带传动中弹性滑动问题的综合分析 徐超 。４９ 。 带传动中弹性滑动问题的综合分析 华东船舶工业学Ｉ￣（２１２００３） 徐超 取极限并忽略高阶小量，式（２）、（３）化为： 【摘要】 本文应用摩擦理论研究了带传动中 Ｎ（ ）Ｒ＋Ｎ 一Ｆ＝０ （４） 与弹性滑动有关的一些问题。详细地分析了带传 动的受力变化规律，弹性滑动角的位置和大小，导 出了弹性滑动量和弹性滑动率的计算公式，分析了 弹性滑动对传动比和传动率损耗的影响。 关键词 弹性滑动 带传动 弹性滑动率 文献标识码Ａ １ 引言 摩擦型带传动是借助带与带轮之问的摩擦来传 递运动和动力的。由于带被看作弹性体，在传动过 程中，紧边和松边的不同拉力造成带不同的拉伸弹 性变形，使带传动发生似蚯蚓爬行一样的蠕动，产生 弹性滑动。它是带传动中所固有的、不可避免的物 理现象。这一现象在诸多文献中一般只有定性描 述。本文应用摩擦理论对带传动中的弹性滑动进行 了定量的综合分析。 ２带传动的受力变化规律 带在带轮上的受力如图ｌ所示。其中紧边拉力 为Ｆ１，松边拉力为Ｆ２。长度为Ｒｄ９带元两侧面的 受力分别为Ｆ及Ｆ＋ｄＦ，底面受有随角度位置 而 变化的二个单位力，带轮正压力Ｎ（ ）和摩擦力 ，Ｎ（ ），以及带在工作时出现的恒定的单位均布离 心力 。 Ｎｃ＝ｑＲｗ （１） 式中ｑ为带单位长度的质量，Ｒ为带轮的半 径， 为带轮的角速度。 对于图ｌ中所示承受力的带元Ｒｄ９，将各径向 分力、切向分力分别相加可得： Ｎ（９）Ｒｄ９＋Ｎ３＇￣ｄ９一Ｆｓｉｎ ２一 （Ｆ＋ｄＦ）ｓｉｎ ＝０ （２） 厶 （９）Ｒｄ９＋Ｆｃｏｓ ２一（Ｆ＋ｄＦ）ｃｏｓ ２＝Ｏ （３） ，Ｎ（ ）Ｒｄ 一ｄＦ＝０ （５） 在带速不变时，Ｎ 为常量，表示离心力对带拉力 的影响。令： Ｆｃ＝ ＝ｑＲ。 。＝ 。 （６） 于是式４化为： Ｆ＝Ｎ（ ）Ｒ＋ （７） 对式（７）微分得： ｄＦ ＲｄＮ（ ） （８） 式（８）带入式（５）得： ｆａ ＝ （９） 对式（９）积分得： ＝ Ｎ（９）＝Ｎｏｅ （１１） 式（１１）表示带受带轮单位正压力Ｎ（ ）按指 数律分布，且： ｆＮ ＝Ｎ（０）＝Ｎ０ ＩＮ一＝Ｎ（ １）＝Ｎ０ｅ －＝Ｎ１ 式中 １为弹性滑动角，如图ｌ所示，在 １角范 围内带传动发生弹性滑动。这里Ｎ（ ）较大的变化 是造成带不均匀磨损的重要原因。而在静角 １范 围内，由于带与带轮之间无相对滑动，所以Ｎ（ ）保 持 大小不变。Ｎ（ ）可总结为： 』ｌＮ（ Ｎ‘ ） Ｎ。 ｅ慨 Ｎ１ｅ （９１‘。 －＜ ＝三三口１）１） （ １３） Ｎ（ ）分布图如图ｌ所示。 在弹性滑动角 范围内，带受带轮单位摩擦力 ，Ｎ（ ）也按指数律分布，且： ｛Ｉ ［ （ ）］＝ ‘～（ ， １）＝ 。 １ （… １４） 而在静角 １范围内， （ ）为零（实际由于带的切 向塑性变形，也部分地在静角范围内传递摩擦力，一 般计算不考虑。），Ｎ（ ）可总结为： ｆ／７、，（ ）＝ｆＮ０ｅ （ｏ 三三三 １） 【ＣＮ（ ）＝０ （ ｌ 三三三口１） （１５） ‘５Ｄ・ 现代机械２００２年第２期 ｖｌ—— Ｌ ／一一—／ ｒ｜ Ａｌｐ１Ｖ１ Ａ２Ｐ２Ｖ２ （１８） 设在Ｆ 、Ｆｚ拉力作用下，带的应变量为￡ 、￡，， 带的泊松比为ｙ，则得： ｆＡ１＝Ａ０（１一 １） Ａ２＝Ａ０（１一 ２） … —ｄ （÷）Ｒｄ÷ ＼ ＮｃＲｄ÷～ 若带在不受力时的密度为Ｐ。，则由一段带在受 力前后质量不变的条件可得： ／ ÷）Ｒｄ，； ｆ‘０１＝‘００／［（１＋Ｅ１）（１一 １） ］ １Ｐ２：ｐ。／【（１＋ｅ２）（卜 ２） ］ Ｆ＋ ‘ ｏ’ 将式（１９）、（２０）带入式（１８）可得： Ｅ ～＼ ｒｉ１＋ ．、 Ｖ２ 模量，可得 （２１） 由ｅ１＝Ｆ１／ＥＡ０，￡２＝Ｆｚ／ＥＡ０，Ｅ为带的弹性 大于 ，如图２所示。在主动带轮 图１ 带传动的力学模型 ，Ⅳ（ ）分布图如图１所示。 式（７）表示带受拉力Ｆ（ ）的变化规律。其值 由两部分组成，一部分是离心力所产生的离心拉力 ，上，Ｅ Ｇ１段是静弧，带在Ｅ 点以主动带轮的表面 速度 进入主动带轮，带与带轮表面之间无相对 滑动。在Ｅ Ｇ 段，带与带轮表面速度是相等的，都 为 。而在带进入弹性滑动弧Ｇ Ｌ 段时，带速会 逐渐小于带轮表面速度 ，在出端终点Ｌ ，带以速 度 。另一部分是单位正压力Ｎ（ ）引起的Ｎ（ ）Ｒ。 在弹性滑动角 范围内，Ｆ（ ）也按指数律变化。 且 ｆ～ 【 ｎＦ。。～‘，ｏ’？ 。。Ｎ（ １）Ｒ 一离开主动带轮，而主动带轮表面速度始终为 由此可知，由于带中拉力逐渐降低的缘故，带 Ｒ ＝Ｆ１… Ｆｚ（１６） ＝Ｎ１Ｒ 在弹性滑动弧Ｇ Ｌ 段发生了与带轮表面运动方向 相反的弹性滑动，主动带轮对带的作用摩擦力与带 的运动方向一致，如图２所示。此分布摩擦力对主 动带轮转动中心０ 之矩与带传动的驱动力矩Ｍ 方向相同。 而在静角 １范围内，Ｆ（ ）大小不变为Ｆ１。 Ｆ（ ）可总结为： 』Ｆ（ ）：Ｎ０ Ｒ＋Ｆｃ （ｏ＝三三 三三三 １） ＩＦ（ ） Ｆ１ （ １ ＝三三。１） （１７） 在从动带轮上，ＥｚＧ 段是静弧，带在Ｅ 点以 从动带轮的表面速度 进入从动带轮，带与带轮 表面之间无相对滑动。在Ｅ Ｇ 段，带与带轮表面 速度是相等的，都为 。而在带进入弹性滑动弧 ＧｚＬｚ段时，带速会逐渐大于带轮表面速度 ，在 Ｅｉ ３弹性滑动角的位置和大小 ３．１弹性滑动角的位置 实践表明，弹性滑动角的位置总出现在每个带 轮的出端，如图２中的角 和 ２位置所示。现从理论上 给予证明。在图２所示两带 轮上，装有截面积为Ａ。（不受 拉力时）的带。在工作时，紧 边受拉力Ｆ ，带截面积变为 Ａ ，松边受拉力为Ｆ ，带截面 积变为Ａ 。若紧边和松边带 的密度为Ｐ 、Ｐ ，速度为 、 ：： Ｌ Ｖｚ，则按每个截面单位时间 内通过的带质量相等的条件 可得： 图２带传动的弹性滑动 带传动中弹性滑动问题的综合分析 徐超 ‘５ ・ （ｉ＝１，２）增加到小带轮的包角ａ１，如图２所示，而 出端终点Ｌ ，带以速度 １离开从动带轮，而从动 带轮表面速度始终为 。由此可知，由于带中拉力 逐渐增大的缘故，带在弹性滑动弧Ｇ Ｌ 段发生了 与带轮表面运动方向相同的弹性滑动。从动带轮对 ａ１是一个仅决定于带传动几何尺寸的常量，此时打 滑就会首先发生在小带轮上了。 带的作用摩擦力与带的运动方向相反，如图２所示。 此分布摩擦力对从动带轮转动中心（） 之矩与带传 动的工作阻力矩Ｍｚ方向相同。 若假定弹性滑动角的位置出现在每个带轮的进 端，应用同上类似的分析方法，可得出在主动带轮上 带轮对带作用的分布摩擦力对主动带轮转动中心 ４弹性滑动量和弹性滑动率 ４．１弹性滑动量 如图１所示，对应角９的带元Ｒｄ９上引起带弹 性滑动的内力为ｄＦ，由式（５）得： ｄＦ ｆＮ（ ）Ｒｄ９ （）１之矩与带传动的驱动力矩Ｍ１方向相反，这是不 可能的。而在从动带轮上带轮对带作用的分布摩擦 力对从动带轮转动中心（） 之矩与带传动的工作阻 力矩Ｍ 方向相反，这也是不可能的。这就证明了 弹性滑动角的位置只能出现在每个带轮的出端。 ３．２弹性不滑动角的大小 如图２所示，主动带轮作用在带弹性滑动弧 Ｇ１Ｌ１段上的分布摩擦力对主动带轮转动中心（）１ 之矩即为带传动的驱动力矩Ｍ１，则： ｒ ｒ— Ｍ１ ｊ： Ｒ’／Ｎ（９）Ｒｄ９ ／Ｒ Ｊｏ ～（ ）ｄ （２２） 式（１３）代入式（２２）得： Ｍ１＝厂～０Ｒ ｅＪ＊ｄ￣＝ＮｏＲ （ －一１）（２３） 由式（２３）可知驱动力矩Ｍ１随弹性滑动角 １ 也按指数律变化。根据式（１６）得： Ｆ 一Ｆ Ｎｏ＝ （２４） 又驱动力矩Ｍ１可写成：Ｍ１＝（Ｆ１一Ｆ２）Ｒ （２５） 式（２４）、（２５）代入式（２３）得： ＝ － （２６） ，２一，， 得主动带轮上的弹性滑动角 １为： １ — １ ｌ“ （２７） 类似地可证得从动带轮上的弹性滑动角 为： ＝ｌｎ蕊Ｆ１－Ｆ，． （２８） 式（２７）、（２８）分别给出了主、从动带轮上弹性滑 动角 １和 ｚ的大小计算公式，可见它们是相等 的。 应该指出，弹性滑动角 （ｉ １，２）不是常量， 随着工作阻力矩的增加，紧边拉力Ｆ１与松边拉力 Ｆ２之差也增加，使得 （ｉ＝１，２）也增加，直到 对上式积分得对应角 的带截面处引起带弹 性滑动的内力△Ｆ（ ）为： ｆ妒』 ， △Ｆ（ ）＝Ｉ。ｆＮ（９）Ｒｄ９＝ＮｏＲ（ｅｆ＊－一 ） （２９） 由线弹性虎克定律得： ＿ｄ ： （３ｏ） Ｒｄ９ ＥＡ０ … 对式（３Ｏ）积分得对应角 处带截面的弹性滑 动量 （ ）为： ）＝ 脚 （３１） 式（２９）代入式（３１）得： ）＝』 Ｒ （ＥＡ０ －一 ） ＝譬 ［ （ 一 ）一７１（ －一 ）］（３２） 在出端终点Ｌ处带截面沿带轮表面的弹性滑 动量 （ ）达到最大值，为： （ ） Ｉ：。＝ （。）＝管 ［ － 一７１（ －一１）］ （３３） ４．２弹性滑动率 对应角 处带截面沿带轮表面的弹性滑动速 度ｄ （９）￣ａｔ为： ｄ／（ｄｔ９）．－＝ ｄ・ ｄｔ＝一 ・ ｄ ＝ （ ） （３４） 在出端终点Ｌ处即 ＝０处ｄ／（９）￣ａｔ达到最 大值。此最大值就是带传动的滑动速度 一 。 贝『Ｊ： 一 ＝ Ｉ：。＝ （ －一１） （３５） 弹性滑动率 为： ・５２・ 现代机械２００２年第２期 ＝ ｃ 由于带传动的主动功率Ｐ＝（Ｆ１一Ｆ２）－Ｖ１，则 得： １一￡２ △Ｅ （３６） 由此可见，弹性滑动率 等于带紧边应变量￡ Ｐ・ （３９） 与松边应变量￡ｚ之差△Ｅ。在正常工作情况下， 带传动弹性滑动功率损耗率刁 为： 与有效拉力Ｆ Ｆ 成正比（假设Ｅ为常数）。 ＶＪ＝ ： △Ｅ （４Ｏ） ５弹性滑动对传动比、传动功率损耗的影 响 ６结束语 ５．１对传动比的影响 本文应用摩擦理论对带传动中的弹性滑动问题 实际传动比 实为： 进行了深入的分析。相信这对于深入理解带传动的 Ｖ１Ｒ２工作情况和提高带传动的设计是有益的。 实＝ ＝ ‘ ＝ ＝ ｃｓ ） 参考文献 式中 理为理想传动比， 理 Ｒ，当采用一般 １１邱宣怀．机械设计［Ｍ］．北京高等教育出版社，１９９７． 带材料时， ＝１～２％，所以弹性滑动使带传动的实 ２吴宗泽．高等机械设计［Ｍ］．北京清华大学出版社， 际传动比增加。 １９９１． ５．２对传动功率损耗的影响 ３ Ｈ．Ｂｕｒｒ．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｄｅｓｉｇｎ［Ｍ］．Ｎｅｗ 带传动功率损耗的影响因素较多，在此仅讨论 Ｙｏｒｋ：Ｅｌｓｅｖｉｅｒ，１９８１． 弹性滑动对传动功率损耗的影响。设弹性滑动引起 ４ Ｇ尼曼，Ｈ温特尔，张海明译．机械零件［Ｍ］．北京：机 的带传动率损耗为Ｐ ，则： 械工业出版社，１９９１． 尸 ＝（Ｆ ）・ ｌ ：。＝（Ｆ 一Ｆ２）・（ 一 ５ Ｓ．弗罗尼斯．王汝霖译．设计学——传动零件［Ｍ］．北 京：高等教育出版社，１９８８． ） （３８） ６杨盛福带传动效率计算方法的研究［Ｊ］．机械工程师， １９９７（１１：５２～５３． 《 、 （上接第７９页）好状态下，实际工作时间也只有 统能量的损失进行的分析、计算，提出了液压挖掘机 ６Ｏ％一７Ｏ％，减少等待、保养、修理时间，提高机器运 在设计制造、应用过程中的几个节能措施，便于今后 转率是在使用中最重要的环节。 在设计制造、应用中能够更好的提高效率，降低能耗 ３．３液压系统的节能 和成本，起到抛砖引玉的作用。 当挖掘机不工作而阀杆处于中位时，把油泵的 摆角调到最小限度（如ＰＮＴ系统）。把卸荷时无用 参考文献 的流量控制在最小限度，减小了功率损失（如ＯＬＳＳ 杨建华等．内燃机性能提高技术．人民交通出版社 系统）。利用计算机控制的节能液压系统，可以传感 ２０００． 发动机的转速变化和能够控制油泵的排量。做到了 何光里．汽车运用工程师手册．人民交通出版社，１９９０ 发动机转矩和泵的吸收转矩的最佳配合（机电一体 洪英发等．液压与气动技术．东北大学出版社，１９９６ 化系统）。 乾孝保．液压挖掘机的节能措施１９９６ 上原一男．从油压空气压液压系统节能总论ＶｏＩ １４ ４结束语 Ｎ（）３ 笔者通过多年的摸索，和对液压挖掘机液压系