三角形的等积变形

我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2

这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．

为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底、等高的两个三角形面积相等．

②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．

③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

例1. △ABC的面积是△ABD或△ADE或△AEC面积的3倍

例2. △ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．

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关注成绩，更关心成长！ 例3. △ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．

例4. 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形

方法1：方法2：

方法3：方法4：

例5、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．

方法1： 方法2：

方法3：

当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．

２

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关注成绩，更关心成长！ 例6、如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与△COD面积相等．

例7、如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

解：①连结BD；

②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′． ③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．

例8、如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积。 解法1：连结BD，在△ABD中 ∵ BE=3AE，

∴ S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）． 在△ABC中，∵CD=2AD，

∴ S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）． 解法2：连结CE，如右图所示，在△ACE中， ∵ CD=2AD，

∴ S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）． 在△ABC中，∵BE=3AE ∴ S△ABC=4S△ACE

=4×3=12（平方厘米）．

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关注成绩，更关心成长！ 例9、如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=1/3BC，求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几？4/9

例10、如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．

解：连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；

∴ S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．

例11、如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积。

解：连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1 所以S△CGF=S△DFC=2S1． 同理 S△AEH=2S2，

因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．

同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．

例12、如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积． 解：连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE 又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF

而 S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF ∴ S△ACE=S△BEF ∴S△BEF=S△ADE=1．

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