数列求通项公式的常见题型与解题办法

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法．

数列这一章的主要章节结构为：

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大．

题型1已知数列前几项求通项公式

在我们的教材中，有这样的题目： 1．数列0,2,0,22．数列的通项an．

1111的通项an． ,,,1223344513573．数列12,12,12,12的通项an．

2468n为奇数10nn12n1（1）1、an2、an3、an1+（1）． 2n(n1)(2n)n为偶数2练习

例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式： 例3:写出下面数列的一个通项公式：

题型2由an与Sn的关系求通项公式

1、已知数列{an}的前n项和Sn1(n2n)，则an． 2n2、已知数列{an}的前n项和Sn32，则an 3、设数列{an}的前项的和Sn=

1（an-1）(nN)． 3(Ⅰ)求a1；a2； (Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．

4、数列{an}的前n项和Sn=3·2列.

-3,求数列的通项公式. 2

5、设数列{an}的前n项和为Sn=2n+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数

6、已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an． 7、已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an+(-1)n,n≥1．

（Ⅰ）写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）证明：对任意的整数m>4，有

n

11a4a517. am87、解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；

当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；

⑵由已知得：anSnSn12an(1)2an1(1)上式可化为：annn1化简得：an2an12(1)n1

22(1)n2[an1(1)n1] 3322n1故数列{an(1)}是以a1(1)为首项,公比为2的等比数列.

3321n11n122n故an(1)2∴an2(1)n[2n2(1)n]

333332n2数列{an}的通项公式为：an[2(1)n].

3⑶由已知得：

11a4a51311[23am221211] m2m2(1)17(m>4). am8111311m5131041057().故a4a51552151201208题型3已知数列递推公式求通项公式

(公式法)

1、已知数列{an}的首项a11，且anan13(n2)，则an． 2、数列{an}中，a11,an1an2，求{an}的通项公式． 3、已知数列{an}满足a11，

1an111，求an． an4、数列{an}中，a11,an12an，求{an}的通项公式． an25、已知数列{an}的首项a11，且an3an1(n2)，则an．

6、已知数列{an}的a11，a22且an22an1an,则an． （累加法与累积法）

1、数列{an}中，a11,an1ann，求{an}的通项公式． 2、数列{an}中，a11,an1an3n1，求{an}的通项公式．

3、已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。 4、已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。 5、已知数列{an}的首项a11，且ann1an1(n2)，则an． n6、已知数列{an}满足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。 （构建新数列）

1、已知数列{an}的首项a11，且an2an13(n2)，则an． 2、数列{an}中，a12,an13an2，求{an}的通项公式．

3、已知数列{an}满足an12an32n，a12，求数列{an}的通项公式。 4、已知数列{an}满足an13an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。 5、已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列{an}的通项公式。 6、已知数列{an}满足an13an52n4，a11，求数列{an}的通项公式。 7、已知数列{an}满足an12an3n24n5，a11，求数列{an}的通项公式。 8、已知数列{an}满足an1an8(n1)8，求数列{an}的通项公式。 ，a19(2n1)2(2n3)29、已知数列{an}满足an121an24，a14，求数列{an}的通项公式。

4an17an2，a12，求数列{an}的通项公式。

2an310、已知数列{an}满足an1n3、解：an12an32两边除以2n1，得

an12n1an2na1an33，则n， 22n12n2故数列{aan23}是以1为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得12n2212an2n1(n1)331，所以数列{an}的通项公式为an(n)2n。 222an13n1an3n21n1， 334、解：an13an23n1两边除以3n1，得

则

an13n1an3nan3n21n1， 33故

(an3nan1aan2an2an3a2a1a1 )(n1n)()()an1an13233n23n332311n1(13)an2(n1)3n2n11因此n， 1n31332233则an211n3n3n 322④

5、解：设an1x5n12(anx5n)

将an12an35n代入④式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去

2an，得35nx5n12x5n，两边除以5n，得3x52x，则x=－1，代入④式，

得an15n12(an5n)

⑤

由a15651≠0及⑤式，得an50，则

1nan15n1an5n2，则数列{an5n}是

以a1511为首项，以2为公比的等比数列，则an5n12n1，故an2n15n。 6、解：设an1x2n1y3(anx2ny)

⑥将an13an52n4代入⑥式，得

nn整理得(52x)24y3x23y。令52x3xx5，则，代入⑥式，得

4y3yy2an152n123(an52n2)

由

⑦

a15212112130及⑦式，得

an52n20，则

an152n12an522n3，

故数列{an52n2}是以a1521211213为首项，以3为公比的等比数列，因此

an52n2133n1，则an133n152n2。

7、解：设an1x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz) 将an12an3n24n5代入⑧式，得

⑧

2an3n24n5x(n1)2y(n1)z2(anxn2ynz)，则

等式两边消去2an，得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn22yn2z，

3x2xx3则得方程组2xy42y，则y10，代入⑧式，得

xyz52zz18an13(n1)210(n1)182(an3n210n18)

⑨

由a131210118131320及⑨式，得an3n210n180

则

an13(n1)210(n1)18an3n10n1822，故数列

{an3n210n18}为以

a13121011813132为首项，以2为公比的等比数列，因此an3n210n18322n1，则an2n43n210n18。

8、解：由an1an8(n1)8(11)8aa及，得 a2119(2n1)2(2n3)2(211)2(213)2(2n1)21由此可猜测an，往下用数学归纳法证明这个结论。

(2n1)2(211)218，所以等式成立。 （1）当n=1时，a129(211)(2k1)21（2）假设当n=k时等式成立，即ak，则当nk1时， 2(2k1)由此可知，当n=k+1时等式也成立。 根据（1）（2）可知，等式对任何nN*

9、解：令x21x24，得4x220x240，则x12，x23是函数

4x1的

两

个

不

动

点

。

因

为

f(x)21x244x121an242an124an121an242(4an1)13an2613a2。n，所以数列21a24an1321an243(4an1)9an279an3n34an1{an2a242a21313}是以12为首项，以为公比的等比数列，故n2()n1，则an3a1343an399an1132()n1193。

10、解：令x7x23x1，得2x24x20，则x=1是函数f(x)的不动点。

2x34x77an25a5，所以 1n2an32an3因为an11352an32122(12)12，所以数列{1}是以an115an55an15an1an1an15an11122为公差的等差数列，则1为首项，以1(n1)，故

a1121an155an2n8。

2n33x17x2的不动点，即方程x的根

4x72x3评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)x1，进而可推出

1an11121，从而可知数列{}为等差数列，再求出数列an15an1{1}的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。 an1