【专题导入】
经过了《拐点专题（初步引入）》后，面对压轴题形式的平行线——拐点题时，我们只需要把握住两点.
①抓住平分线（出现相等角或比例角，能通过一个未知角度表示图中出大部分的角度） 1.如图，若直线BE∥GF，A,C分别为BE,GF上两点，连接AC，∠BAC的平分线交GF于点D.
若设∠1=α，试用含α的代数式表示出图中的角.
∠2=____，∠3=____，∠4=_____，∠5=_____，∠6=____，∠7=_____.
【答案】α α 180°-2α 180°-2α 180°-α 2α
②观察得出题中的拐点，并且能熟练的得出拐角与两条平行线中哪些角相关，结合条件与所得的代数式关系进行求解.
2.如图，m∥l，A,B分别在直线m，l上，P为两平行线中任意一点，连接AP,BP， ∠DAP的平分线和∠EBP的平分线相交于点C.
若设∠2=α，∠4=β，试用含α的代数式表示出∠C和∠P.
【解析】∠C=∠1+∠3=∠2+∠4=α+β，
∠P=∠5+∠6=（180°-2∠2）+（180°-2∠4）=360°-2（α+β）.
【例1】如图（1）所示：已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在点B的左侧，点D在点C的右侧，∠ADC、∠ABC的平分线交于点E（不与B、D点重合），∠CBN=110°． （1）若∠ADQ=140°，则∠BED的度数为______（直接写出结果即可）； （2）若∠ADQ=m°，将线段AD沿DC方向平移，使点D移动到点C的左侧，其它条件不变，如图（2）所示，求∠BED的度数（用含m的式子表示）．
【解析】（1）要求∠BED，只需要得出∠EDC和∠EBM.如图（1）. 根据题意可得∠EDC=∠EBM=
180°−CBN
2
180°−∠ADQ
2
=20°，（角平分线）
=35°，（角平分线）
∠BED=∠EDC+∠EBM=55°.
（2）同理，要求∠BED，只需要得出∠EDC和∠EBM.如图（2）. 如图（2），过点E作EF∥PQ． ∵∠CBN=110°， ∴∠CBM=70°．
∵∠CDE=∠ADE，∠ABE=∠CBE，
1
∴∠EBM=35°，∠EDQ=m°． ∵EF∥PQ，
1
∴∠DEF=180°-∠EDQ=180°-2m°．
2
∵EF∥PQ，MN∥PQ， ∴EF∥MN，
∴∠FEB=∠EBM=35°，
11
∴∠BED=∠DEF+∠FEB=180°-2m°+35°=215°-2m°．
同步训练1. 已知E、F分别是AB、CD上的动点，P也为一动点．其中AB∥CD，移动E、F，使∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求∠PFD的值.
∠AEG
【解析】易得∠BEP+∠DFP=∠P=90°.
又∠GEP=∠BEP，设∠BEP=x，则∠DFP=90°-x. ∠AEG=180°-2∠BEP=180°-2x.
∠AEG180°−2x∠PFD
=
90°−x
=2.
【过关练习】
1. 如图，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE，DE．作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F，∠ABE，∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
【解析】如图，FB,FD分别是∠EBD和∠EDB的平分线，
不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y.
∵AB∥CD，∴∠5+∠2+∠1+∠3+∠4+∠6=180°， ∠5+∠6=180°-2（x+y）.
∠F=∠5+∠2+∠4+∠6=180°-（x+y）（拐角）. 故2∠F-∠5-∠6=180°.
即2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°.
2. 如图，若∠AEP=5∠AEF，∠CFP=5∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并且证明你的结论.
2
2
【解析】如图，可得
∠M=∠1+∠3+∠4，∠N=∠1+∠2+∠4（拐角）.
又∠1=∠2，∠3=∠4， 不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y. 则∠M=x+2y，∠
N=2x+y.
∠M+∠N=3（x+y）.
又可得∠AEF=5x，∠CFE=5y，且∠AEF+∠CFE=180°， 即x+y=36°，
∠M+∠N=3×36°=108°.
3. 已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．如图中，∠BME=60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．
【解析】看到角平分线，不妨设 ∠2=∠3=x.
又QE∥NP，则∠4=∠3=x.
∠MEN=∠BME+∠END（拐角），
=60°+2x.
∠FEN=∠1=2∠MEN=30°+x. ∠FEQ=∠FEN-∠4=30°+x-x=30°.
4. 如图，已知EM∥BN，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．
1
【解析】如图，∵EF和BF分别是∠AEM和∠ABN的平分线， 所以不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=y.
∠A=360°-（∠1+∠2）-（∠3+∠4）=360°-2（x+y）=2[180°-（x+y）]. ∠EFB=∠1+∠4=x+y.
∠EFD=180°-∠EFB=180°-（x+y）. 故可得∠A=2∠EFD.
【专题提高】
5. 如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间．若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．
（1）如图1，若∠AEC=90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度数；
（2）如图2，若HF平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由．
【解析】（1）如图1，根据题意，
不妨设∠1=∠2=x，∠4=∠5=y. ∵CE∥FG，∴∠3=∠4+∠5=2y.
∠AEC=∠1+∠2+∠3=2x+2y=90°（拐角）， 即x+y=45°.
∠AHF=∠1+∠5=x+y=45°（拐角）. （2）如图2，根据题意，
不妨设∠1=∠2=x，∠3=∠4=2y.
则∠AEC=∠1+∠2+∠3=2（x+y）（拐角）. ∵CE∥GF，∴∠4=∠3=2y. ∠5=∠6=
180°−∠4
2
=90°-y.
∠AHF=∠1+（180°-∠5）=x+y+90°. 故2∠AHF-∠AEC=180°.
6. 如图，已知AB∥CD，直线AB、CD被直线EF截，分别交AB于点G，交CD于点H，点P在直线AB、CD内部直线EF上，点M、N分别在直线AB、CD上，连接PM、PN，∠PMB和∠PNC
的平分线交于点K，点O为AB上一点，连接ON、MN，MN平分∠PNO，若∠MNK∶∠PMK=2∶7，2∠MKN-∠PNO=180°，求∠NOM的度数．
【解析】根据题意，∠MNK∶∠PMK=2∶7 不妨设∠1=2x，则∠PMK=∠2=7x（角平分线）.
设∠3=y，则∠PNK=∠3+∠1=y+2x， ∠KNC=∠PNK=y+2x（角平分线）. ∠MKN=∠2+∠KNC=y+9x（拐角）. ∠PNO=2∠PNM=2y（角平分线） ∵2∠MKN-∠PNO=180°， 即2（y+9x）-2y=180°，
解得x=10°.
∠ONK=∠MNO-∠1=∠3-∠1=y-20°，
∠ONC=∠CNK-∠ONK=（y+20°）-（y-20°）=40°. ∠NOM=∠ONC=40°.（两直线平行，内错角相等）.
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