例1 如下图2-2-1，在同一铅垂面上向图示的两个方向以的初速度抛出A、B两个质点，问1s后A、B相距多远？
这道题可以取一个初速度为零，当A、B抛出时开始以加速度g向下运动的参考系。在这个参考系中，A、
vB=20m/s 60º vA=10m/s 30º 图2-2-1
B二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们之间的距离
m
例2在空间某一点O，向三维空间的各个方向以相同的速度射出很多个小球，球ts之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少〔假设ts之内所有小球都未与其它物体碰撞〕？
这道题初看是一个比拟复杂的问题，要考虑向各个方向射出的小球的情况。但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O点自由下落的参考系，所有小球就都始终在以O点为球心的球面上，球的半径是，那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2。 同步练习
1.一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为β1=30°，另一次安装成倾角为β2=15°。问汽车两次速度之比为多少时，司机都是看见冰雹都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？〔冰雹相对地面是竖直下落的〕
提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案为：3。
2、模型飞机以相对空气v = 39km/h的速度绕一个边长2km的等边三角形飞行，设风速u = 21km/h ，方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向相同，试求：飞机绕三角形一周需多少时间？
提示：三角形各边的方向为飞机合速度的方向〔而非机头的指向〕； 第二段和第三段大小相同。 参见右图，显然：
v2 = + u2 － 2v合ucos120° 可解出 v合 = 24km/h 。
答案：0.2hour〔或12min.〕。
3.图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片〔俯视〕。两列车沿直轨道分别以速度v1=50km/h和v2=70km/h行驶，行驶方向如箭头所示，求风速。
4、细杆AB长L ，两端分别约束在x 、 y轴上
运动，〔1〕试求杆上与A点相距aL〔0＜ a ＜1)的P点运动轨迹；〔2〕如果vA为，试求P点的x 、 y向分速度vPx和vPy对杆方位角θ
提示：〔1〕写成参数方程后消参数θ。
〔2〕解法有讲究：以A端为参照， 那么杆上各点只绕A转动。但鉴于杆子的实际运动情形如右图，应有v牵 = vAcosθ，v转 = vA，可知B端相对．．A的转动线速度为：v转 + vAsinθ= 。 ．．P点的线速度必为 = v相
所以 vPx = v相cosθ+ vAx ，vPy = vAy － v相sinθ
答案：〔1〕 + = 1 ，为椭圆；〔2〕vPx = avActgθ ，vPy =〔1 － a〕vA 。
例3. 由于汽车在冰面上行驶时摩擦因数很小，所以其最大加速度不能超过a=0.5m/s2．根据要求，驾驶员必须在最短时间内从A点到达B点，直线AB垂直于汽车的初始速度，如图2一1所示．如果A、B之间的距离AB=375 m，而初速度=10 m/s，那么这个最短时间为多少？其运动轨迹是什么？
难解出此题的，然而如果才坐标系转换法解此题，其难度却可以大大 降低。
坐标系转换：汽车在A点不动，而让B点以恒速向汽车运动的相反方向运动．在此坐标系内汽车为了尽快与B点相遇，必须沿直线以恒加速度a向B点驶去．假设它们在D点相遇，如
图2—2所示．设AB=b，我们可以列出：
v1 v2 ① 由①式可得： ② 将数据代人②式得t＝50s。
在地球坐标系内，它的运动是两个不同方向上的匀 速直线运动和匀加速直线运动的合运动，因而它的 运动轨迹是一条抛物线．
用相对运动观点处理追及和相遇问题
例4. 航空母舰上的战斗机起飞时的最大加速度是a=5.0m/s2,相对地面速度须到达vm=50m/s。航空母舰以一定的速度航行，该其甲板长度L=160m。设飞机起飞时可看作匀加速运动，且对航母的状态没有影响。为使飞机能平安起飞，那么航母的速度不得小于多少？
【解析】：相对航母，飞机起飞时加速度a/= a=5.0m/s2,最大位移s/=L=160m,所能到达的最大速度=40m/s。
为使飞机能平安起飞，航母的速度v≥vm-u=10m/s。
例5. 如图，A船从赶港口P出发去拦截正以速度v0沿直线航行的船B，P与B所在航线的垂直距离为a，A船启航时，B与P的距离为b〔b＞a〕，假设忽略A启动的时间，并认为A一起航就匀速运动，为使A船能以最小速率拦截到B船，以下说法正确的选项是：BC
A．A船应以PC方向运动 B．A船应以PD方向运动 C．A船的最小速率为 D．A船的最小速率为
【解析】：A要从P出发拦能截到B，那么A相对B的运动方向应取开始时的PB向。而A相对海面的速度，应等于A相对B的速度与B相对海面速度的矢量和，如下图，可见只有A相对海面速度vA对地垂直PB时为最小。
例6. 物体A在地面上足够高的空中以速度v1平抛，与此同时，物
h v1 VB对地A VA对地 VA对B P B b P A B
C a D v2
B 体B在A正下方距离h处以速度v2竖直上抛，不计空气阻力，那么二者在空中运动时的最近距离为
A． B． C． D． 答：D
【解析】：由于二者加速度相同，那么二者相对匀 速。以A为参考系，那么B相对A匀速运动的速度为，方向如图, 二者间的最近距离即为图中AC。 例7. 两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做同绕向的匀速圆周运动，地球半径为，卫星离地面的高度等于，卫星离地面高度为，那么：
〔1〕、两卫星运行周期之比是多少？
〔2〕假设某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，那么至少经过多少个周期与相距最远？
【解析】：〔1〕对做匀速圆周运动的卫星使用向心力公式 可得： 所以
〔2〕由可知：，即转动得更快。那么a相对b的角速度大小为 设经过时间两卫星相距最远，那么由图可得： 〔、2、3……〕 其中时对应的时间最短。 所以，得
【点评】：圆周运动中的追及和相遇问题也可“利用相对〔角〕位移关系列方程〞。当然，如果能直接将角位移关系转化成转动圈数关系，运算过程更简洁，但不如利用相对角位移关系容易理解，而且可以和直线运动中同类问题的解法统一起来，记忆比拟方便。
练习1 A、B两棒长均为L=1m，接近在同一竖直线上，A的下端与B的上端相距s=20m，A、B同时开始运动，A做自由落体，B做竖直上抛，初速度
v1
C v2 B h A
Ａ
=40m/s，不计空气阻力，那么到两棒相遇时间t1和从相遇开始到别离所需时间t2分别为 Ｃ
A．t1=0.5s，t2=0.5s B．t1=0.05s，t2=0.5s C．t1=0.5s，t2=0.05s D．t1=0.05s，t2=0.05s
由于二者加速度相同，那么二者相对匀速。以A为参考，B相对A匀速。 2．内空高h的升降机正以加速度a〔＜g〕匀加速上升中，顶部突然一颗螺钉松脱，至落到底板上需要时间 A
A． B． C． D．以上答案都不对
3.如图，物体甲从高H处以速度平抛，同时乙从乙距甲水平方向s处由地面以初速度
竖直上抛，不计空气阻力，那么两物体在空中相遇的条件是 ABD
A．从抛出到相遇的时间为
B．假设要在物体乙上升中遇甲，必须＞ C．假设要在物体乙下降中遇甲，必须＞ D．假设相遇点离地高度为，那么
由于二者加速度相同，那么二者相对匀速，相遇时间为或。
※4.两个以20.0m/s的速度垂直下落，一妇女以5.0m/s的速度向前奔跑，她感到雨点从什么方向落下，速度的大小为多少？
根据生活经验，人不动时，感到雨点垂直下落， 人运动时无论向哪个方向奔跑，雨点都会向她 迎面扑来，并且运动速度越快，雨点扑来的速 度也越大。所以观察雨点的速度和人的运动速 度有关。
根据英文字母表示：
地面：Earth;妇女 Woman; 雨点 Rain;
RE为雨点相对地面；
甲
H 乙 WE为人相对地面； EW为地面相对人； RW为雨点相对人。
雨点相对人的速度RW=EW+RE ，EW = -WE 雨点相对人的速度大小为： 雨点相对人的速度方向为：
要使雨点不让人的鞋子受潮，雨伞的半径应大于：ｄ= h tan14°=0.375m。 ※拓展：有一条船要过河，河位于东西方向，水以ｕ的速度从西向东流动。如果船相对水的速度为υ’向北方行驶，从岸上的人看船向正偏东θ1运动，如何才能使以最短的时间到达对岸？
5.某人以4㎞/ｈ的速度向东行进时，感觉风从正北吹来。如果将速度增加一倍，那么感觉风从东北方向吹来，求相对于地面的风速和风向。
解：根据英文字母规定速度的意义：
PE为人相对地面； WE为风相对地面； WP为风相对人。
根据矢量关系：
WE=WP +PE
……〔1〕 ……〔2〕
WE=’WP +’PE
其中’PE=2PE
考虑风的速度WE在东西方向的投影， 由〔1〕可得：υWEcosθ=υPE
由〔2〕可得：υWEcosθ+υWPcos45°=2υPE 由此可得： 风的速度大小为：
6. 李明同学放学回家，正碰上刮风下雨，他以18km/h的速度由西向东快跑，此时他发现了奇怪的现象，雨滴成竖直下落状态，请你确定，这时刮的是____风，风速是___m/s
思路点拨
地面上刮风时，风的速度方向与地面平行，即沿水平方向，此时假设下雨，那么雨滴一方面由于受重力作用而沿竖直方向下落．另一方面又由于风对它的作用使它沿水平方向也发生运动，可以想象，当雨滴在水平方向的运动速度小于风的速度时，在水平方向上风相对于雨滴总是有向前的速度，由此风还会把雨滴向前带动使之具有更大的水平方向的速度，只有当两者在水平方向的速度相等时，两者在水平方向上方无相互作用，雨滴在水平方向上的速度才不会再变化，所以，假设把风中的雨滴下落的运动从水平和竖直两个方向来看，那么雨滴将一方面以某一速度沿竖直方向下落，另一方面那么具有一个和风速相同的水平方向的速度随风一道运动．
人在雨中奔跑的速度是沿水平方向的，他假设感到此时雨滴是沿竖直方向下落，说明此时人与雨滴之间在水平方向上没有相对运动，即人和雨滴在水平方向上的速度是相同的，又由上分析知此时雨滴在水平方向上的速度与风速相同，可见此时人奔跑的速度与风的速度相同．故知此时刮的是西风，风速是18km／h，即5m／s．
答案：西，5
7. A、B两辆车以相同速度v0同方向作匀速直线运动，A车在前，Ｂ车在后．在两车上有甲、乙两人分别用皮球瞄准对方，同时以相对自身为2 v0的初速度水平射出，如不考虑皮球的竖直下落及空气阻力，那么〔C 〕 A．甲先被击中 B．乙先被击中
C．两人同时被击中
D．皮球可以击中乙而不能击中甲
思路点拨
甲球抛出时对他的速度为：v甲＝2v0－v0＝v0，方向向后；
乙球抛出后对他的速度为：v乙＝2 v0＋ v0＝3 v0，方向向前，设两车相距s远，那么甲球自抛出至击中乙所需的时间为： 乙球自抛出至击中甲所需的时间为： 可见t2＝t1，说明两人同时被击中． 引申拓展
此题可用相对运动的知识来求解．由于A、B两车运动速度相同，即A、B之间没有相对运动，故甲、乙两人间也没有相对运动．那么甲以相对于自身速度为2v0的球射向乙，这个球相对于乙的速度也就是2v0，设甲、乙间的距离为s，那么甲抛出的球至击中乙需用时间为
同理，乙以相对于自身速度为2v0的球射向甲，此球相对于甲的速度也就是2v0，那么乙抛出的球至击中甲所需的时间为：
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