广东省广州市广东二师番禺附中2021-2021学年高一数学上学期期中试题(含解析)

广东省广州市广东二师番禺附中2020-2021学年高一数学上学期期中

试题（含解析）

考试时间：120分钟

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A0,2,4,6,8,10,B4,8，则A. {4,8}

AB=

2,6} B. {0，2，6,10} C. {0，D.

{0，2，4，6，8,10}

【答案】C 【解析】

试题分析：由补集的概念，得【考点】集合的补集运算

【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．

2.函数f(x)A. [

AB0,2,6,10，故选C．

2x31的定义域为（ ） x3B. （-∞，3）∪（3，+∞）

- 1 -

3，3）∪（3，+∞） 2

C. [

3，+∞） 2D. （3，+∞）

【答案】A 【解析】 【分析】

根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】因为函数y2x32x301,， x3x30解得x3且x3； 2函数fx2x313的定义域为,3x323,, 故选A．

【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数fx的定义域为a,b，则函数fgx的定义域由不等式agxb求出. 3. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. yx1 【答案】D 【解析】

A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，因此选D. 点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.

B. yx

2C. y1 xD. yxx

x,x0,4.设函数f(x)=1x则f(f(4)) ( )

,x0,21A. 4 B. C. 1

4【答案】D 【解析】 【分析】

D. 4

1根据函数的解析式得到f4==16，ff4f16164. 2

- 1 -

-4

x,x0,-41ff4f16164. f4==16, 【详解】函数fx=1x, 2,x0,2故答案为：D.

【点睛】这个题目考查了分段函数的解析式和性质，求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现ffa的形式时，应从内

到外依次求值;求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

15.a40.9，b80.48，c2A. cab

1.5的大小关系是（ ）

C. abc

D.

B. bac

acb

【答案】D 【解析】 【分析】

将a、b、c均化为2的指数幂，然后利用指数函数y2的单调性可得出a、b、c的大小

x关系. 【详解】

a40.92x20.921.8，b230.48121.44，c21.5211.521.5，

且指数函数y2在R上是增函数，则21.821.521.44，因此，acb. 故选：D.

【点睛】本题考查指数幂的大小比较，考查指数函数单调性的应用，解题的关键就是将三个数化为同一底数的指数幂，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6.函数yx的图象是（ ） x1A. B.

- 1 -

C. D.

【答案】C 【解析】 【分析】

x11，再根据图象的变换，即可得到答案. x1x1x11 【详解】由题意，函数可化简得：yx1x11则可将反比例函数y的图象由左平移一个单位，再向上平移一个单位，

xx即可得到函数y的图象，答案为选项C.

x1根据函数的解析式，化简为y【点睛】本题主要考查了函数图象的识别与图象的变换，其中解答中正确化简函数的解析式，合理利用函数的图象变换是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

7.已知函数f(x)2xmx1在区间[1,)上单调递减，则m取值的集合为

2A. 4 B. m|m4 C. m|m4

D.

m|m4

【答案】C 【解析】

分析：首先求出函数的对称轴，以及函数的单调递减区间，根据题意可知1,是函数单调递减区间的子集. 详解：函数的对称轴是xmm，因为是开口向下的抛物线，所以单调递减区间是,，44mm,，即1，解得m4，故选

44若函数在区间1,上单调递减，所以1,C.

点睛：本题考查了利用函数的单调性求参数的取值范围，意在考查学生转化与化归的能力，属于基础题型.

- 1 -

38.已知函数f(x)xax2，且f(2018)1，则f(2018)的值为

A. -2017 【答案】D 【解析】 【分析】

B. -3 C. -1 D. 3

设函数fxxax2=gx+2,其中gx是奇函数，f2018= -g2018+2，

3f20181= g2018+2，故g20181，gx是奇函数，故g20181，代入求

值即可.

【详解】函数fxxax2=gx+2,其中gx是奇函数，f2018= g2018+2=

3-g2018+2

f20181= g2018+2，故g20181，gx是奇函数，故g20181，故 f2018= g2018+2= 3.

故答案

：D.

【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性，奇偶函数常见的性质有：奇函数关于原点中心对称，在对称点处分别取得最大值和最小值；偶函数关于y轴对称，在对称点处的函数值相等，中经常利用函数的这些性质，求得最值.

9.已知fxaxbx是定义在a1,2a上的偶函数，那么fx的最大值是（ ） ．

2A. 0 【答案】C 【解析】 【分析】

B.

4 3C.

4 27D. 1

根据函数yfx为偶函数，得出定义域关于原点对称，可求得a的值，再由二次函数

yfx的对称轴为y轴得出b0，然后由二次函数的单调性可得出函数yfx的最大

值.

【详解】由于函数fxaxbx是定义在a1,2a上的偶函数，则定义域a1,2a关于．

2 - 1 -

原点对称，所以，a12a0，解得a112，fxxbx，

331222x，定义域为,. 3332对称轴为直线xb0，得b0，fx32由二次函数的单调性可知，函数yfx在,0上单调递减，在0,上单调递增.

332442212由于ff，因此，函数yfx的最大值为. 27333327故选：C.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，同时也考查了二次函数的最值问题，在考查函数的奇偶性时，需要注意定义域关于原点对称这一条件的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 10.函数fx2x33a,x0是R上的减函数，则a的取值范围是( ) xa,x0B. 0,

3A. （0，1） 【答案】B 【解析】 【分析】

2C. ,1

23D. ,

32当x＜0时，函数f（x）是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=ax是减函数，则0＜a＜1．要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，还需满足0+3﹣3a≥a0， 从而求得a的取值范围．

【详解】当x＜0时，函数f（x）=﹣x+3﹣3a是减函数，当x≥0时，若函数f（x）=ax是减函数，则0＜a＜1．

0a12要使函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，需满足0+3﹣3a≥a0，解得a≤，故有2a33即0＜a≤

2． 3故答案为:B．

【点睛】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．考

- 1 -

查了分段函数已知单调性求参的问题，首先保证每一段上的单调性，之后再保证整个定义域上的单调性.

11.已知偶函数fx在区间0,上单调递增，则满足f12xf的x的取值范围是（ ）

1312A. ,

33【答案】D 【解析】 【分析】 由偶函数

性质fxf12B. ,

3312C. ,

3312D. ,

331f12xfx可将不等式化为3，由函数yfx在区间0,上的单调性得出12x【详解】由于函数yfx为偶函数，则fxf由f12xf可得f12xf，

函数yfx在区间0,上单调递增，则有12x1212x解得x，因此，实数的取值范围是,.

3333故选：D.

【点睛】本题考查利用奇偶性与单调性解函数不等式，在涉及到偶函数的问题时，可充分利用性质fxf12.已知f(x)是定义域为(,)的奇函数,满足f(1f(1)f(2)f(3)f(50)（ ）

的x，

131，解出该不等式即可. 313111，即12x， 333x来将不等式进行等价转化，考查运算求解能力，属于中等题.

x)f(1x).若f(1)2，则

A. 50 【答案】C 【解析】

B. 0

C. 2 D. 50

分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.

- 1 -

详解：因为f(x)是定义域为(,)的奇函数，且f(1x)f(1x)，

所以f(1x)f(x1)f(3x)f(x1)f(x1)T4, 因此f(1)f(2)f(3)f(50)12[f(1)f(2)f(3)f(4)]f(1)f(2)，

因为f(3)f(1)，f(4)f(2)，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0，

f(2)f(2)f(2)f(2)0，从而f(1)f(2)f(3)C.

f(50)f(1)2，选

点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，共4题20分） 13.不论aa0,a1为何值，函数fxa___________. 【答案】2,2 【解析】 【分析】

函数过的定点，即需要指数的次数等于0即可. 【详解】不论aa0,a1为何值，函数fxa代入解析式求得y=2,故点P（2，2）. 故答案为：2,2.

【点睛】本题考查了指数函数型函数所过的定点，即不受底数的影响，此时使得指数部分为0即可，形如ykamxnx21的图象一定经过点P，则点P的坐标为

x21的图象过的定点为：x-2=0,x=2,

nc的指数型函数过的定点是：,kc.

m，若f(a)4，则实数a .

14.设函数f(x){【答案】-4,2. 【解析】 【分析】

x x0x2 x0- 1 -

先根据自变量范围分类讨论，再根据对应解析式列方程，解出结果. 【详解】当a0 时， fa＝－a＝4 ，所以a＝－4 ； 当a0 时， fa＝a＝4 ，所以a＝2.

2故a＝－4或a＝2 .

【点睛】本题考查根据函数值求自变量,考查分类讨论思想以及基本分析求解能力. 15.已知fx1x2x，则f1__________.

【答案】0 【解析】 【分析】

先利用换元法求出函数yfx的解析式，然后可计算出f1的值. 【详解】令t2x11，得xt1，ftt12t1t1，

22fxx21x1，因此，f11210.

故答案为：0.

【点睛】本题考查函数解析式的求解，同时也考查了函数值的计算，解题的关键就是利用换元法求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.

16.设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________． 【答案】

1或3 3【解析】 【分析】

首先换元，设axt，函数变为yt2t1，再分0a1和a1两种情况讨论t的范围，根据t的范围求二次函数的最大值，求得实数a的范围. 【详解】令t＝ax(a>0，且a≠1)， 则原函数化

2y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．

①当01a1a - 1 -

11所以f(t)max＝f＝1－2＝14.

aa2111所以1＝16，解得a＝－ (舍去)或a＝. 53ax②当a>1时，x∈[－1，1]，t＝a∈[，a]，

21a此时f(t)在[，a]上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝

1a1或3. 3【点睛】本题考查了二次型函数求值域，考查了分类讨论的思想，属于中档题型. 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.化简求值： （1）0.0011371648log32032343；

36411（2）lg25lg223log29log32.

【答案】（1）86；（2）【解析】 【分析】

1. 2（1）根据指数的运算律可计算出结果；

（2）根据对数的运算律、对数恒等式以及换底公式可计算出结果. 【详解】（1）原式

0.1313123441122333101872386； 66（2）原式

log321lg52lg231log232log322lg5lg23log321112log23log32lg1021212.

22【点睛】本题考查指数与对数的计算，解题时要充分熟悉指数与对数的运算律、对数恒等式以及换底公式，考查计算能力，属于基础题.

- 1 -

18.已知集合Ax1x2，Bxmxm1. （1）当m2时，求AB，

RAB；

（2）若ABA，求实数m的取值范围. 【答案】（1）ABx2x2，【解析】 【分析】

（1）将m2代入集合B，利用并集、补集的定义可得出集合AR（2）1,1. ABxx2或x2；

B和

RAB；

（2）由ABA得出BA，可得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出实数m的取值范围.

【详解】（1）当m2时，集合Bx2x1， 因为集合Ax1x2，所以ABx2x2， 因此，

RABxx2或x2；

（2）因为集合Ax1x2，Bxmxm1且ABA，则BA，

所以m1，解得1m1，因此，实数m的取值范围是1,1.

m12【点睛】本题考查集合并集和补集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，在处理无限数集的运算时，可充分结合数轴来理解，考查运算求解能力，属于中等题. 19.已知函数f(x)＝x＋

m，且f(1)＝2. x(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (3)若f(a)>2，求实数a的取值范围．

【答案】(1)fx奇函数；（2）证明见解析；（3）(0，1)∪(1，＋∞). 【解析】

【详解】∵f(x)xm，且f(1)2 x∴1m2，解得m1，

- 1 -

(1)yf(x)为奇函数，

1，定义域为(,0)(0,)，关于原点对称， x11(x)f(x)， 又f(x)(x)xx证：∵f(x)x所以yf(x)为奇函数；

（2）f(x)在(1,)上的单调递增， 证明：设1x1x2， 则f(x2)f(x1)x2∵ 1x1x2， ∴x2x10，1111(x1)(x2x1)(1) x2x1x1x210， x1x2故f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，f(x)在(1,)上的单调递增； （3）又f(a)2，即a12，显然a0， a化简a22a1，即(a1)20， 解得a0且a1.

本题考查函数的性质，考查学生的计算能力，证明函数的单调性按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行．（1）函数为奇函数．确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可得到结论；（2）按照取值、作差、变形定号，下结论的步骤进行证明，作差后要因式分解；（3）根据函数单调性，得到不等式的解集.

220.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．

- 1 -

（1）写出函数f(x)(xR)的增区间； （2）写出函数f(x)(xR)的解析式；

（3）若函数g(x)f(x)2ax2(x1,2)，求函数g(x)的最小值．

x22x,x0【答案】（1）1,0和1,；（2）fx2；

x2x,x0（3）gxmin12a,a0a22a1,0a1. 24a,a1【解析】

试题分析：（1）根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出fx的图象，由图象可得fx的单调递增函数；

2（2）令x0，则x0，根据条件可得f(x)x2x，利用函数fx是定义在R上

的偶函数，可得fxf(x)x2x，从而可得函数的解析式；

2（3）先求出抛物线对称轴x2a1，然后分当2a11时，当12a12，当2a12时三种情况，根据二次函数的增减性解答. 试题解析：

（1）fx在区间1,0，1,上单调递增. （2）设x0，则x0.

∵函数fx是定义在R上的偶函数，且当x0时，fxx2x.

2∴fxfxx2x x2x(x0)，

22 - 1 -

2x2x(x0)∴fx2.

x2xx0（3）gxx2x2ax2，对称轴方程为：xa1，

2当a11时，g152a为最小；

当1a12时，ga1a2a1为最小；

2当a12时，g2104a为最小.

52aa22综上，有：gx的最小值为a2a1(2a3).

104aa3 点睛：本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式，分段函数的单调性，函数最值的求解等知识点的综合考查，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，解答中熟记分析函数性质的求解方法是解答的关键.

21.某产品生产厂家生产一种产品，每生产这种产品x(x（百台），其总成本为Gx(万元)，其中固定成本为42万元，且每生产1百台的生产成本为15万元(总成本固定成本生产成

6x263x,0x5本).销售收入Rx(万元)满足R(x){，假定该产品产销平衡(即生

165,x5产的产品都能卖掉)，根据上述条件，完成下列问题：

1写出总利润函数yf(x)的解析式(利润销售收入-总成本)； 2要使工厂有盈利，求产量x的范围； 3工厂生产多少台产品时，可使盈利最大？

6x248x42,0x5【答案】(1)f(x){(2) 当产量大于100台，小于820台时，能

12315x,x5使工厂有盈利 (3) 当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元． 【解析】 【分析】

- 1 -

（1）根据利润=销售收入﹣总成本，且总成本为42+15x即可求得利润函数y=f（x）的解析式． （2）使分段函数y=f（x）中各段均大于0，再将两结果取并集．

（3）分段函数y=f（x）中各段均求其值域求最大值，其中最大的一个即为所求． 【详解】解：（1）由题意得G（x）=42+15x．

6x248x42，0x5∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．

12315x，x＞5（2）①当0≤x≤5时，由﹣6x+48x﹣42＞0得：x﹣8x+7＜0，解得1＜x＜7． 所以：1＜x≤5．

②当x＞5时，由123﹣15x＞0解得x＜8.2．所以：5＜x＜8.2． 综上得当1＜x＜8.2时有y＞0．

所以当产量大于100台，小于820台时，能使工厂有盈利． （3）当x＞5时，∵函数f（x）递减， ∴f（x）＜f（5）=48（万元）．

当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣6（x﹣4）+54， 当x=4时，f（x）有最大值为54（万元）．

所以，当工厂生产400台时，可使赢利最大为54万元． 【点睛】解决函数模型应用

解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不

2

2

2

能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.

22.已知指数函数ygx满足：g38，又定义域为R的函数fx数.

（1）确定ygx的解析式； （2）求m,n的值；

22（3）若对任意的tR，不等式f2t3tftk0恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】①g(x)2x;②n1，m2;③(,)． 【解析】

的ngxm2gx是奇函

12- 1 -

试题分析：①设指数函数，过点，代入求;

n2x②f(x)因为定义域为R,且是奇函数，所以x1m2足

代入

后解得

2解得，又根据是奇函数，满

;

2③根据奇函数将不等式化简为f(2t3t)f(kt)恒成立，根据②所求得函数析式，判定函数的单调性，从而得到2t3t2kt2恒成立，根据

的解

求的范围．

x试题解析：解：①设g(x)a(a0且a1)，∵g(3)8，则a38，∴a2，

∴g(x)2x．

n2x②由①知f(x)．∵f(x)是奇函数，且定义域为R，∴f(0)0， x1m2n112x0，∴n1，∴f(x)x1即，又2m2m∴m2． 故n1，m2．

1，∴212，

m14m112x11③由②知f(x)，易知f(x)在R上为减函数． x1x222212222又∵f(x)是奇函数，从而不等式f(2t3t)f(tk)0等价于f(2t3t)f(tk)，

即f(2t3t)f(kt)恒成立，

∵f(x)在R上为减函数，∴有2t3t2kt2，

即对于一切tR有2t22tk0恒成立，∴判别式(2)42k0， ∴k2221． 212故实数的取值范围是(,)．

考点：1．指数函数的性质；2．抽象不等式．

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