数列倒序相加、错位相减、分组求和
一．选择题（共2小题）
1．（2014秋•葫芦岛期末）已知函数f（x）=x的图象过点（4，2），令an=n∈N，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2015=（ ） A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1
2．（2014春•池州校级期末）已知函数f（x）=x•cos（xπ），若an=f（n）+f（n+1），则（ ）
A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015
二．填空题（共8小题） 3．（2015春•温州校级期中）设
，若0＜a＜1，则f（a）+f（1﹣a）= ，
2
*
a
，
ai=
= ．
4．（2011春•启东市校级月考）Sn=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）S100+S200+S301= ．
5．（2010•武进区校级模拟）数列{an}满足
n+1
•n，则
，a1=1，Sn是{an}的前n
项和，则S21=
n
6．（2012•新课标）数列{an}满足an+1+（﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前60项和为 ．
n*
7．（2015•张家港市校级模拟）已知数列{an}满足a1=1，an+1•an=2（n∈N），则S2012= ．
n*
8．（2009•上海模拟）在数列{an}中，a1=0，a2=2，且an+2﹣an=1+（﹣1）（n∈N），则s100= ．
9．（2012•江苏模拟）设数列{an}的前n项和为|a1|+|a2|+…+|an|= ．
10．（2013春•温州期中）等比数列{an}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|an|= ．
三．解答题（共15小题）
11．在数列{an}中，a1=﹣18，an+1=an+2，求：|a1|+|a2|+…+|an|
2
12．（2010•云南模拟）已知数列{an}的前n项和Sn=25n﹣2n． （1）求证：{an}是等差数列． （2）求数列{|an|}的前n项和Tn． 13．已知在数列{an}中，若an=2n﹣3+
，求Sn．
，则
文案大全
实用文档
14．（2014•海淀区校级模拟）求和：Sn=1+2x+3x+…+nx． 15．求下列各式的值：
23nn
（1）（2﹣1）+（2+2）+（2﹣3）+…+[2+（﹣1）n]；
23n
（2）1+2x+4x+6x+…+2nx． 16．（2010春•宁波期末）在坐标平面 内有一点列An（n=0，1，2，…），其中A0（0，0），
n
An（xn，n）（n=1，2，3，…），并且线段AnAn+1所在直线的斜率为2（n=0，1，2，…）． （1）求x1，x2
（2）求出数列{xn}的通项公式xn
（3）设数列{nxn}的前n项和为Sn，求Sn．
2
17．（2013秋•嘉兴期末）已知等差数列{an}的公差大于0，a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）记
，求数列{bn}的前n和Sn．
2
2n﹣1
18．（2014秋•福州期末）已知等比数例{an}的公比q＞1，a1，a2是方程x﹣3x+2=0的两根， （1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{2n•an}的前n项和Sn．
19．（2011春•孝感月考）求和：Sn=（x+）+（x+20．（2014春•龙子湖区校级期中）求数列{n×
2
2
）+…+（x+
2n
）．
2
}前n项和Sn．
21．（2011秋•文水县期中）已知数列{an}中，an=2n﹣33，求数列{|an|}的前n项和Sn．
n
22．数列{an}中，an=n•2，求Sn．
n
23．已知数列{an}中，an=（2n﹣1）•3，求Sn．
22343456
24．求数列1，a+a，a+a+a，a+a+a+a，…的前n项和Sn． 25．已知数列{an}中，
，试求数列{an}的前n项之和Sn．
文案大全
实用文档
数列倒序相加、错位相减、分组求和
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2014秋•葫芦岛期末）已知函数f（x）=x的图象过点（4，2），令an=n∈N，记数列{an}的前n项和为Sn，则S2015=（ ） A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1
a
【解答】解：函数f（x）=x的图象过点（4，2），
a
则：4=2， 解得：a=，
*
a
，
所以：f（x）=则：=
=
，
，
则：Sn=a1+a2+…+an ==则：故选：D．
2．（2014春•池州校级期末）已知函数f（x）=x•cos（xπ），若an=f（n）+f（n+1），则（ ）
A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015
2
【解答】解：∵函数f（x）=x•cos（xπ），若an=f（n）+f（n+1）， ∴
ai=（a1+a3+a5+…+a2013）+（a2+a4+a6+…+a2014）
2
，
，
ai=
=（3+7+11+…+4027）﹣（5+9+13+…+4029） =﹣2×1007 =﹣2014． 故选：B．
二．填空题（共8小题）
文案大全
实用文档
3．（2015春•温州校级期中）设，若0＜a＜1，则f（a）+f（1﹣a）= 1 ，
= 1007 ．
【解答】解：∵∴当0＜a＜1时， f（a）+f（1﹣a）=
+
，
=+=+=1，
故
故答案为：1，1007．
=1007×1=1007，
4．（2011春•启东市校级月考）Sn=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）•n，则S100+S200+S301= 1 ． 【解答】解：由题意可得，S100=1﹣2+3﹣4+…99﹣100=﹣50，S200=1﹣2+3﹣4+…+199﹣200=﹣100
s301=1﹣2+3﹣4+…+299﹣300+301=﹣150+301=151 ∴s100+s200+s301=﹣50﹣100+151=1 故答案为：1．
5．（2010•武进区校级模拟）数列{an}满足项和，则S21= 6 【解答】解：∵∴a1=a3， a3+a4=a4+a5
∴a1=a3=a5=…=a2n﹣1， 即奇数项都相等
∴a21=a1=1
∴S21=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）+a21 =10×+1 =6．
答案：6．
6．（2012•新课标）数列{an}满足an+1+（﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前60项和为 1830 ． 【解答】解：∵∴
文案大全
n
n+1
，a1=1，Sn是{an}的前n
，a1+a2=a2+a3，
，
实用文档
令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2， a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，
则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16
∴数列{bn}是以16为公差的等差数列，{an}的前60项和为即为数列{bn}的前15项和 ∵b1=a1+a2+a3+a4=10 ∴
7．（2015•张家港市校级模拟）已知数列{an}满足a1=1，an+1•an=2（n∈N），则S2012= 3×21006﹣3 ．
n*
【解答】解：∵数列{an}满足a1=1，an•an+1=2，n∈N ∴n=1时，a2=2，
nn﹣1
∵an•an+1=2，∴n≥2时，an•an﹣1=2， ∴
=2，
n
*
=1830
∴数列{an}的奇数列、偶数列分别成等比数列， ∴S2012=故答案为：3×2
1006
+﹣3．
=3×2
1006
﹣3．
8．（2009•上海模拟）在数列{an}中，a1=0，a2=2，且an+2﹣an=1+（﹣1）（n∈N），则s100= 2550 ．
【解答】解：据已知当n为奇数时， an+2﹣an=0⇒an=0，
当n为偶数时，an+2﹣an=2⇒an=n，
，
n*
S100=0+2+4+6+…+100=0+50×故答案为：2550
=2550．
9．（2012•江苏模拟）设数列{an}的前n项和为
2
，则|a1|+|a2|+…+|an|= \\left\\{\\begin{array}{l}{{﹣n}^{2}+4n﹣1，1≤n≤2}\\\\{{n}^{2}﹣4n+7，n≥3}\\end{array}\\right. ． 【解答】解：∵Sn=n﹣4n+1， ∴an=
，
∴①当n≤2时，an＜0，
∴S1′=|a1|=﹣a1=2，S2′=|a1|+|a2|=﹣a1﹣a2=3；
2
②当n≥3，|a1|+|a2|+…+|an|=﹣a1﹣a2+a3+…+an=﹣2S2+Sn=n﹣4n+7．
文案大全
实用文档
∴|a1|+|a2|+…+|an|=
．
故答案为：
．
10．（2013春•温州期中）等比数列{an}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|an|= 2n﹣1﹣\\frac{1}{2} ．
【解答】解：∵a1=，a4=﹣4， ﹣4=×q，解得q=﹣2
即数列{an}是以为首项，以﹣2为公比的等比数列 则数列{|an|}是以为首项，以2为公比的等比数列
3
故|a1|+|a2|+…+|an|=故答案为：2
n﹣1
=2
n﹣1
﹣
﹣
三．解答题（共15小题）
11．在数列{an}中，a1=﹣18，an+1=an+2，求：|a1|+|a2|+…+|an| 【解答】解：∵数列{an}中，a1=﹣18，an+1=an+2， ∴{an}是首项为﹣18，公差为2的等差数列， ∴an=﹣18+（n﹣1）×2=2n﹣20， 由an=2n﹣20≥0，n≥10， 设{an}的前n项和为Sn，
当n≤10时，|a1|+|a2|+…+|an|=﹣Sn=﹣[﹣18n+当n＞10时，：|a1|+|a2|+…+|an|=Sn﹣2S10 2
=n﹣19n+180． ∴|a1|+|a2|+…+|an|=
12．（2010•云南模拟）已知数列{an}的前n项和Sn=25n﹣2n． （1）求证：{an}是等差数列． （2）求数列{|an|}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）证明：①n=1时，a1=S1=23．
22
②n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（25n﹣2n）﹣[25（n﹣1）﹣2（n﹣1）]=27﹣4n，而n=1
文案大全
2
]=﹣n+19n．
2
．
实用文档
适合该式．
于是{an}为等差数列．
（2）因为an=27﹣4n，若an＞0，则n＜
，
，
当1≤n≤6时，Tn=a1+a2+an=25n﹣2n， 当n≥7时，Tn=a1+a2++a6﹣（a7+a8++an）
2
=S6﹣（Sn﹣S6）=2n﹣25n+156， 综上所知
13．已知在数列{an}中，若an=2n﹣3+【解答】解：数列{an}中，若an=2n﹣3+数列，
Sn=（﹣1+1+3+5+…+（2n﹣3））+（
…+
）
，求Sn．
，可知数列是等差数列与等比数列对应项和的
．
2
=+
=n（n﹣2）+1﹣=n﹣2n+1﹣
2
．
14．（2014•海淀区校级模拟）求和：Sn=1+2x+3x+…+nx【解答】解：当x=0时，Sn=1； 当x=1时，Sn=1+2+3+…+n=
2
2n﹣1
．
；
n﹣1
当x≠1，且x≠0时，Sn=1+2x+3x+…+nx
23n
xSn=x+2x+3x+…+nx．②
23n﹣1n
（1﹣x）Sn=1+x+x+x+…+x﹣nx =
，
，①
x=0时，上式也成立， ∴
．x≠1．
文案大全
实用文档
∴Sn=
．
15．求下列各式的值：
23nn
（1）（2﹣1）+（2+2）+（2﹣3）+…+[2+（﹣1）n]；
23n
（2）1+2x+4x+6x+…+2nx．
【解答】解：（1）当n为奇数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n=当n为偶数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n=，
2
3
n
n+1n
n
﹣n=﹣，
又∵2+2+2+…+2+=
2
3
=2﹣2，
n
n
记Sn=（2﹣1）+（2+2）+（2﹣3）+…+[2+（﹣1）n]，
∴Sn=
（2）记Sn=1+2x+4x+6x+…+2nx，
2
3
n
；
则当x=1时，Sn=1+2+4+6+…+2n=1+2•当x≠1时，xSn=x+2x+4x+…+2nx，
23nn+1
∴（1﹣x）Sn=1+x+2（x+x+…+x）﹣2nx =1+x+2•
﹣2nx
n+1
2
3
n+1
=n+n+1；
2
，
∴Sn=
+2•﹣；
综上所述，Sn=
．
16．（2010春•宁波期末）在坐标平面 内有一点列An（n=0，1，2，…），其中A0（0，0），
n
An（xn，n）（n=1，2，3，…），并且线段AnAn+1所在直线的斜率为2（n=0，1，2，…）． （1）求x1，x2
（2）求出数列{xn}的通项公式xn
（3）设数列{nxn}的前n项和为Sn，求Sn．
0
【解答】解：（1）A0（0，0），A1（x1，1），A2（x2，2）直线A0A1的斜率为2=1，
文案大全
实用文档
∴x1=1
直线A1A2的斜率为2，
，
∴
（2）当n≥1时，An（xn，n），An+1（xn+1，n+1）， ∴
，
累加得：
检验当n=1时也成立， ∴（3）
，令bn=2n，对应的前n项和Tn=n（n+1）令
，
两式相减得：∴∴
17．（2013秋•嘉兴期末）已知等差数列{an}的公差大于0，a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）记
，求数列{bn}的前n和Sn．
2
2
【解答】解 （1）∵a3，a5是方程x﹣14x+45=0的两根， 且数列{an}的公差d＞0，
2
解方程x﹣14x+45=0，得x1=5，x2=9， ∴a3=5，a5=9，┅（2分） ∴
，解得
┅（4分）
文案大全
实用文档
∴an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1┅（6分） （2）∵an=2n﹣1， ∴∴
┅（8分）
┅（9分）
∵┅（11
分）
∴数列{bn}的前n项和：
┅（13分）
┅（14分）
18．（2014秋•福州期末）已知等比数例{an}的公比q＞1，a1，a2是方程x﹣3x+2=0的两根， （1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{2n•an}的前n项和Sn．
2
【解答】解：（1）方程x﹣3x+2=0的两根分别为1、2，…（1分） 依题意得a1=1，a2=2，…（2分）
所以q=2，…（3分） 所以数列{an}的通项公式为an=2；…（4分）
n
（2）由（1）知2n•an=n•2，…（5分）
2n
所以Sn=1×2+2×2+…+n×2，①
23nn+1
2•Sn=1×2+2×2+…+（n﹣1）•2+n×2，② 由①﹣②得：
23nn+1
﹣Sn=2+2+2+…+2﹣n×2，…（8分） 即﹣Sn=
﹣n×2
n+1
n﹣1
2
，…（11分）
所以Sn=2+（n﹣1）•2
n+1
…（12分）
2
2
19．（2011春•孝感月考）求和：Sn=（x+）+（x+【解答】解：当x=±1时， ∵（x+
n
）+…+（x+
2n
）．
2
）=4，∴Sn=4n，
2
当x≠±1时， ∵an=x+2+
2
4
2n
，
∴Sn=（x+x++x）+2n+（
2n
+++）=++2n
文案大全
实用文档
=+2n，
所以当x=±1时，Sn=4n； 当x≠±1时，Sn=
20．（2014春•龙子湖区校级期中）求数列{n×【解答】解：∵数列{n×∴Sn=
①﹣②，得：Sn=
}前n项和Sn．
，①…（3分）
，②…．（6分） }前n项和Sn．
+2n．
=﹣
=1﹣∴Sn=2
…（10分） …（13分）
21．（2011秋•文水县期中）已知数列{an}中，an=2n﹣33，求数列{|an|}的前n项和Sn． 【解答】解：令an=2n﹣33＞0，解得n＞
，
所以当n≤16时，an＜0，又a1=2﹣33=﹣31， 则数列{|an|}的前n项和Sn=﹣当n≥17时，an＞0，
则数列{|an|}的前n项和Sn=S16+Sn﹣16=
+
=n﹣32n+512，
2
=﹣=32n﹣n；
2
综上，Sn=
．
22．数列{an}中，an=n•2，求Sn．
23n
【解答】解法一：Sn=1•2+2•2+3•2+…+n•2，
234n+1
2Sn=1•2+2•2+3•2+…+n•2，
23nn+1
两式相减可得，﹣Sn=2+2+2+…+2﹣n•2
文案大全
n
实用文档
=﹣﹣n•2
n+1
n+1
化简可得Sn=2+（n﹣1）•2．
nn+1n
解法二、由an=n•2=（n﹣1）•2﹣（n﹣2）•2，
4
可得Sn=[0﹣（﹣1）•2]+[1•8﹣0]+[2•2﹣1•8]+…
nn﹣1n+1n
+[（n﹣2）•2﹣（n﹣3）•2]+[（n﹣1）•2﹣（n﹣2）•2]
n+1
=2+（n﹣1）•2．
23．已知数列{an}中，an=（2n﹣1）•3，求Sn．
n
【解答】解：∵an=（2n﹣1）•3，
23n
∴Sn=3+3×3+5×3+…+（2n﹣1）•3，
234nn+1
∴3Sn=3+3×3+5×3+…+（2n﹣3）•3+（2n﹣1）•3， ∴﹣2Sn=3+2×3+2×3+…+2×3﹣（2n﹣1）•3﹣2n）×3﹣6，
n+1
∴Sn=（n﹣1）×3+3．
24．求数列1，a+a，a+a+a，a+a+a+a，…的前n项和Sn． 【解答】解：由题意知当a=1时，
当a≠1由等比数列的求和公式，得：
=
∴
， ﹣（a+a+…+a
3
2n﹣1
2
2
3
4
3
4
5
6
n+1
2
3
n
n+1
n
=﹣3﹣（2n﹣1）×3
n+1
=（2
， ，
）]，
①当a≠±1时，[]．
②当a=﹣1时，=
当n为奇数时，当n为偶数时，综上，得：当a=1时，
﹣， ． ．
，
文案大全
实用文档
当a=﹣1时，．
当a≠±1时，
25．已知数列{an}中，
[]．
，试求数列{an}的前n项之和Sn．
【解答】解：（1）当n为奇数时，其中有
2
项为偶数项，项为奇数项，（1分）
偶数项是以b1=9为首项，q=3=9 的等比数列， 故偶数项的和
（5分）
奇数项是以c1=2×1﹣1=1 为首项，d=2×2=4 为公差的等差数列， 故奇数项的和则{an}的前n项之和
，（7分）
（n为奇数） （8分）
（2）当n为偶数时，其中有项为偶数项，为奇数项，（9分）
故偶数项的和，（11分）
奇数项的和则{an}的前n项之和
，（12分）
﹣（n为偶数）． （14分）
文案大全
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容