第二章综合检测题
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( ) A．相交 B．平行 C．异面 D．平行或异面
2．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( ) A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
4．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( ) A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥α C．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α 6．下面四个命题：
①若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ②若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； ③若a∥b，则a，b与c所成的角相等； ④若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中真命题的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段A1B1，B1C1
上的不与端点重合的动点，如果A1E＝B1F，有下面四个结论：
①EF⊥AA1；②EF∥AC；③EF与AC异面；④EF∥平面ABCD. 其中一定正确的有( )
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
8．设a，b为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )
A．若a，b与α所成的角相等，则a∥b B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b C．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
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1
9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，n∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β 10．(2012·大纲版数学(文科))已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE与D1F所成角的余弦值为( )
43A．－5 B. .5 33C.4 D．－5 11．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为( )
311A.3 B.3 C．0 D．－2 12．如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，则PB与AC所成的角是( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
13．下列图形可用符号表示为________．
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2
14．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－C的平面角等于________．
15．设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形； ③AB与平面BCD成60°的角； ④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1
都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF； (2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
[分析] 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件．
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3
18．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
(1)证明：CD⊥平面PAE；
(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
19．(12分)如图所示，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝22，M为BC的中点．
(1)证明：AM⊥PM；
(2)求二面角P－AM－D的大小．
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4
20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1
的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．
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5
2
21．(12分)如图，△ABC中，AC＝BC＝2AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．
(1)求证：GF∥底面ABC； (2)求证：AC⊥平面EBC； (3)求几何体ADEBC的体积V.
[分析] (1)转化为证明GF平行于平面ABC内的直线AC；(2)转化为证明AC垂直于平面EBC内的两条相交直线BC和BE；(3)几何体ADEBC是四棱锥C－ABED.
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6
22．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求证：AC1∥平面CDB1；
(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
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7
详解答案 1[答案] D 2[答案] C
[解析] AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：
第一类与AB平行与CC1相交的有：CD、C1D1 与CC1平行且与AB相交的有：BB1、AA1， 第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条． 3[答案] C [解析] 1°直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错；
2°l⊂α时，在α内不存在直线与l异面，∴D错； 3°l∥α时，在α内不存在直线与l相交．
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直． 4[答案] D
[解析] 由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，很明显∠BAD＝90°.
5[答案] B
[解析] 对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B，若a，b不相交，则a与b平行或异面，都存在α，使a⊂α，b∥α，B正确；对于选项C，a⊥α，b⊥α，一定有a∥b，C错误；对于选项D，a⊂α，b⊥α，一定有a⊥b，D错误．
6[答案] D
[解析] 异面、相交关系在空间中不能传递，故①②错；根据等角定理，可知③正确；对于④，在平面内，a∥c，而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故④错误．
7[答案] D
[解析] 如图所示．由于AA1⊥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，则EF⊥AA1，所以①正确；当E，F分别是线段A1B1，B1C1
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8
的中点时，EF∥A1C1，又AC∥A1C1，则EF∥AC，所以③不正确；当E，F分别不是线段A1B1，B1C1的中点时，EF与AC异面，所以②不正确；由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD，EF⊂平面A1B1C1D1，所以EF∥平面ABCD，所以④正确．
8[答案] D
[解析] 选项A中，a，b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，a，b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，α，β还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，则β内存在直线l∥a，又b⊥β，则b⊥l，所以a⊥b.
9[答案] C
[解析] 如图所示：
AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β.
3
10[答案] 5 命题意图] 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用．
[解析] 首先根据已知条件，连接DF，然后则角DFD1即为 异面直线所成的角，设边长为2，则可以求解得到 5＝DF＝D1F，DD1＝2，结合余弦定理得到结论． 11[答案] C
[解析] 取BC中点E，连AE、DE，可证BC⊥AE，BC⊥DE，∴
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9
∠AED为二面角A－BC－D的平面角
又AE＝ED＝2，AD＝2，∴∠AED＝90°，故选C. 12[答案] B
[解析] 将其还原成正方体ABCD－PQRS，显见PB∥SC，△ACS为正三角形，∴∠ACS＝60°.
13[答案] α∩β＝AB
14[答案] 45°
[解析] 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于BC1⊥AB，则∠C1BC是二面角C1－AB－C的平面角．又△腰直角三角形，则∠C1BC＝45°.
15[答案] 9
[解析] 如下图所示，连接AC，BD，
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10
BC⊥AB，BCC1是等
则直线AB，CD确定一个平面ACBD. ∵α∥β，∴AC∥BD， ASCS812
则SB＝SD，∴6＝SD，解得SD＝9. 16[答案] ①②④
[解析] 如图所示，①取BD中点，E连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．
2
②设正方形的边长为a，则AE＝CE＝2a. 由①知∠AEC＝90°是直二面角A－BD－C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，
∴△ACD是等边三角形，故②正确．
③由题意及①知，AE⊥平面BCD，故∠ABE是AB与平面BCD所成的角，而∠ABE＝45°，所以③不正确．
④分别取BC，AC的中点为M，N， 连接ME，NE，MN.
11
则MN∥AB，且MN＝2AB＝2a，
11
ME∥CD，且ME＝2CD＝2a，
∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．
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11
2
在Rt△AEC中，AE＝CE＝2a，AC＝a，
11
∴NE＝2AC＝2a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确．
17[证明] (1)在正三棱柱ABC－A1B1C1中， ∵F、F1分别是AC、A1C1的中点， ∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F， ∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1. 又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1， ∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1. 18[解析]
(1)如图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，得AC＝5.
又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. (2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF. 由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角． AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，由题意，知∠PBA＝∠BPF，
PABF
因为sin∠PBA＝PB，sin∠BPF＝PB，所以PA＝BF.
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12
由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3.于是AG＝2.
在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以
2AB168522BG＝AB＋AG＝25，BF＝BG＝＝5.于是PA＝BF＝
25
855.
1
又梯形ABCD的面积为S＝2×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为
11851285V＝3×S×PA＝3×16×5＝15. 19[解析] (1)证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，
∵△PCD为正三角形，
∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝3. ∵平面PCD⊥平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD，而AM⊂平面ABCD，∴PE⊥AM. ∵四边形ABCD是矩形，
∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝3，AM＝6，AE＝3，
∴EM2＋AM2＝AE2.∴AM⊥EM.
又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM. (2)解：由(1)可知EM⊥AM，PM⊥AM， ∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．
PE3
∴tan∠PME＝EM＝＝1，∴∠PME＝45°.
3
∴二面角P－AM－D的大小为45°. 20[解析]
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13
(1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1， 又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C 所以平面AB1C⊥平面A1BC1 .
(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面 B1CD的交线．
因为A1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点． 即A1DDC1＝1.
21[解] (1)证明：连接AE，如下图所示．
∵ADEB为正方形，
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∴AE∩BD＝F，且F是AE的中点， 又G是EC的中点，
∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC， ∴GF∥平面ABC.
(2)证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，
又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，
∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC.
2
又∵AC＝BC＝2AB， ∴CA2＋CB2＝AB2， ∴AC⊥BC.
又∵BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE.
22
(3)取AB的中点H，连GH，∵BC＝AC＝2AB＝2，
1
∴CH⊥AB，且CH＝2，又平面ABED⊥平面ABC
111
∴GH⊥平面ABCD，∴V＝3×1×2＝6. 22[解析] (1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1. ∵BC1⊂平面BCC1B，∴AC⊥BC1.
(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1
为正方形．
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1. ∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1， ∴AC1∥平面CDB1. (3)解：∵DE∥AC1，
∴∠CED为AC1与B1C所成的角．
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在△CED中，ED＝2AC1＝2，
151
CD＝2AB＝2，CE＝2CB1＝22，
222
∴cos∠CED＝5＝5. 2
22
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为5.
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