矩形、菱形、正方形

◆ 课前热身

1.如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____． AEA′BC D2．如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，sinA32

，则这个菱形的面积= cm． 5

3．如图1，由“基本图案”正方形ABCO绕O点顺时针旋转90°后的图形是 ( )．

AOAOBCBCBACOBCBACOAO 基本图案

图1 A． B． C． D．

4.顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ） A．矩形

B．直角梯形

C．菱形

D．正方形

5．如图，四边形ABCD是平行四边形， 使它为矩形的条件可以是 ．

6． 的平行四边形是是菱形（只填一个)

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◆考点链接

1. 特殊的平行四边形的之间的关系

行

两 平边对平行四边形组一角为直角且一组邻边相等90°矩形为一角邻边相等平行四边形矩形正方形

一组邻边正方形相等菱形一角0°9为菱形四边形只有一组对边平行梯形两腰相等等腰梯形2. 特殊的平行四边形的判别条件

要使 ABCD成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使 ABCD成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ； 要使矩形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ ； 要使菱形ABCD成为正方形，需增加的条件是______ ____ . 3. 特殊的平行四边形的性质

矩形 菱形 正方形 ◆ 典例精析

边 角 对角线 例1如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_____________．

例2 如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC

的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=( )

A.35° B.45° C.50° D.55°

例3如图，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点

O任意作一条直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 ．

A E O D - 2 -

B F C 例4如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，

HAEBFCGD，连接EG，FH，交点为O．

（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；

D H A

G O C F

D H A

G C F

B B E E

图1 图2 图3

（2）将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接

成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HAEBFCGD1cm，则图3中阴影部分的面积为_________cm． 迎考精炼 一、选择题

1.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AOC45°，OC坐标为（ ） A．(21)， y C O

2．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）

A B x B．(1，2)

C．(211)，

D．(1，21)

则点B的2，2A．10cm2

B．20cm2

D C．40cm2 D．80cm2

A C

B

，AB2，则矩形的对角线3.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB60°AC的长是（ ）

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A．2 A B

B．4

D

O C

C．23

D．43

4．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN = EF，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF．你认为（ ） A．仅小明对

B．仅小亮对 C．两人都对 D．两人都不对

5．梯形ABCD中，AD∥BC，AD1，BC4，C70°，B40°，则AB的长为（

）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．如图（1），把一个长为m、宽为n的长方形（mn）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）

A．

mnm B．mn C． 22m n n （2）

D．

n 2n （1）

二、填空题

1.如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm．

A B 2

E D F C

2.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．

A

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D

O B

C

3.我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．若一个四边形

ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是 ．

4.如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．

5．如图，在四边形ABCD中，已知AB与CD不平行，∠ABD＝∠ACD，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出AD∥BC且AB＝CD.

A

O D

B （第5题图）

C

三、解答题

1.如图，在平行四边形ABCD中，AEBC于E，AFCD于F，BD与AE、AF分别相交于

G、H．

（1）求证：△ABE∽△ADF；

（2）若AGAH，求证：四边形ABCD是菱形．

A H G B

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D

F E C

2. 如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。 （1） 求证：BD=CD；

（2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。

3.如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：

(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；

(2)设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

A F E B D C

G

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、DC上，△ABE∽△DEF4.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD，AB6，AE9，DE2，求EF的长．

A

E D F

B

C

5.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．

（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；

（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；

（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

6.在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN． ①求证：△ABN≌△ADN；

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②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =，求点M到AD的距离及tan的值； （2）如图2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

C M

B C N M

B

N D A （图1）

D A

（图2）

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