高数教案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的） 1．设复数z134i,z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

（ ）

1．已知全集U=R，集合M{0x2}，集合N{x1}，则集合M(CUN)等于（ ）

A．{x|0x1} C．{x|x1}

B．{x|0x2} D．

3．若数列{an}的前n项和为Snan2n(aR)，则下列关于数列{an}的说法正确的是

（ ）

A．{an}一定是等差数列 C．a0时，{an}是等差数列

B．{an}从第二项开始构成等差数列 D．不能确定其为等差数列

4．已知a,b是两个非零向量，给定命题p:|ab||a||b|，命题q:tR，使得atb，则p是q的

（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各

抽测了10株树苗的高度（单位长度：cm），其茎叶图如图 1所示，则下列描述正确的是 （ ） A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐

甲 9 95310 1237 1 2 3 4 乙 040 67 0 4667 图1

6．若一个几何体的三视图如图 2所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是 （ ）

A．(2042)cm2 C．(2442)cm2

B．21cm D．24cm

（ ）

227．某程序框图如图3所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是

A．f(x)x

2B．f(x)1 xC．f(x)e

xD．f(x)sinx

8．图4为f(x)Asin(x)(A0,0,||)的图象的一段，则其解析式为（ ）

A． yC．y3sin(x3sin(2x3) )

B．yD．y23sin(x)

33sin(2x33)

9．如图5，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的

区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有 （ ） A．72种 B．96种 C．108种 D．120种 10．函数f(x)2x27x6与函数g(x)x的

图象所围成的封闭图形的面积为 （ ）

2 38C．

3A．

2B．2 D．3

11．过抛物线y2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为

B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AFFB,BABC48，则抛物线的方程为

A．y24x

（ ） B．y28x

C．y216x

D．y242x

12．若f(x)|lgx|,0ab,f(a)f(b)2f(

A．（1，2）

B．（2，3）

ab)，则b的值所在的区间为（ ） 2D．（4，5）

C．（3，4）

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上） 13．已知m,n是不重合的直线，,是不重合的平面，给出下列命题；

①若m,m,则；

②若m,n,m//,n//,则//；

③如果m,n,m,n是异面直线，则n与相交；

④若m.n//m，且n,n,则n//，且n// 其中正确确命题的序号是 （把正确命题的序号都填上）

14．如图6，已知直线l1//l2，点A是l1,l2之间的定点，

点A到l1,l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的 一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则

ABC的面积的最小值为 。

15．已知两个数列{an},{bn}，满足bn3nan，且数列{bn}

的前n项和为Sn3n2，则数列{an}的通项公式为 。

16．在双曲线4x2y21的两条渐近线上分别取点A和B，使得|OA||OB|15，其中O为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知ab5,c7，且4sin2AB7cos2C. 22 （1）求角C的大小；

（2）求ABC的面积。

18．（本小题满分12分）

*一个口袋中有2个白球和n个红球（n2，且nN），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个

球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。 （1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P； （2）若n3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f(p)，当n为何值时，f(p)最大。 19．（本小题满分12分）

A1中，BB1//CC1//AA1，且AB=3，BC=4，AA1分别交BB1，如图7所示，在边长为12的正方形AAA1与AA1重合，构成如图5所示的三棱柱ABCCC1于点P、Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得AA1—A1B1C1，请在图5中解决下列问题： （1）求证：ABPQ；

（2）在底边AC上有一点M，满足AM；MC=3：4，求证：BM//平面APQ。 （3）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值。 20．（本小题满分12分）

x2y22 已知椭圆C:221(ab0)经过点P(1,)，且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角

2ab形。

（1）求椭圆的方程； （2）动直线l:mxny1n0(m,nR)交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定3点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)sinx，数列{an}满足an1,an1f(an). 22 （1）求证：当x(0,2)时，不等式

2xf(x)x恒成立；

n1Sn[()n1].。 222 （2）设Sn为数列{an}的前n项和，求证：

请考生在题22，23，24中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做题时用2B铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑。 （本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

22．如图10，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中

⌒分别交⊙ 点，连结AGO、BD于点E、F连结CE。

（1）求证：AGEFCEGD；

GFEF2. （2）求证：

AGCE2

（本小题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程

3xt2523．已知曲线C的极坐标方程是2sin，设直线l的参数方程是（t为参数）。

y4t5 （1）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）设直线l与x轴的交点是M，N为曲线C上一动点，求|MN|的最大值。

（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲 24．设函数f(x)|x1||x2|a. （1）当a5时，求函数f(x)的定义域；

（2）若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围。

参考答案

一、选择题：DAACD ADBBC AC 二、填空题 13．①④； 14．6；

1............(n1)315．an＝

1.........(n2)3n1x2y21； 16．

312三、解答题： 17．解：（1）∵A+B+C=180°，

（2）c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab

∴7(ab)3ab =25－3ab

2AB7C7cos2C得4cos2cos2C 22221cosC7(2cos2C1) 3分 ∴42214cos2C4cosC10 ，cosC

2∵0C180 ∴C=60°

由4sin2 6分

9分

ab6 ，∴SABC11333absinC6 12分 222222218．解：（1）一次摸球从n2个球中任选两个，有Cn2种选法，其中两球颜色相同有CnC2种选法；一次

22CnC2n2n2摸球中奖的概率P 4分 22Cnn3n22 （2）若n3，则一次摸球中奖的概率是P概率是P3(1)C3P(1P)122，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的554 8分 125 （3）设一次摸球中奖的概率是p，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是

1f(p)C3p(1p)23p36p23p，0p1，

f'(p)9p212p33p13p1

11f(p)在0,是增函数，在,1是减函数，

33

当p1时，f(p)取最大值 3 10分

n2n21p2 （n2,nN)，

n3n23n2，故n2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。 12分

19．证明：

（1）证明：因为AB3，BC4，

所以AC5，从而AC2AB2BC2， 即ABBC． 2分 又因为ABBB1，而BCBB1B， 所以AB平面BC1,又PQ平面BC1 所以ABPQ；

4分

AB图1A1B1C1A'1B1A1C1QQPPBCA'CA图2 （2）解：过M作MN//CQ交AQ于N,连接PN,

因为AM:MC3:4

AM:ACMN:CQ3:7

6分

MNPB3，PB//CQMN//PB，

四边形PBMN为平行四边形

BM//PN,所以BM//平面APQ 8分

（3）解：由图1知，PBAB3,QC7,分别以BA,BC,BB1为x,y,z轴，

则A(3,0,0),C(0,4,0),P(0,0,3),Q(0,4,7)

BC(0,4,0),AP(3,0,3),AQ(3,4,7) 10分

设平面APQ的法向量为n(a,b,c)，

nAP03a3c0所以得，

nAQ03a4b7c0

BCn43令a1，则c1,b1，cosBC,n 3BCn43

所以直线BC与平面APQ所成角的正弦值为

3 12分 3 （注）用其他解法可相应给分。

x2y220．解：（1）∵椭圆C:221(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

ab

x2y2∴a2b∴221

2bb又∵椭圆经过点P(1,

2)，代入可得b1， 2

x2y21. 3分 ∴a2,故所求椭圆方程为21）点． 32 （2）首先求出动直线过（0，

5分

当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x(y)() 当L与y轴平行时，以AB为直径的圆的方程：x2y21

132432

12422x0x(y)()由 33解得y1x2y21即两圆相切于点（0，1）,因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）。事实上，点T（0，1）就是所求的点。 7分 证明如下:

当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1） 若直线L不垂直于x轴，可设直线L：ykx

1 3

1ykx322由消去y得:(18k9)x12kx160 2xy212

12kxx22118k9 9分

记点A(x1,y1)、B(x2,y2),则xx161218k29

又因为TA(x1,y11),TB(x2,y21)

44所以TATBx1x2(y11)(y21)x1x2(kx1)(kx2)

33 (1k2)x41x23k(x161x2)9 (1k2)16412k1618k293k18k2990 所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1） 所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件． 12分

（注：其他解法相应给分）

21．证明：（1）①令g(x)f(x)xsinxx， 当x(0,)时，g(x)cosx10∴g(x)在(0,22)上是减函数，

所以g(x)g(0)0，∴f(x)x恒成立； 2分

② 令h(x)f(x)2xsinx2x，

设h(x)cosx22的根为x0，即cosx0．

∵ycosx在(0,2)上是减函数，

所以x(0,x)cosx20)时，h(x0，h(x)为增函数；

x(x20,2)时，h(x)cosx0，h(x)为减函数；．

∵h(0)h(2)0，∴h(x)0恒成立，

即f(x)2x．

综上：当x(0,2)时，不等式

2xf(x)x恒成立；

（2）由条件知0an1，02an2，

由（Ⅰ）得

22anan1f(2an)2an，即anan12an， 由anan1可知数列{an}为递增数列， 所以Snna1a2anna12． 8分 由an12an得an2an122a(1n22)n1a12(2)n1，

∴Sna1a2an

1

11121n12[1()n]2222(2)2(22)1[()n1]．1222 综上：n12Sn2[(2)n1](nN）成立，

当n1时，等号成立。 12分

6分

选修4－1：几何证明选讲

22．证明：（1）连结AB，AC，

0∵AD为M的直径，∴ABD90，

∴AC为O的直径, ∴CEFAGD, ∵DFGCFE，∴ECFGDF, ∵G为弧BD中点，∴DAGGDF， ∵ECBBAG,∴DAGECF,

AEOCBMFGDCEAG ∴CEF∽AGD，∴， EFGD ∴AGEFCEGD。 5分 （2）由（1）知DAGGDF，GG,

∴DFG∽AGD,∴DGAGGF,

2

EF2GD2GFEF2由（1）知，∴． 222CEAGAGCE10分

选修4—4：坐标系与参数方程

23．解：（1）曲线C的极坐标方程可化为：

22222sin，

又xy,xcos,ysin. 所以，曲线C的直角坐标方程为：

x2y22y0. 5分

（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：

4y(x2)7分

3

令y0得x2即M点的坐标为（2，0） 又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为（0，1） 半径r1,则|MC|5，

|MN||MC|r51 10分

选修4—5：不等式选讲

24．（1）由题设知：x1x250，在同一坐标系中作出函数yx1x2和y5的图象,

3分

知定义域为,23,． 5分

（2）由题设知，当xR时，恒有x1x2a0，

即x1x2a， 7分 又由（1）x1x23，∴ a3 。 10分