在Rt△OMA中，OA为圆的半径r，OM为圆心到直线的距离d，MA为弦长AB的一半，根据勾股定理，有r2-d 2=(AB 2.2切线长定理：当直线与圆相切时，如图，PA,PB为圆O的切线，可得PA=PB，切线长定理OA⊥PA.，且在Rt△POA中，PO 2=PA2+OA2.切割线定理：PT为圆O的切线，PAB为圆O的割线，我们可以证得PT 2=PA?PB.例1解如图，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是弧AB的中点，求弦BD的长度。例2已知圆的两条平行弦的长度分别为6和2 6，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.解例3设圆O1与圆O2的半径分别为3和2，O1O2=4，A,B为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB的长度.解，.练习1 1.如图⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣弧和优弧的中点分别为D、C，求弦AC和BD的长。2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，AB//CD，AB=8cm,CD=6cm,⊙O的半径等于5cm，求梯形ABCD的面积。3.如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=1cm,EB=5cm,∠DEB=60o,求CD的长。⊙4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.6．2点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹轨迹.这里含有两层意思：（1）图轨迹形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.（1）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂

直平分线.（2）和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的

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平分线.的两边距离相等的点的轨迹，（3）到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.例3⊙O过两个已知点A、B，圆心O的轨迹是什么？画出它的图形.练习2 1．画图说明满足下列条件的点的轨迹：（1）到定点A的距离等于3cm的点的轨迹；（2）到直线l的距离等于2cm的点的轨迹；（3）已知直线AB//CD，到AB、CD的距离相等的点的轨迹.2．画图说明，到直线l的距离等于定长d的点的轨迹.习题A组1．已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为（A．3 B．）5 2 C．3 D．4）2．在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为（A．4 3 B．3 3 C．2 3 D．3 3．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于（）A．2 21 B．4 6 C．8 2 D．2 6 4．如图在⊙O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB=10cm,OE=12cm，∠OEB=30o,求AB。B组1．如图，已知在Rt ABC中，∠C=90o,AC=5cm,BC=12cm,以C为圆心，CA为半径的圆交斜边于D，求AD。2．如图在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长。3．如图，Rt△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，AE⊥BC于E。求证：AD平分∠OAE。4．如图，∠AOB=90，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD。o 5.已知线段AB=4cm.画出到点A的距离等于3cm的点的轨迹，再画出到点B的距离等于2cm的点的轨迹，指出到点A的距离等于3cm，且到点B的距离等于2cm的点，这样的点有几个？1

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