2021年江苏省镇江市中考数学试卷
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，24分） 1．（2分）﹣5的绝对值等于 ． 2．（2分）使
有意义的x的取值范围是 ．
3．（2分）8的立方根是 ．
4．（2分）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是 ．
5．（2分）一元二次方程x（x+1）＝0的两根分别为 ． 6．（2分）小丽的笔试成绩为100分，面试成绩为90分，若笔试成绩、面试成绩按6：4计算平均成绩 分．
7．（2分）某射手在一次训练中共射出了10发子弹，射击成绩如图所示，则射击成绩的中位数是 环．
8．（2分）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，△ADE∽△ABC，
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M，N分别是DE，若＝，则＝ ．
9．（2分）如图，点A，B，C，O在网格中小正方形的顶点处，O，将△ABC沿l平移得到△MNO，M是A的对应点，P，Q分别是A，M的对应点．已知网格中每个小正方形的边长都等于1 ．
10．（2分）已知一次函数的图象经过点（1，2），且函数值y随自变量x的增大而减小，写出符合条件的一次函数表达式 ．（答案不唯一，写出一个即可）
11．（2分）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红） ．
12．（2分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），得到线段DP，连接
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BD ．
二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的） 13．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（ ）
A．正方形
B．长方形
C．三角形
D．圆
14．（3分）2021年1﹣4月份，全国规模以上工业企业利润总额超25900亿元，其中25900用科学记数法表示为（ ） A．25.9×103 B．2.59×104
C．0.259×105 D．2.59×105
15．（3分）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，交边AB于点E，F，连接FD（ ）
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A．27°
B．29°
C．35°
D．37°
16．（3分）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算）（ ）
A．1840
B．1921
C．1949
D．2021
17．（3分）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6（ ） A．有最大值π C．有最大值π
B．有最小值π D．有最小值π
18．（3分）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，
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每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）
A．A1
B．B1
C．A2
D．B3
三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：（1﹣
）0﹣2sin45°+
；
（2）化简：（x2﹣1）÷（1﹣）﹣x． 20．（10分）（1）解方程：﹣（2）解不等式组：
＝0； ．
21．（6分）甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B两个献血站进行爱心献血．求这三人在同一个献血站献血的概率．
22．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DA，使得AE＝CF，连接BE
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接BD，∠1＝30°，∠2＝20° °时，四边形BFDE是菱形．
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23．（6分）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．
24．（6分）如表是第四至七次全国人口普查的相关数据．
年份
我国大陆人口
总数
其中具有大学每10万大陆人文化程度的人
数
口中具有大学文化程度的人
数
1990年 2000年 2010年 2020年
1133682501 1265830000 1339724852 1411778724
16124678 45710000 119636790 218360767
1422 3611 8930 15467
（1）设下一次人口普查我国大陆人口共a人，其中具有大学文化程度的有b人，则该次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为 ；（用含有a，b的代数式表示）
（2）如果将2020年大陆人口中具有各类文化程度（含大学、高中、
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初中、小学、其他）的人数分布制作成扇形统计图，求其中表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数；（精确到1°） （3）你认为统计“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”这样的数据有什么好处？（写出一个即可）
25．（6分）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0），点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接AB交y轴于点F． （1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证：am＝﹣2； （3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时 ．
26．（8分）如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边BC上，B，P三点．
（1）若BP＝3，判断边CD所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，E是CD的中点，⊙O交射线AE于点Q，求tan∠EAP的值．
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27．（11分）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2）（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C
（1）求该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P
①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，C.D.
＝
．
＝，
③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当△PDQ∼△PMN时
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28．（11分）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，DC为铅直方向的边，AF，BC为水平方向的边，点E在AB，且在AF，BC之间，记作“L图形ABC﹣DEF”．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线． 【活动】
小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF、矩形GBCD，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线．（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）
【思考】
如图3，直线O1O2是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不
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是”）L图形ABCDEF的面积平分线．
【应用】
在L图形ABCDEF形中，已知AB＝4，BC＝6． （1）如图4，CD＝AF＝1．
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时 ． （2）设
＝t（t＞0），在所有的与铅直方向的两条边相交的面积
平分线中，CD相交的面积平分线，直接写出t的取值范围 ．
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参考答案
一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，24分） 1． 参考答案：﹣5的绝对值|﹣5|＝2． 故答案是：5．
点拨：本题考查了绝对值的性质，熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键． 2． 参考答案：使解得：x≥7． 故答案为：x≥2．
点拨：此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式被开方数是非负数是解题关键． 3． 参考答案：∵23＝5， ∴8的立方根为2， 故答案为：7．
点拨：此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 4． 参考答案：设这个正六边形的每一个内角的度数为x， 则6x＝（6﹣5）•180°， 解得x＝120°． 故答案为：120°．
点拨：本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的内角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
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有意义，
5． 参考答案：方程x（x+1）＝0， 可得x＝5或x+1＝0， 解得：x5＝0，x2＝﹣4． 故答案为：x1＝0，x6＝﹣1．
点拨：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 6． 参考答案：小丽的平均成绩是故答案为：96．
点拨：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求100，90这两个数的平均数，对平均数的理解不正确． 7． 参考答案：由统计图可得，
中间的两个数据是9，9，故射击成绩的中位数是（3+9）÷2＝8（环）， 故答案为：9．
点拨：本题考查条形统计图、中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，会计算一组数据的中位数． 8． 参考答案：∵M，N分别是DE， ∴AM、AN分别为△ADE， ∵△ADE∽△ABC， ∴∴
＝
＝， ＝（
）3＝，
＝96（分），
故答案为：．
点拨：本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比
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等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
9． 参考答案：连接PQ，AM，
由图形变换可知：PQ＝AM， 由勾股定理得：AM＝∴PQ＝
．
．
，
故答案为：
点拨：本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．
10． 参考答案：设一次函数表达式为y＝kx+b． ∵函数值y随自变量x的增大而减小， ∴k＜0，取k＝﹣1．
又∵一次函数的图象经过点（8，2）， ∴2＝﹣4+b， ∴b＝3，
∴一次函数表达式为y＝﹣x+3． 故答案为：y＝﹣x+7．
点拨：本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特
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征，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
11． 参考答案：假设袋中红球个数为1， 此时袋中有1个黄球、6个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．
假设袋中的红球个数为2， 列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，摸出一红一黄的有4种结果， ∴P（摸出一红一黄）＝＝，P（摸出两红）＝＝， 假设袋中的红球个数为3， 画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，摸出一红一黄的有4种结果， ∴P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红）＝所以放入的红球个数为3， 故答案为：3．
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＝，符合题意，
点拨：本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12． 参考答案：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP， ∴BP＝PD，
∴△BPD是等腰三角形， ∴∠PBD＝30°，
过点P作PH⊥BD于点H，
∴BH＝DH， ∵cos30°＝∴BH＝∴BD＝
＝
，
BP， BP，
∴当BP最大时，BD取最大值，BP＝BA最大， 过点A作AG⊥BC于点G， ∵AB＝AC，AG⊥BC， ∴BG＝BC＝3， ∵cos∠ABC＝，
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∴，
∴AB＝9， ∴BD最大值为：故答案为：9
．
BP＝6
．
点拨：本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，三角函数等知识，证明出BD＝
BP是解题的关键．
二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
13． 参考答案：从上面看该几何体，所看到的图形是三角形． 故选：C．
点拨：本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是正确判断的前提． 14． 参考答案：25900＝2.59×104， 故选：B．
点拨：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要定a的值以及n的值．
15． 参考答案：连接OD， ∵⊙O与边AC相切于点D， ∴∠ADO＝90°， ∵∠BAC＝36°，
∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，
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∴∠AFD＝故选：A．
AOD＝，
点拨：本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16． 参考答案：把1921代入得：（1921﹣1840+50）×（﹣1）＝﹣131＜1000，
把﹣131代入得：（﹣131﹣1840+50）×（﹣1）＝1921＞1000， 则输出结果为1921+100＝2021． 故选：D．
点拨：此题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．
17． 参考答案：∵2r+l＝6， ∴l＝6﹣2r，
∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr（6﹣2r）＝﹣2π（r2﹣2r）＝﹣2π[（r﹣）2﹣]＝﹣2π（r﹣）2+π， ∴当r＝时，S侧有最大值π． 故选：C．
点拨：本题考查了圆锥的计算，二次函数的最值，圆锥的侧面展开
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图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．熟记圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl是解题的关键．
18． 参考答案：由题意得：A1＝2n+5+2n+3+3n+5＝789， 整理得：2n＝260，
则n不是整数，故A8的值不可以等于789； A2＝2n+4+2n+9+5n+11＝789， 整理得：2n＝254，
则n不是整数，故A2的值不可以等于789； B7＝2n+1+6n+7+2n+13＝789， 整理得：6n＝256＝28，
则n是整数，故B7的值可以等于789； B3＝2n+4+2n+11+2n+17＝789， 整理得：8n＝252，
则n不是整数，故B3的值不可以等于789； 故选：B．
点拨：本题主要考查规律型：数字变化类，解答的关键是理解清楚题意，得出相应的式子．
三、解答题（本大题共10小题，共78分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19． 参考答案：（1）原式＝1﹣2×（2）原式＝（x+1）（x﹣1）÷
+﹣x
＝6．
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＝（x+1）（x﹣1）•＝x（x+1）﹣x ＝x（x+1﹣6） ＝x2．
﹣x
点拨：本题考查实数的运算以及分式的运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 20． 参考答案：（1）去分母得：3（x﹣2）﹣2x＝0， 去括号得：3x﹣2﹣2x＝0， 解得：x＝5，
检验：把x＝6代入得：x（x﹣2）＝24≠5， ∴分式方程的解为x＝6； （2）
由①得：x≥1， 由②得：x＞6，
则不等式组的解集为x＞2．
点拨：此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握分式方程的解法以及不等式组的解法是解本题的关键． 21． 参考答案：画树状图得：
，
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共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有2种结果， 所以这三人在同一个献血站献血的概率为＝．
点拨：此题考查了树状图法求概率．注意树状图法适合两步或两步以上完成的事件，树状图法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD， ∴∠1＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当∠ABE＝10°时，四边形BFDE是菱形， 理由如下：∵△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF，AE＝CF， ∴BF＝DE，
∴四边形BFDE是平行四边形， ∵∠6＝30°，∠2＝20°， ∴∠ABD＝∠1﹣∠8＝10°， ∴∠DBE＝20°，
∴∠DBE＝∠EDB＝20°， ∴BE＝DE，
∴平行四边形BFDE是菱形，
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故答案为10．
点拨：本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的判定是解题的关键． 23． 参考答案：（方法一）设共x人合伙买金，金价为y钱， 依题意得：解得：
．
，
答：共33人合伙买金，金价为9800钱． （方法二）设共x人合伙买金， 依题意得：400x﹣3400＝300x﹣100， 解得：x＝33，
∴400x﹣3400＝400×33﹣3400＝9800． 答：共33人合伙买金，金价为9800钱．
点拨：本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 24． 参考答案：由题意得，
下一次人口普查中每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数为
，
故答案为：（2）360°×
；
≈56°，
答：表示具有大学文化程度类别的扇形圆心角的度数大约为56°； （3）比较直观的反应出“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的大小，说明国民素质和文化水平的情况．
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点拨：本题考查扇形统计图，频数分布表，掌握扇形统计图的制作方法是正确解答的前提，理解“每10万大陆人口中具有大学文化程度的人数”的实际意义是正确判断的关键．
25． 参考答案：（1）∵点E（2，1）是反比例函数y＝， ∴＝1， 解得k＝2， 故答案为：5；
（2）在△ACF和△BDF中，
，
∴△ACF≌△BDF（AAS）， ∴S△BDF＝S△ACF，
∵点A坐标为（a，），则可得C（0，）， ∴AC＝a，OC＝， 即a×（
a×（，
整理得am＝﹣2；
（3）设A点坐标为（a，）， 则C（0，），D（8，﹣）， ∵E（2，7）， ∴CE2+DE2＝CD5，
即22+（8﹣）2+32+（1+）2＝（+）2， 解得a＝﹣2（舍去）或a＝，
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∴A点的坐标为（，）．
点拨：本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．
26． 参考答案：（1）如图1﹣1中，连接AP，交CD于E．
∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝4，∠ABP＝90°， ∴AP是直径， ∴AP＝＝＝5，
∵OH⊥AB， ∴AH＝BH，
∵OA＝OP，AH＝HB， ∴OH＝PB＝，
∵∠D＝∠DAH＝∠AHE＝90°， ∴四边形AHED是矩形， ∴OE⊥CE，EH＝AD＝2， ∴OE＝EH﹣OH＝4﹣＝， ∴OE＝OP，
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∴直线CD与⊙O相切．
（2）如图8中，延长AE交BC的延长线于T．
∵∠D＝∠ECT＝90°，DE＝EC， ∴△ADE≌△TCE（ASA）， ∴AD＝CT＝4，
∴BT＝BC+CT＝4+2＝8， ∵∠ABT＝90°， ∴AT＝∵AP是直径， ∴∠AQP＝90°，
∵PA平分∠EAB，PQ⊥AQ， ∴PB＝PQ， 设PB＝PQ＝x， ∵S△ABT＝S△ABP+S△APT，
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＝＝4，
∴×4×8＝∴x＝2
﹣4，
×x+，
∴tan∠EAP＝tan∠PAB＝＝．
点拨：本题考查直线与圆的位置关系，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．【解答】解（1）由题意得： 解之得：a＝∴y＝
+
，
， ， ，c＝2，
∴当x＝﹣7时，y＝∴D（﹣4，﹣）．
（2）①如图1中，点N．
②如图7中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，过点M作MH⊥CD，QT⊥MH于T．
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由题意A（﹣6，0），2），8），
∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝，直线BC的解析式为y＝﹣， ∵MN∥AB，
∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t，
由，解得，
∴M（
，
），
由．解得，
∴N（，）， ∴Q（
，
），
∵QJ⊥CD，QT⊥MH， ∴QJ＝+6＝﹣＝，
∴QJ＝QT，
∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT， ∴△PJQ≌△MTQ（AAS），
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∴PQ＝MQ， ∵∠PQM＝90°，
∴∠PMN＝∠MPQ＝45°， ∵PM＝PN，
∴∠PMN＝∠PNM＝45°， ∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形， ∴
＝
，故选项D正确，B，
∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上， ∴折痕与AB垂直，故选项A正确， 故答案为：A，D．
③设P（﹣4，m）．
∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形， ∴△PDQ是等腰直角三角形， ∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+， ∴Q（﹣4+m+，m）
+m，
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把Q的坐标代入y＝+，得到（﹣
2
+（﹣，
整理得，3m2﹣42m﹣32＝0， 解得m＝∴Q（4，
或﹣， ），
）也满足条件，
，
）．
根据对称性可知Q′（﹣10，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（5，
点拨：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，证明△PMN是等腰直角三角形是本题的突破点．
28． 参考答案：【活动】如图1，直线O1O8是该L图形的面积平分线；
【思考】如图2，∵∠A＝∠B＝90°，
∴AF∥BC， ∴∠NQO＝∠MPO，
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∵点O是MN的中点， ∴ON＝OM，
在△OQN和△OPM中，
，
∴△OQN≌△OPM（AAS）， ∴S△OQN＝S△OPM， ∵S梯形ABMN＝SMNFEDC，
∴S梯形ABMN﹣S△OPM＝SMNFEDC﹣S△OQN， 即SABPON＝SCDEFQOM，
∴SABPON+S△OQN＝SCDEFQOM+S△OPM， 即S梯形ABPQ＝SCDEFQP，
∴直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线． 故答案为：是； 【应用】
（1）①如图3，当P与B重合时，过点Q作QH⊥BC于H，
L图形ABCDEF的面积＝5×6﹣（4﹣5）×（6﹣1）＝8， ∵PQ是L图形ABCDEF的面积平分线，
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∴梯形CDQP的面积＝×（DQ+BC）×CD＝， 即×（DQ+6）×1＝， ∴DQ＝CH＝3， ∴PH＝8﹣3＝3， ∵QH＝CD＝7， 由勾股定理得：PQ＝即PQ长的最大值是
；
＝
；
②如图4，当GH⊥AB时GH最短，
设BG＝x，则MG＝7﹣x，
根据上下两部分面积相等可知，6x＝（4﹣4）×1+（1﹣x）×3， 解得x＝，即BG＝； 故答案为：； （2）∵
＝t（t＞0），
∴CD＝tAF，
在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，只有与边AB， 如图5，直线DE将图形分成上下两个矩形，在所有的与铅直方向的两条边相交的面积平分线中，CD相交的面积平分线，
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即（4﹣tAF）•AF＜6t•AF， ∴AF＞﹣4， ∵0＜AF＜6， ∴3＜﹣6＜8， ∴＜t＜．
故答案为：＜t＜．
点拨：本题是四边形的综合题，考查了应用与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并结合平面直角坐标系计算线段的长，明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键．
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