一、选择题（本大题共15个小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求）
1．0的相反数是（ ）
A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. 0
2．如图，形状相同、大小相等的两个小木块放在一起，其俯视图如图所示，则其主视图是（ ）
3．今年我国西南地区发生的严重干旱灾害，牵动着全国人民的心．某学校掀起了“献爱心，捐矿泉水”的活动，其中该校九年级（4）班7个小组所捐矿泉水的数量（单位：箱）分别为6，3，6，5，5，6，9，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A.5，5 B. 6，5 C.6，6 D. 5，6
A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6 B．（a2）3=a6 C．a6÷a2=a3 D．23=﹣6
﹣
5．如果等腰三角形两边长是6和3，那么它的周长是( ) A. 9 B. 12 C. 15或12
D. 15
6．某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成绩与方差S2如下表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（ ） A．30° B．40° C．60° D．70°
8．把不等式组 1
甲 乙 丙 丁 8 S2 1 9 9 8 1 1.2 1.3 x10，的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
x1≤00A．
1101B．
10C．
110D．
19．以方程组 第一象限 A．的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（ ）
B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 10．如图，晚上小亮在路灯下散步，他从A处向着路灯灯柱方向径直走到B处，这一过程中他在该路灯灯光下的影子（ ）
A、逐渐变短 B、逐渐变长 C、先变短后变长 D、先变长后变短
11．如图是小刚的一张脸，他对妹妹说“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼，那么嘴的位置可以表示成（ ）
A．（1，0） B．（﹣1，0 ） C．（﹣1，1） D．（1，﹣1）
12．如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为（ ）
A ． （，） B． （ ， ） C． （，） D． （，）
第13题图 13. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D'处．若AB=3，AD=4，则ED的长为（ ） A.
34 B.3 C.1 D. 2314．如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0＜x≤10，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ） A．B． C． D． 15.已知二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；④若a=1，则OA•OB=OC2以上说法正确的有（ ） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
二、填空题（本大题共6个小题.每小题3分，共18分.把答案填在题中横线上.）
16．因式分解：a2﹣6a+9= ． 17．方程x2﹣2x=0的解为 ． 18.纳米是长度单位，1纳米=10米．
﹣9
米，已知某种植物花粉的直径为35000纳米，那么用科学记数法表示为
a2b218．化简2的结果为 .
aab19．如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时水深为 米．
（19题图） （20题图） （21题图） 20．如图，已知矩形OABC的面积为25，它的对角线OB与双曲线则双曲线的解析式为 ．
21．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2015个正方形的面积为_______
（k＞0）相交于点G，且OG：GB=3：2，
三、解答题（本大题共7个小题.共57分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
22．（7分）（1）计算：（a+b）（a﹣b）+2b2．（2）解方程：
=．
23．（7分）（1）已知，如图①，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE． 求证：AE=CF；
（2）已知，如图②，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A．连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E．连接BE、BD，∠ABD=30°，求∠EBO和∠C的度数．
24．（8分）列方程解应用题
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．那么这两次各有多少人进行捐款？
25.（8分）当今社会手机越来越普及，有很多人开始过份依赖手机，一天中使用手机时间过长而形成了“手机瘾”．为了解我校初三年级学生的手机使用情况，学生会随机调查了部分学生的手机使用时间，将调查结果分成五类：A、基本不用；B、平均一天使用1～2小时；C、平均一天使用2～4小时；D、平均一天使用4～6小时；E、平均一天使用超过6小时．并用得到的数据绘制成了如下两幅不完整的统计图（图1、2），请根据相关信息，解答下列问题：
（1）将上面的条形统计图补充完整；
（2）若一天中手机使用时间超过6小时，则患有严重的“手机瘾”．我校初三年级共有1490人，试估计我校初三年级中约有多少人患有严重的“手机瘾”；
（3）在被调查的基本不用手机的4位同学中有2男2女，现要从中随机再抽两名同学去参加座谈，请你用列表法或树状图方法求出所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的概率．
26．（9分）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
27．（9分）请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及
的值．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及
的值；
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
的值（用含α的式子表示）．
28．（9分）综合与探究：
如图，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q． （1）求点A，B，C的坐标．
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案与解析
一、选择1.D 2.D 3. C 4.B 5.D 6.B 7.A 8. B 9.A 10. A 11. A 12. D 13. A 14. D 15. C
二、填空16. （a﹣3）2． 17. x1=0，x2=2 18. ab9 19. 0.4 20. y 21. 5×ax（）
4028
三、解答题
24、解：设第一次有x人捐款，那么第二次有（x+20）人捐款，由题意，有
=
， （4分）解得x=480． （5分）经经验，x=480是原方程的解．（6分）
当x=480时，x+20=480+20=500． （7分）答：第一次有480人捐款，那么第二次有500人捐款．25、（1）根据题意得：20÷40%=50（人）， 则B类的人数为50﹣（4+20+9+5）=12（人）， 补全条形统计图，如图所示：
；(2分)
（2）根据题意得：
×1490=149（人），
则我校初三年级中约有149人患有严重的“手机瘾”； （4分） （3）列表如下： 男 男 女 女 男 ﹣﹣﹣ （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） ﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） 女 （男，女） （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有12种，其中所选两位同学恰好是一名男同学和一位女同学的情况有8种，
8分） （则P（一男一女）==． （8分）
26、（1）设正比例函数解析式为y=kx，将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x， 同样可得，反比例函数解析式为
； （3分）（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，m），
于是S△OBQ=OB•BQ=×m×m=m2，而S△OAP=|（﹣1）×（﹣2）|=1，所以有，m2=1，解得m=±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）； （6分）
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，
所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值。因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），由勾股定理可得OQ2=n2+
=（n﹣）2+4，
所以当（n﹣）2=0即n﹣=0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值， 所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=
，
+2）=2
+4．（9分）
所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（
27、（1）∵CD∥GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，∴△DPH≌△FGP，∴PH=PG，DH=GF，∵CD=BC，GF=GB=DH，∴CH=CG，∴CP⊥HG，∠ABC=60°，∴∠DCG=120°，∴∠PCG=60°， ∴PG：PC=tan60°=
，∴线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC，
=
； （3分）
（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图2，延长GP交AD于点H，连接CH，
∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，∵AD∥GF，∴∠HDP=∠GFP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP（ASA）， ∴GP=HP，GF=HD，∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，∴∠GBF=60°，∴∠HDC=∠GBF，∵四边形BEFG是菱形，∴GF=GB，∴HD=GB，∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG，∠HCD=∠GCB∴PG⊥PC（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） ∵∠ABC=60°∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°∵∠HCG=∠HCB+∠GCB∴∠HCG=120°∴∠GCP=60° ∴
=tan∠GCP=tan60°=
； （6分）
（3）∵∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°）， ∴∠PCG=90°﹣α，
由（1）可知：PG：PC=tan（90°﹣α）， ∴
=tan（90°﹣α）．
28题：
解：（1）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=8，∵点B在点A的右侧，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．当x=0时，y=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）．（3分） （2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．设直线BD的解析式为y=kx+b，则
解得k=﹣，b=4．∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．∵l⊥x轴，∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣4）．如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形， ∴（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．化简得：m2﹣4m=0，
解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形． 此时，四边形CQBM是平行四边形． （6分）
解法一：∵m=4，∴点P是OB的中点．∵l⊥x轴，∴l∥y轴，∴△BPM∽△BOD，∴∵四边形CQMD是平行四边形，∴DM
CQ，∴BM
=
=，∴BM=DM，
CQ，∴四边形CQBM是平行四边形．
解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则
，
解得k1=，b1=﹣4．故直线BC的解析式为y=x﹣4．
又∵l⊥x轴交BC于点N，∴x=4时，y=﹣2，∴点N的坐标为（4，﹣2）， 由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，﹣6）． ∴MN=2﹣（﹣2）=4，NQ=﹣2﹣（﹣6）=4，
∴MN=QN，又∵四边形CQMD是平行四边形，∴DB∥CQ，∴∠3=∠4， ∵在△BMN与△CQN中，
∴△BMN≌△CQN（ASA）∴BN=CN，∴四边形CQBM是平行四边形． （3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（﹣2，0），Q2（6，﹣4）． 若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：
①以点Q为直角顶点．
此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点． ∵P在线段EB上运动，
∴﹣8≤xQ≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点， 故此种情形不存在． ②以点D为直角顶点．
连接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10， 由勾股定理得：AD=∵AD2+BD2=AB2，
∴△ABD为直角三角形，即点A为所求的点Q． ∴Q1（﹣2，0）； ③以点B为直角顶点．
如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2K⊥x轴于点K，则Q2K=﹣y，OK=x，BK=8﹣x． 易证△Q2KB∽△BOD，
，BD=
，
∴，即，整理得：y=2x﹣16．
∵点Q在抛物线上，∴y=x2﹣x﹣4． ∴x2﹣x﹣4=2x﹣16，解得x=6或x=8， 当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去； 当x=6时，y=﹣4，
∴Q2（6，﹣4）． （9分）
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