求轨迹方程的常用方法

（一）求轨迹方程的一般方法：

1. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

2. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t）， y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。 4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。 5：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。 一：用定义法求轨迹方程

例1：已知ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

sinBsinA

5sinC,求点C的轨迹。 4【变式】：已知圆的圆心为M1，圆的圆心为M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。

二：用直译法求轨迹方程

此类问题重在寻找数量关系。 例2：一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，且BM=a，AM=b，求AB中点M的轨迹方程？

1

【变式】: 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即

|PA|，2）

|PB|求动点P的轨迹方程？

三：用参数法求轨迹方程

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。

例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

四：用代入法求轨迹方程

x2y20)为定点，求线段AB的中点M的 例4. 点B是椭圆221上的动点，A(2a，ab轨迹方程。

【变式】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

y QB

R

A

oxP

2

五、用交点法求轨迹方程

x2y2例5.已知椭圆221（a＞b＞o）的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0)，与y轴平行的

ab直线交椭圆于P1、P2，求A1P1与A2P2交点M的轨迹方程.

六、用点差法求轨迹方程

x2y21， 例6. 已知椭圆2（1）求过点P，且被P平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A2，1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

11223

练习

1.在ABC中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，则点A的轨迹方

程是_______________________________.

2.两条直线xmy10与mxy10的交点的轨迹方程是 __________ . 3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 _____ 4.当参数m随意变化时，则抛物线yx2m1xm1的顶点的轨迹方程为

22______。

5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，则点M的轨迹方程为________。 6:求与两定点OO1，0、A3，0距离的比为1：2的点的轨迹方程为_____________ 7.抛物线y24x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。

8.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。

9.过原点作直线l和抛物线yx4x6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

2

4

求轨迹方程的常用方法答案

例1：已知ABC的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

5sinC,求点C的轨迹。 455【解析】由sinBsinAsinC,可知bac10，即|AC||BC|10，满足椭

44sinBsinA圆的定义。令椭圆方程为

x2a'2y2b'21，则a'5,c'4b'3，则轨迹方程为

x2y21（x5)，图形为椭圆（不含左，右顶点）。 259【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 （1） 圆：到定点的距离等于定长

（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）

（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （4） 到定点与定直线距离相等。

【变式1】: 1:已知圆的圆心为M1，圆圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：

。

∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b=12。

2

的圆心为M2，一动

，。

故所求轨迹方程为

22

222:一动圆与圆O：xy1外切，而与圆C：xy6x80内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：

A：抛物线B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R，则有|MO|R1，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。

|MC|R1二：用直译法求曲线轨迹方程

此类问题重在寻找数量关系。

例2： 一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？

解 设M点的坐标为(x,y) 由平几的中线定理：在直角三

5

角形AOB中，OM=

11AB2aa, 22x2y2a,x2y2a2

M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周. 【点评】此题中找到了OM=

1AB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下2列几种情况：

1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。

2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。

3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。

4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.

【变式2】: 动点P（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即求动点P的轨迹方程？

22【解答】∵|PA|=(x3)y,|PB||PA|2），|PB|(x3)2y2

(x3)2y2|PA|2(x3)2y24(x3)24y2 2得代入

|PB|(x3)2y2化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.

三：用参数法求曲线轨迹方程

此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。

例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 【解析】

分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。

解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）

由l1l2，则直线l2的方程为y41(x2) k4，0)， k24)， l2与y轴交点B的坐标为(0，k l1与x轴交点A的坐标为(2

6

∵M为AB的中点，

42k12x2k (k为参数)

24k21y2k 消去k，得x＋2y－5＝0。

另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程； 当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。 综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。

分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性： |MP|1|AB| 2 解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y）， ∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形 由直角三角形的性质，|MP| (x2)(y4)221|AB| 21·(2x)2(2y)2 2化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。 分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。

解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。 又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2 ∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，

4042y，kPB 22x20442y·1，化简，得x2y50 22x2 而kPA 注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4） 中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0 综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。 【点评】

1） 解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB＝

－1，|MP|1|AB|这些等量关系。。 2用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 【变式3】过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的

7

中点M的轨迹。

解法一：“几何法”

设点M的坐标为（x,y）,因为点M 是弦BC的中点，所以OM⊥BC,

２２ ２

所以|OM | ＋|ＭＡ|＝|ＯＡ| ， 即(x2 +y2)+(x －４)2 +y2 =16 化简得：（x－2）2+ y2 =4................................①

由方程 ① 与方程x2 +y2= 4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为 （x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O内的部分。 解法二：“参数法”

设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x－4), 由直线与圆的方程得（1+k2）x2 －8k2x +16k2－4=0...........(*),

x1x24k2由点M为BC的中点，所以x=...............(1) , 又OM⊥BC，所以221kk=

y.................(2)由方程（1）（2） x1,所以x＜1. 3消去k得（x－2）2+ y2 =4,又由方程（*）的△≥0得k2 ≤

所以点M的轨迹方程为（x－2）2+ y2 =4 （0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心， 2为半径的圆在圆O内的部分。

四：用代入法等其它方法求轨迹方程

x2y20)为定点，求线段AB的中点M的 例4. 点B是椭圆221上的动点，A(2a，ab轨迹方程。

分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。

【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0） 则由M为线段AB中点，可得

x02axx02x2a2 y0y2y00y2 即点B坐标可表为（2x－2a，2y）

x2y2 又点B(x0，y0)在椭圆221上

abxy 02021ab22(2x2a)2(2y)2从而有21， 2ab

8

4(xa)24y221 整理，得动点M的轨迹方程为2ab【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系

【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

yQB【解析】： 设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP

中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在

RRt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

AoPx又|AR|=|PR|=(x4)2y2

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即

在所求的轨迹上运动

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x2+y2－4x－10=0,得

x4y0, ,y122(x42yx4－10=0 )()24222整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程

五、用点差法求轨迹方程

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为Mx1，y1，Nx2，y2，线段MN的中点Rx，y，则

x122y122，22x22y22，x1x22x，yy2y，12①②③④

①－②得x1x2x1x22y1y2y1y20． 由题意知x1x2，则上式两端同除以x1x2，有

x1x22y1y2y1y2x1x2将③④代入得x2y0，

y1y20．⑤

x1x2

（1）将x11yy21，，y代入⑤，得1故所求直线方程为： 2x4y30． ⑥

22x1x22222将⑥代入椭圆方程x2y2得6y6y110，36460符合题意，442x4y30为所求．

9

（2）将

y1y2（椭圆内部分） 2代入⑤得所求轨迹方程为： x4y0．

x1x2y1y2y1代入⑤得所求轨迹方程为： x22y22x2y0．（椭圆内部x1x2x2（3）将分）

练习1【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点(5,0).(5,0)，

x2y21(x5) 即轨迹方程为

25162.两条直线xmy10与mxy10的交点的轨迹方程是 . 【解答】:直接消去参数m即得(交轨法):x2y2xy0

3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 .

【解答】:令M点的坐标为(x,y),则A的坐标为(2x,2y),代入圆的方程里面得:(x)y12221(x0) 4224:当参数m随意变化时，则抛物线yx2m1xm1的顶点的轨迹方程为

【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数

15m，便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为xmym

24它的顶点坐标为xm215，ym 24消去参数m得：yx3 4故所求动点的轨迹方程为4x4y30。

5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，则点M的轨迹方程为 【分析】：点M到点F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线x40的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。

【解答】：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线x4的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、x4为准线的抛物线。故所求轨迹方程为y16x。

2

10

6:求与两定点OO1，0、A3，0距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________

【分析】:设动点为P，由题意关系式。

POPA1，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量2【解答】：设Px，y是所求轨迹上一点，依题意得

POPA1 2由两点间距离公式得：

x2y2x32y21 2化简得：xy2x30

7抛物线y24x的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。

【分析】：抛物线y4x的焦点为F1，0。设△ABC重心P的坐标为(x，y)，点C

222的坐标为(x1，y1)。其中x11

【解答】：因点Px，y是重心，则由分点坐标公式得：xx12y，y1 33即x13x2，y13y

22由点Cx1，y1在抛物线y4x上，得：y14x1

将x13x2，y13y代入并化简，得：y242x（x1) 339.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。

【解答】：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得。

2222（1）当x≤3时，方程变为(x1)y3x4,(x1)yx1，化简得

y24x(0x3)。

11

2222（2）当x>3时，方程变为(x1)yx34,(x1)y7x，化简得

。

故所求的点P的轨迹方程是

或

10.过原点作直线l和抛物线yx24x6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。

【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代入抛物线方程

，得

。因为直线和抛物线相交，所以△>0，解得

k(,426)(426,)。

设A（

），B（

），M（x，y），由韦达定理得

。

由又

消去k得。

，所以x(,6)(6,)。

∴点M的轨迹方程为y2x24x,x(,6)(6,)。

12