CAE培训课件三

工程结构或机械的各组成部分，如建筑物的梁和柱、机床的轴，统称为构件。当工程结构或机械工作时，构件将受到载荷的作用，为保证工程结构或机械的正常工作，构件应有足够的能力负担起应当承受的载荷。因此，它应当满足以下的要求： 1）强度的要求 在规定载荷作用下构件当然不应破坏。例如，冲床的曲轴不可折断，储气罐不应爆破。强度要求就是指构件应有足够的抵抗破坏的能力。

2）刚度要求 在载荷作用下，构年即使有足够的强度，但若变形过大仍不能正常工作，例如，若齿轮轴变形过大，将造成齿轮和轴承不均匀磨损，引起噪音。机床主轴变形过大，将影响加工精度。刚度要求就是指构件应有足够的抵抗变形的能力。

3）稳定性要求 有些受压力作用的细长杆，如千斤顶的螺杆、内燃机的挺杆等，应始终维持原有的直线平衡形态，保证不被压弯。稳定性要求就是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。

若构件的横截面尺寸不足或形状不合理，或材料选用不当，将不能满足上述要求，从而不能保证工程结构和机械的安全工作。相反，也不应不恰当地加大横截面尺寸或选用优质材料，这虽满足了上述要求，却多使用了材料和增加了成本，造成浪费。

材料力学的任务就是保证在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法。

1. 1基本概念

1.1.1载荷（load）

也称为力、外力、负荷等，可以分成如下所示的各种类型: 1）根据构件内生成的应力来分类:

拉伸载荷，压缩载荷，弯曲载荷，剪切载荷，扭转载荷。 2）采用理论公式的载荷分类：

轴向力(N)、横向载荷(N)、弯矩(N·m)、扭矩(N·m) 3）按载荷的分布状态分类：

分布载荷（均匀分布和任意分布）

集中载荷（分布载荷的范围相对狭隘情况下的近似） 4）给予坐标的一点的载荷分类（在有限元法中这样的表示很多）：

Fx、Fy、Fz、Mx、My、Mz Fx——为x 轴方向上的载荷； Mx——为绕x 轴转的弯矩载荷 5）由加在构件上的载荷的变化形式分类：

静载荷（不随时间变化的载荷） 图1.1 动载荷（不规则载荷、周期载荷、正弦波载荷、冲击载荷）

图1.2

6）由载荷的作用位置来分类： 表面力（作用于表面的载荷）

物体力（作用于物体体积或质量的载荷，以加速度载荷为代表） 7）由载荷的原因来分类：

自重、压力载荷、水头压力、浮力、系留力、离心力载荷。地震载荷、风载荷、温度载荷、热套、压力。

 （1）与材料力学中理论方面有关的，根据构件内生成的应力来分类；  (2)采用理论公式的载荷分类则是重要的，它们也表示了所对应的构件的中和

轴，载荷作用于那个方向；

 (3)按载荷的分布状态分类在有限元法中进行应力分析时非常重要的；  (4)基于坐标的一点的载荷分类；  (6)由载荷的作用位置来分类；

 (5)由加在构件上的载荷的变化形式分类则是与强度评价方面有关；  (7)由载荷的原因分类，与（5）分类密切相关。 1.1.2 应力(stress)

载荷在构件内部产生的抵抗力就是应力。

应力，为载荷除以构件的剖面面积所得的值，也即单位面积上的力。

应力的记号对于垂向应力是σ（sigma），切应力为τ（tau），通用情况下用s。 应力的种类:

应力分成作用于构件剖面的垂直方向上的法向应力（正应力、拉伸应力和压缩应力：σ）和作用于构件剖面内的斜线方向上的切面应力（剪应力：τ）。

图1.3

在有限元法中，输出单元的法向应力（＋为拉伸应力，一为压应力）和切应力。 1.1.3应变(strain)和位移(displacement)

施加载荷则构件就会变形。把这个变形用应变和位移来说明。

位移——结构体中各点的移动量；

应变——对于原来长度而言位移所占的比例。

图1.4

应变的符号使用ε（Epsilon）,γ（Gamma），位移的符号使用δ（Delta），u,v,w等。

1.2载荷，位移、应变、应力之间的相互关系

只要有载荷存在就有位移、应变、应力的存在，这四种只要有其一存在就会有其他三种存在。

用材料力学能够求出结构的位移、应力，这只限于简单的形状和单一载荷形式。 有限元法能够在现实复杂的机械或结构和任意载荷情况下，求出位移、应变、应力，给出应变和位移能够求出应力。

图1.5

1.3强度理论概述

各种材料因强度不足引起的失效现象是不同的。塑性材料，如普通碳钢，以发生屈

服现象，出现塑性变形为失效的标志。脆性材料，如铸铁，失效现象则是突然断裂。在单向受力情况下，出现塑性变形时的屈服极限σS和发生断裂时的强度极限σb，可由实验

σS和σb可统称为失效应力。测定，以安全系数除失效应力，便得到许用应力[σ]，于是

建立强度条件

σ[σ]

可见，在单向应力状态下，失效状态或强度条件都是以实验为基础的。 实际构件危险点的应力状态往往不是单向的。实现复杂应力状态下的实验，要比单向拉伸或压缩困难得多。常用方法是把材料加工成薄壁圆筒(图1.6)，在内压p作用下，筒壁为二向应力状态。如再配以轴向拉力F，可使两个主应力之比等于各种预定的数值。这种薄壁筒试验除作用内压和轴力外，有时还在两端作用扭矩，这样还可得到更普遍的情况。此外，也还有一些实现复杂应力状态的其他实验方法。尽管如此，完全复现实际中遇到的各种复杂应力状态，并不容易。况且，复杂应力状态中应力组合的方式和比值，又有各种可能。如果像单向拉伸一样，靠实验来确定失效状态，建立强度条件，则必须对各式各样的应力状态一一进行试验，确定失效应力，然后建立强度条件。由于技术上的困难和工作的繁重，往往是难以实现的。解决这类问题，经常是依据部分实验结果，经过推理，提出一些假说，推测材料失效的原因，从而建立强度条件。

图1.6

事实上，尽管失效现象比较复杂，但经过归纳，强度不足引起的失效现象主 要还是屈服和断裂两种类型。同时，衡量受力和变形程度的量又有应力、应变和应变能密度等。人们在长期的生产活动中，综合分析材料的失效现象和资料，对 强度失效提出各种假说。这类假说认为，材料之所以按某种方式(断裂或屈服)失效，是应力、应变或应变能密度等因素中某一因素引起的。按照这类假说，无论是简单或复杂应力状态，引起失效的因素是相同的。亦即，造成失效的原因与 应力状态无关。这类假说称为强度理论。利用强度理论，便可由简单应力状态 的实验结果，建立复杂应力状态的强度条件。

强度理论既然是推测强度失效原因的一些假说，它是否正确，适用于什么情况，必须由生产实践来检验。经常是适用于某种材料的强度理论，并不适用于另一种材料；在某种条件下适用的理论，却又不适用于另一种条件。

这里只介绍了四种常用强度理论和莫尔强度理论。这些都是在常温、静载荷下，适用于均匀、连续、各向同性材料的强度理论。当然，强度理论远不止这几种。而且，现有的各种强度理论还不能说已经圆满地解决所有强度问题。这方面仍然有待发展。

前面已经提到，强度失效的主要形式有两种，即屈服与断裂。相应地，强度理论也分成两类：一类是解释断裂失效的，其中有最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。另一类是解释屈服失效的，其中有最大切应力理论和畸变能密度理论。现依次介绍如下。

1.3.1最大拉应力理论(第一强度理论)

这一理论认为最大拉应力是引起断裂的主要因素。即认为无论是什么应力状态，只要最大拉应力达到与材料性质有关的某一极限值，则材料就发生断裂。既然最大拉应力的极限值与应力状态无关，于是就可用单向应力状态确定这一极限值。单向拉伸只有σ1（σ2=σ3=0），而当σ1达到强度极限σb时发生断裂。这样，根据这一理论，无论是什么应力状态，只要最大拉应力σ1达到σb就导致断裂。于是得断裂准则 σ1σb 将极限应力σb除以安全因数得许用应力[σ]，所以按第一强度理论建立的强度条件是

σ1[σ] 铸铁等脆性材料在单向拉伸下，断裂发生于拉应力最大的横截面。脆性材料的扭转也是沿拉应力最大的斜面发生断裂。这些都与最大拉应力理论相符。

这一理论没有考虑其他两个应力的影响，且对没有拉应力的状态(如单向压缩、三向压缩等)也无法应用。

1.3.2最大伸长线应变理论(第二强度理论)

这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到与材料性质有关的某一极限值，材料即发生断裂。

ε1的极限值既然与应力状态无关，就可由单向拉伸来确定。设单向拉伸直到断裂仍

可用虎克定律计算应变，则拉断时伸长线应变的极限值应为εu任意应力状态只要ε1达到极限值

ε1σb。按照这一理论，Eσb，材料就发生断裂。故得断裂准则为 Eσb 1.3 E由广义胡克定律： ε11[σ1u(σ2σ3)] E 代入1.1式得断裂准则

σ1u(σ2σ3)σb 1.4 将σb除以安全因数得许用应力[σ]，于是按第二强度理论建立的强度条件是 σ1u(σ2σ3)[σ] 1.5 石料或混凝土等脆性材料受轴向压缩时，如在试验机与试块的接触面上加添润滑剂，以减小摩擦力的影响，试块将沿垂直于压力的方向裂开。裂开的方向也就是ε1的方向。铸铁在拉一压二向应力，且压应力较大的情况下，试验结果也与这一理论接近。不过按照这一理论，如在受压试块的压力的垂直方向再加压力，使其成为二向受压，其强度应与单向受压不同。但混凝土、花岗石和砂岩的试验资料表明，两种情况的强度并无明显差别。与此相似，按照这一理论，铸铁在二向拉伸时应比单向拉伸安全，但试验结果并不能证实这一点。对这种情况，还是第一强度理论接近试验结果。

1.3.3 最大切应力理论(第三强度理论)

这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。单向拉伸下，当与轴线成45°的斜截面上的τmaxσS时（截面上的正应力为σS）出现屈服。2σ可见，S就是导致屈服的最大切应力的极限值。因为这一极限值与应力状态无关，任

2意应力状态下，只要τmax达到 τmax于是得屈服准则

σS就引起材料的屈服。任意应力状态下， 2(σ1σ3) 1.6 2(σ1σ3)σS 1.7 22或

(σ1σ3)σS 1.8

将σS换为许用应力[σ]，得到按第三强度理论建立的强度条件

σ1σ3[σ] 1.9 最大切应力屈服准则可以用几何的方式来表达。二向应力状态下，如以σ1和σ2表示两个主应力，且设σ1和σ2都可以表示最大或最小应力(即不采取σ1>σ2的规定)，当σ1和σ2符号相同时，最大切应力应为

σ1/2或σ2/2于是最大切应力屈服准则成为

σ1σS 或 σ2σS 1.10

在以σ1和σ2为坐标的平面坐标系中(图1.7)，σ1和σ2符号相同应在第一和第三象限。以上两式就是与坐标轴平行

的直线。当σ1和σ2符号不同时，最大切应力是1/2|σ1-σ2|，屈服准则化为

|σ1-σ2|=σS 1.11 图17 这是第二和第四象限中的两条斜直线。所以在σ1σ2平面中，最大切应力屈服准则是一个六角形。若代表某一个二向应力状态的M点在六角形区域之内，则这一应力状态不会引起屈服。材料处于弹性状态。若M点在区域的边界上，则它所代表的应力状态适足以便材料开始出现屈服。

最大切应力理论较为满意地解释了塑性材料的屈服现象。例如，低碳钢拉伸时，沿与轴线成45°的方向出现滑移线，是材料内部沿这一方向滑移的痕迹。沿这一方向的斜面

上切应力也恰为最大值。二向应力状态下，几种塑性材料的薄壁圆筒试验结果表示于图1.8中。图中以σ1/σs和σ2/σs为 图1.8

坐标，便可把几种材料的试验数据绘于同一图中。可以看出，最大切应力屈服准则与试验结果比较吻合。代表试验数据的点落在六角形之外，说明这一理论偏于安全。

1.3.4 畸变能密度理论(第四强度理论)

这一理论认为畸变能密度是引起屈服的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要畸变能密度v。达到与材料性质有关的某一极限值，材料就发生屈服。单向拉伸下，屈服应力为s，相应的畸变能密度求出为

1(2s2)。这就6E是导致屈服的畸变能密度的极限值。任意应力状态下，只要畸变能密度d。达到上述极限值，便引起材料的屈服。故畸变能密度屈服准则为

d1(2s2) 1.12 6E在任意状态下，可知

d1[(12)2(23)2(31)2] 1.13 6E代入1.10式，整理后得屈服准则为：

1[(12)2(23)2(31)2]s 1.14 2在图1.6中，上列屈服准则为一椭圆形曲线。把σs。除以安全因数得许用应力[σ]，于是，按第四强度理论得到的强度条件是

1[(12)2(23)2(31)2][] 1.15 2几种塑性材料钢、铜、铝的薄管试验资料表明，畸变能密度屈服准则与试验资料相当吻合(图1.8)，比第三强度理论更为符合试验结果。在纯剪切的情况

下，由屈服准则(1.13)得出的结果比(1.11)的结果大15％，这是两者差异最大的情况。 综合公式(1.2)，(1.5)，(1.9)，(1.15)，可把四个强度理论的强度条件写成以下统一的形式：

σ1[σ] 1.16

式中σ1称为相当应力。它由三个主应力按一定形式组合而成。按照从第一强度理论到第四强度理论的顺序，相当应力分别为

σr1σ1σr2σ1u(σ2σ3) 1.17 σr3σ1σ31222σr4[(σ1σ2)(σ2σ3)(σ3σ1)]2 以上介绍了四种常用的强度理论。铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，通 常以断裂的形式失效，宜采用第一和第二强度理论。碳钢、铜、铝等塑性材料，通 常以屈服的形式失效，宜采用第三和第四强度理论。

应该指出，不同材料固然可以发生不同形式的失效，但即使是同一材料，在 不同应力状态下也可能有不同的失效形式。例如，碳钢在单向拉伸下以屈服的 形式失效，但碳钢制成的螺钉受拉时，螺纹根部因应力集中引起三向拉伸，就会 出现断裂。这是因为当三向拉伸的三个主应力数值接近时，由屈服准则(7．30) 或(7．32)看出，屈服将很难出现。又如，铸铁单向受拉时以断裂的形式失效。但 如以淬火钢球压在铸铁板上，接触点附近的材料处于三向受压状态，随着压力的 增大，铸铁板会出现明显的凹坑，这表明已出现屈服现象。以上例子说明材料的 失效形式与应力状态有关。无论是塑性或脆性材料，在三向拉应力相近的情况． 下,都将以断裂的形式失效,宜采用最大拉应力理论.在三向压应力相近的情况下,都可引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论.

二、CAE的基础知识

2．1 CAE的基本概念

一项工业产品或工程设计，作为任务交给工程师时，一般应考虑确保产品性能指标、保证产品的可靠性、使用寿命和最大限度降低成本等内容。

传统工程结构的分析与计算一般依据材料力学、理论力学和弹性力学所提供的公式来进行。在计算机问世以前，由于有许多简化条件，工程计算精度较低。为了保证设备的安全可靠运行，常采用加大安全系数的方法，导致结构尺寸过大，不但浪费材料，有时还会造成结构性能的降低。

现代产品的设计与制造正朝着高效、高速、高精度、低成本、节省资源和高性

能等方面发展，传统的计算分析方法远远无法满足要求。近20年来，随着计算机技术的发展，出现了计算机辅助工程CAE(Computer Aided Engineering)这一新兴学科。采用CAE技术，即使在进行复杂的工程分析时也可无须作很多简化，并且计算速度快、精度高。常见的工程分析包括：对质量、体积、惯性力矩和强度等的计算分析；对产品的运动精度，动、静态特征等的性能分析；对产品的应力、变形、安全性及寿命的分析等。

CAE是一个很广的概念，从字面上讲它可以包括工程和制造业信息化的所有方面，其特点是以工程和科学问题为背景，建立计算模型并进行计算机仿真分析，对工程和产品进行性能与安全可靠性分析，对其未来的工作状态和运行行为进行模拟，及早发现设计中的不足，并证实未来工程、产品功能和性能的可用性与可靠性。工程和制造企业的生命力在于工程和产品的创新，而实现创新的关键，除了设计思想和概念之外，最主要的技术保障，就是采用先进可靠的CAE软件。

CAE软件可以分专用和通用两类，针对特定类型的工程或产品所开发的用于产品性能分析、预测和优化的软件，称为专用CAE软件；可以对多种类型的工程和产品的物理、力学性能进行分析、模拟、预测、评价和优化，以实现产品技术创新的软件，称为通用CAE软件。

CAE是早期发展起来的矩阵和有限元分析方法的延伸。计算技术是CAE技术的基础，计算机硬件和软件的发展对CAE各方面的发展有明显的影响，CAE与计算力学、计算数学、工程科学、工程管理学、现代计算技术等多个学科相关，是在多学科基础上形成的一种综合性和知识密集型的信息产品。

目前CAE的发展包括计算材料建模，对结构及其部件的响应，性能、破坏与使用寿命进行预测的计算方法，结构合成与优化的自动化方法等多个方面。 CAE的结构有限元分析的理论与方法的应用一般包括5步： (1)观察事物响应的物理现象：

(2)建立计算模型以便对这些现象进行数值仿真； (3)发展并集合硬件和／或软件来实现计算模型； (4)后处理并解释计算模型的结果；

(5)利用计算结果分析并进行结构优化设计。

正确的结构计算模型的建立应基于对被模拟的物理力学现象的深刻理解，有限元方法正是这种计算模型的代表性体现。以有限元方法为基础，并以后续发展的多种数值分析方法为依据，CAE的应用领域越来越广泛，已应用于机械、土木、航空航天、材料分析、电子等多个工程领域。

实践证明，CAE技术的应用，使许多过去受条件限制无法分析的复杂工程问题，通过计算机数值模拟得到满意的解答。计算机辅助分析使大量繁杂的工程分析问题简单化，使复杂的过程层次化，节省了大量的时间，避免了低水平重复的工作，使工程分析更快、更准确，在产品的设计、分析、新产品的开发等方面发挥了重要作用。此外，由于CAE这一新兴的数值模拟分析技术在国内外的迅猛发展，同时也推动了许多相关的基础学科和应用科学的进步。

2．2 CAE发展历史

计算机技术的高速发展极大地推动了相关学科研究和产业的进步。有限元、有限条、有限体积及有限差分等方法等与计算机技术的结合，诞生了新兴的跨专业和跨行业的学科分支；CAE作为一项跨学科的数值模拟分析技术，越来越受到工程技术人员的重视。现在，国外在科学研究和工业化应用方面，CAE技术已达到了较高的水平，许多大型的通用分析软件已相当成熟并商品化，计算机模拟分析不仅在科学研究中普遍采用，而且在工程上已达到了实用化阶段。

美国于1998年成立了工程计算机模拟和仿真学会(Computer Modeling and Simulation inEngineering)，其他国家也成立了类似的学术组织。近年来各国都在投入大量的人力和物力，对CAE技术进行研究和软件开发，同时也十分注重专业人才的培养。各行业中大批掌握CAE技术的科技队伍推动了CAE技术的研究和工业化应用，CAE技术在国外已经广泛应用于不同领域的科学研究，并普遍应用于实际工程问题，在解决许多复杂的工程分析方面发挥了重要作用。

国外对CAE技术的开发和应用真正得到高速的发展和普遍应用则是近20年来的事。这一方面主要得益于计算机在高速化和小型化方面取得的成就，另一方面则有赖于通用分析软件的推出和完善。早期的CAE分析软件一般都是基于大型计算机和工作站开发的，近年来由于PC机性能的提高，使采用PC机进行分析成为可能，促使许多CAE软件被移植到PC机上应用，这对CAE技术的推广应用

起了重要的作用。

CAE分析起始于20世纪50年代中期，而真正的CAE软件则诞生于70年代初期，直到80年代中期的十多年间，CAE软件处于独立成长阶段，主要是扩充和完善基本功能、算法和软件结构，到80年代中期，逐步形成了商品化的通用和专用CAE软件。到目前为止，CAE的发展经历了不到50年的时间，并可以分为5个阶段，前4个阶段为8～12年一阶段，第5阶段则是近年来的事。

第1阶段(1950～1960)年，航空工业的发展促进了有限元程序的发展。早期的程序大多基于力法理论进行开发，并用来对静不定结构进行分析，后来经过研究人员的努力开发出基于位移法理论的简单二、三维有限元法程序。在这个时期，人们主要致力于有限元基本理论与算法的研究，在有限元单元库的发展方面进行了大量的工作。

第2阶段，人们开始致力多功能通用有限元程序的开发，如具有多种用途的有限元软件NASTRAN、SAKA、ANSYS、STARDYNE、MARC、SAP、SESAM和SAMCEF在美国及欧洲已经公开使用，国产有限元分析软件有JIGFEX、DDJ、HAJIF与MAC软件系统等。这些程序在可用性、可靠性和计算效率上已经基本成熟，为大量的商业有限元软件系统的开发提供了坚实的基础。就软件结构和技术而言，这些CAE软件基本上是用结构化软件设计方法，采用FORTRAN语言开发的结构化软件，其数据管理技术尚存在一定缺陷；它们的运行环境仅限于当时的大型计算机和高档工作站。这一阶段技术的发展则包括以应力和位移为基本未知量参数的混合交叉有限元模型的研究；为处理大规模问题而求解代数方程、特征值问题、子结构化、模型合成技术的高效数值算法的研究。有限元方法在线性、静态问题上成功应用的同时进一步应用在非线性及瞬态响应问题上。

第3阶段包括优化CAE商业软件代码，并对这些软件开发的相关技术进行深入研究，如用于断裂力学的分析方法与有限元技术、边界元技术的发展、有限元和其他分析技术的结合等。特别重要的是，在这一阶段，前处理、后处理软件及CAD系统的发展使CAE软件设计更为完善。 第4阶段则包括CAE软件为适应计算机系统的进一步改进(向量、多

重处理器、并行机)，发展了适应新型计算机的高效计算方法与数值算法；在工作站与PC机上CAE软件得到了推广和应用；许多CAE有限元软件在分析能力上得到大大的加强，其中包括程序系统中材料模型模拟功能的发展。在通用CAE软件得到迅速发展的同时，专用的CAE软件和特定的工程或产品应用软件相连接，开发出相当多的CAE专用软件。

第5阶段开始于20世纪90年代中期。这一阶段的主要发展是将CAE与其他模拟软件集成到CAD／CAE／CAM系统中并形成一个完整、方便的实用产品。CAE向智能化方向发展，如在技术发展方面有：自动的有限元划分网格、面向对象的工具以及数据库和用户接口的发展等。面向对象的界面可使用户迅速通过CAE软件完成对产品的分析与优化设计。

在这～阶段，计算环境也得到了迅速的发展，如分时计算与并行计算等，这些都促进了CAE软件的迅速发展。近10年国际上知名的CAE软件在单元库、材料库、前后处理，特别是用户界面和数据管理技术等方面都有了巨大的发展。

值得说明的是，近15-20年是CAE软件商品化的迅速发展阶段，CAE开发商为满足市场需求和适应计算机硬、软件技术的迅速发展，在大力推销其软件产品的同时，对软件的功能、性能，特别是用户界面及前、后处理能力，进行了大幅度扩充；对软件的内部结构和部分软件模块，特别是数据管理和图形处理，进行了重大的改造。新增的软件大都采用了面向对象的软件设计方法和C++语言设计，个别子系统则是完全使用面向对象软件方法开发的软件产品。这就使目前市场上知名的CAE软件，在功能、性能、可用性、可靠性以及对运行环境的适应性等方面得到了极大的提高。这些CAE软件可以在超级并行机，分布式微机群，大、中、小、微各类计算机和各种操作系统平台上运行。

CAE软件发展的另一个重要特征，就是随着计算机及计算技术的飞速发展，出现了对开发对象的自动有限元离散及有限元分析结果的计算机可视化显示软件开发的热潮，使有限元分析的“瓶颈”问题得至逐步解决；这些重要的进步体现在分析对象的有限元离散从手工到半自动至全自动；从简单对象的一维单一网格到复杂对象

的多维多种网格单元；从单材料到多种材料；从固定的离散到自适应离散；从对象的性能人工校核到结构自动自适应动态设计与分析，并进一步进行优化设计。这些重大发展使CAE软件有限元分析摆脱了单纯性能计算与校核的低级分析阶段，现代CAE软件计算结果的计算机可视化显示，由从简单的应力、位移和温度等场的静动态显示、彩色调色显示到对结构内部可能出现缺陷(裂纹等)的位置、形状、大小及其可能波及区域的显示等方面，这种从抽象数据的阅读到计算机形象化显示的飞跃是CAE软件发展的一个重要飞跃。

就CAE技术的工业化应用而言，西方发达国家目前已经达到了实用化阶段。通过CAE与CAD、CAM等技术的结合，使企业能对现代市场产品的多样性、复杂性、可靠性和经济性等做出迅速反应，增强了企业的市场竞争能力。在许多行业中，CAE分析已经作为产品设计与制造流程中不可逾越的一种强制性的工艺规范加以实施。例如，以国外某些大汽车与航空公司为例，绝大多数的汽车与航空飞行器零部件设计都必须经过多方面的计算机仿真分析，否则不能通过设计审查，更谈不上试制和投入生产。计算机数值模拟现在已不仅仅作为科学研究的一种手段，在生产实践中也已作为必备工具而普遍应用。

21世纪是信息和网络的时代。随着计算机技术向更高速和更小型化的发展以及分析软件的不断开发和完善，CAE技术的应用将越来越广泛并成为衡量一个国家科学技术水平和工业现代化程度的重要标志。大力推进我国CAE技术的科学研究和工业化应用势在必行。

通过多年的不懈努力，我国在CAE仿真分析方面也取得了长足进步，建立了自己的CAE科技队伍，在许多领域开展了CAE技术的研究和应用，并发展了具有自主知识产权的CAE软件产品。目前我国已经拥有一批科技人员在从事CAE技术的研究和应用，取得了大量研究成果和应用经验，使我们在CAE技术方面紧跟现代科学技术的发展。同时，国外一些大型通用有限元分析软件也已经引入我国，在汽车、航空、机械和材料等许多行业得到了成功应用，在某些领域已有较高的应用水平。

新的世纪已经来临，在这信息化和网络化的时代，随着计算机技术、CAE软件和网络技术的进步，CAE将得到极大的发展。

硬件方面，计算机将在高速化、小型化和大容量方面取得更大进步。可以预见，不久的将来，PC机将在运行速度和存储容量以及计算精度(位数)方面将得到进一步的提高，这将为CAE技术的普及创造更好的硬件基础，促进CAE技术的工业化应用。 软件方面，现有的计算机仿真分析软件将得到进一步的完善。大型通用分析软件的功能将越来越强大，界面也将越来越友好，涵盖的工程领域将越来越普遍。同时，适用于某些专门用途的专用分析软件也将受到重视并被逐步开发完善起来。各行各业都将会有适用于各自领域的计算机仿真分析的CAE软件。

网络化时代的到来也将为CAE技术的发展带来不可估量的促进作用。现在许多大的软件公司已经采用互联网对用户进行CAE软件服务，并对在分析过程中遇到的困难提供技术支持。随着互联网技术的不断发展和普及，通过网络信息传递，不仅是某些技术难题，甚至全面的CAE分析过程都有可能得到专家的技术支持，这必将在CAE技术的推广应用方面发挥极为重要的作用。

中国加入WTO后，我国的工业产品已不再可能依靠政府来保护自己的市场，必须与国际接轨。面对国际市场，工业界必须对市场需求做出迅速反应，缩短工程设计周期，优化产品和节省造价，保证产品质量，才能赢得市场。为此，在产品的设计制造过程中应用CAD、CAE和CAM等技术是最好的选择，这已经成为国际上科技界和工业界的共识。过去长期沿用的那些静态的、孤立的、繁杂的、不准确的、甚至有时只能凭经验进行才设计和分析方法必然将被淘汰。工业界要想在激烈的国际市场竞争中占有一席之地，就必须跟上现代科学技术的发展，对CAE技术予以足够的重视。

作为世界上发展最快的一个发展中国家，CAE技术水平的提高将对增强我国工业界的竞争能力，发展国民经济发挥重要作用。因此，必须加大对CAE技术的投入，加快开发自己的计算机分析软件，培养一批掌握CAE技术的人才。针对我国工业界，特别是中小企业的CAE技术还较为落后，缺乏专门人才的实际情况，如何利用飞速发磊的互联网技术将我们的人才和资源充分发挥出来为企业服务，是在CAE技术发展中值得重视的问题。教育界和工业界应该携起手来为CAE技术的研究开发、人才培养和工业化应用而共同努力。

2.3 ＣＡＥ技术应用场合

2.3.1结构和载荷都是简单的情况

拉伸一直径和剖面面积都一样的棒，则产生一样的应力和变形。即使不用CAE 根据材料力学的理论公式也能算出应力和变形。

图2.1

2.3.2 结构形状稍稍复杂的情况

拉伸一具有圆孔的平板或具有台阶的圆棒，在孔的周围或台阶附近应力就会变大，对于这种形状，应力则集中在孔的周围。这种现象称为应力集中。

图2.2

图2.3

2.5.3结构形状和载荷都是复杂的情况

大多数的产品和结构都是这种情况，对于具有复杂形状的结构和机械施加载荷，则会产生复杂的应力分布和变形。

通常对工业产品和结构来说，复杂的情况占大多数。然而，只要利用CAE 技术，不管怎样复杂的形状也不管怎样复杂的载荷都能算出应力和变形。

图2.4

三、有限元分析的基础理论与方法

3．1 引言

有限元分析方法是分析工程问题的重要技术之一，该方法已被广泛应用于工程问题的分析当中。从力学分析问题的角度来看，已在弹性静力学问题、动力学问题、弹塑性与接触力学、蠕变、疲劳与断裂力学、流体力学和热力学等领域得到成功的应用。

有限元法是20世纪60年代以来发展起来的工程问题计算的数值计算方法，是计算机时代的产物。虽然有限元的概念早在20世纪40年代就已经提出，但由于当时计算条件的限制，并未受到人们的普遍重视。随着计算机技术的发展，有限元法在各个工程领域，如机械、土木、航空航天、核工业、机电、化工、建筑和海洋等众多的行业中得到应用，成为工业产品动、静、热、电磁等力学与物理特性分析的重要手段。早在20世纪70年代初期人们就已经意识到，有限元法在工业产品结构设计中的应用，使工业产品设计产生革命性的变化，由传统的大量依赖于经验设计的简化方法过渡到以良好数值分析理论为基础的精确性较高的方法。今天，有限元法仍在不断发展，理论上不断完善，各种有限元分析CAE程序系统的功能越来越强大，使用越来越方便，其功能与所研究问题的范围也已从传统的力学领域扩展到物理、化学、材料、生物和电子等众多的工程领域。

虽然力学分析中弹性理论的成熟可以追溯到19世纪，但有关矩阵结构分析的方法则是在其后很长时间才形成，在今天看来这应是有限元法产生的前奏。但其发展速度非常缓慢，其原因主要是受计算技术上的限制。如对下式所示具有多个未知数的线性方程组的求解。

写成矩阵形式

其中

在计算机出现以前，人们只能求解有限（n值较小)个未知数的代数联立方程组，当方程未知数个数n较大时，方程的求解几乎是不可能的。因此这一时期工程师们的注意力主要花费在简单的结构计算，如平面桁架与框架问题上，而且所采用的一般都是较为适合手工计算的方法，在力学分析中称为力法。到1932年Hardy Cross提出了刚架分析的力矩分配法，结构分析的数值方法才有了较大的发展，能计算较为复杂的一类结构。力矩分配法在国际上大约统治了20多年，但其求解问题的规模与复杂程度与今天的状况相比仍非常有限。

电子计算机虽然在20世纪40年代后期出现，但其在理论上与实际应用中的重要性并不是立即就为力学工作者所接受。电子计算机在力学中的广泛应用与两个非常重要的开创性工作有关，20世纪50年代中期，在西欧以Argris为代表、在美国以Clough为代表，对结构力学有限元分析的计算机实现做出了巨大推动，这是有限元法确立的主要标志，因此人们一般认为有限元法由此开始。但是，有限元法中的一些关键性要点由Couraut在1943年的论文中表述，即尝试应用定义在三角形区域上的分片函数的最小势能原理来求解Saint-venaIlt扭转问题，当时的提法并不仅局限于结构分析，因而其工作的科学意义更为重要。 ．

有限元法是将连续体离散化的一种近似方法，其理论基础是变分原理、连续体剖分与分片插值。即首先找到对所求解的数学物理问题的变分表示，对于固体力学问题而言是写出其总能量表示式，然后将问题的求解区域剖分成有限个小单元的集合，在单元内用分片插值表示物理函数的分布，求解离散后的代数方程得到物理函数的数值解。20世纪60年代，Besseling、Melosh和Jones等人证明了有限单元法是基本变分原理Ritz法的另一种形式，从而使Ritz法分析中的理论成果适用于有限元法，由此确定了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。

有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较

简单的)近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件)的整体方程，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，原因是实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元法不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用，例如用多边形(有限个直线单元)逼近圆来求得圆的周长，但作为一种方法而被系统提出，则是上个世纪的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性，从而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

作为对有限元法的理解，以二维连续体问题为例，如图2．1所示。可以用点、线、面 将其分成有限个三角形或四边形的集合，在每个单元体上选择有限个节点并在每个节点上 选定有限个待求的广义节点位移，然后在每个单元上以选定的全部节点上的节点广义位移 为参数近似的插值整个单元上的连续位移，进而将插值位移代入能量表达式，运用变分原理得到以广义节点位移为未知量的离散化有限元方程组，求解该有限元方程组得到每个节点上的广义节点位移，再在每个单元上使用节点广义位移插值求得各种欲求的物理量，例如位移、应变和应力等。

图3.1

有限元法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。20世纪60年代Clough形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一种局部化情况。不同于求解(往往是困难的)满足整个定义域边界条件的允许函数的Rayleigh Ritz法，有限元法将函数定义在简单几何形状(如二维问题中的三角形或任意四边形)的单元域上(分片函数)，且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

20世纪50年代中叶以后，在有限元分析发展中有几个重要的阶段，这些可以从Zienkiewitz等的总结性文章中看到。首先在杆件及平面应力(应变)问题中得到发展，接着很快建立了块元、板弯曲元、薄壳元、厚壳元以及其他形式的单元。当这些单元在线性静弹性问题中确立之后，又发展到了动力反应、稳定性、材料或几何非线性问题等各方面。只有有限元理论及其公式表示自然是远远不够的，重要的且最终的目的是将具体的问题计算出来，为工程实际所用。因此，随着有限元分析的发展，出现了计算机有限元通用程序的大发展阶段，以便将理论方面的成果交到实际工作者手中。

几十年来，有限元法经历了诞生、发展和完善3个时期，到目前为止，有限元法在算法的通用性方面已达到了很高的程度，不但在功能方面有相当广泛的覆盖面，且可用于对各种材料组合和几何拓扑结构问题的求解。就有限元法形态而言，除了最早诞生的基于极小势能原理的位移有限元模式外，还发展了基于余能原理的应力平衡模式的有限元法，基于广义势能原理的位移杂交模式有限元法，基于广义余能原理的应力杂交模式有限元法，基于H—W(胡海昌一鹫津久)混合变分原理的混合有限元模式，以及各种各样的特殊的有限元法形式，如边界有限元法、有限条法、无限元法、有限元线法、有限体积法、离散元法、半解析有限元法及综合有限元法等(近年来发展的无网格方法也是有限元研究的进一步发展)。这些名目繁多的有限元模式和方法形态的出现，极大地提高了有限元法求解各类科学和工程问题的能力和效率。但是在现有的有限元法中，最实用、最有效、灵活性最强的仍然是最早发展起来的基于最小势能原理的位移有限元法。

早期的有限元法是针对求解固体力学的静力平衡问题而发展起来的，现代有限元法已包括了分析问题的众多方面，如进一步发展的拟静态、瞬态有限元法等。但主要的有限元模式和方法形态都是针对静平衡问题的，因而静态有限元法是各种有限元法的基础，瞬态有限元法是静态方法的直接推广和发展，不同的是增加了如何处理时间离散化方程的算法。对于动态问题而言，提高计算效率、在时间域内选择适当的时间步长一直是研究人员感兴趣的问题之一。

对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法求解的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和求解运算不同。有限元法求解问题可以分为以下几个方面：

 工程求解问题及求解域定义与模型化：根据实际问题近似确定求解域的物理

性质和几何区域，对要分析的问题进行模型化。

 分析问题的理论与确定数值模型：一个具体的要分析的物理问题通常可以用

一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式，也可以直接采用Galerkin离散的方式进行离散。在此基础上，推导出具有离散形式的有限元求解方程，即建立有限元分析单元刚度矩阵、质量矩阵和荷载向量等，视具体问题而确定。为保证问题求解的收敛性，单元推导应遵循一定的原则。

 有限元分析前处理建模与网格剖分，生成分析数据：基于计算机结构模型生成

功能，将工程问题的求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网格划分。显然单元越小(网格越细)则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量也将增大，由于有限元分析前处理建模与网格剖分已成为有限元分析求解效率最关键的因素之一，因此已成为众多CAE软件的核心技术之一。

 有限元分析技术：其中包括矩阵组装技术与联立方程组求解技术等多个方面。

这部分技术与有限元分析计算机数据及计算效率有关，在有限元法的发展初期受到广泛的重视。近年来，随着网络分布式与并行计算技术的发展，该问题的研究进入了新的阶段。

 有限元分析结果的处理：主要是对各类有限元计算结果进行计算机数据输出、

图形显示和打印等。对计算结果进行分析处理，获得必要的结论。

简言之，有限元分析可分成3个步骤，前处理、力学计算和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。力学计算则是通过基于力学理论建立的数值方法进行问题的数值计算，构成CAE软件的内核。

3.2有限元法的基本思路

有限元法的基本思路：“化整为零，积零为整”。

首先，将表示结构的连续体离散为若干个子域（单元），在每个单元中设定有限多个节点，将连续体看作是只在节点处相连接的一组单元的集合体；

然后选定场函数的节点值作为基本未知量，并在第一单元中假设一个近似的插值函数（形函数）以表示单元中场函数的分布规律；进而利用力学中的变分原理建立用以求解节点未知量的有限元法方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题。求解结束后，利用解得的节点值和设定的插值函数确定单元上以至整个集合体上的场函数。

最后，通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件）等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场变量函数的结点值）的代数方程组或常微分方程组，应用数值方法求解，从而得到问题的解答。

图3.2

有限元法起源于结构分析理论，近年来由于它的理论与公式逐步改进和推广，不仅在结构理论本身范围内由静力分析发展到动力问题、稳定问题和波动问题，由线性发展到非线弹性和塑性，而且该方法已经在连续体力学的-些场问题中得到应用，例如热传导、流体力学、电磁场等领域中的问题。

图3.3

3.3有限元的常用术语

3.3.1有限元模型

是真实系统理想化的数学抽象。有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

图3.4

图3.5 进行有限元分析的完整的有限元模型

3.3.2 单元

结构的网格划分中的每一个小的块体称为一个单元。常见的单元 类型有线单元、三角形单元、四边形单元、四面体单元、六面体单元。由于单元是组成有限元模型的基础，因此，单元的类型对于有限元分析是至关重要的。

图3.6 常用单元的形状

3.3.3 节点

相邻单元的连接点，它起到确定单元形状和传递力分量的作用。一般来说，节点的特性是不单独指定的，一旦指定单元属性，网格划分完毕后也就自然指定节点的属性了。

图3.7

节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。

图3.8

3.3.4载荷

包括边界条件和内外环境对物体的作用。可以分成以下几类： • 自由度约束 • 集中载荷 • 面载荷 • 体载荷 • 惯性载荷

在有限元分析软件中，载荷的含义是广义的，既包括施加到结构外部或内部的力载荷或其它载荷，也包括其边界条件。不同学科中的载荷实例如下：

1.自由度约束：就是给某个自由度(DOF)指定一已知数值 (值不一定是零)。例如：结构分析中的固定位移(零或者非零值)或对称边界上的边界条件对称性边界条件。

图3.9

2.集中载荷 就是作用在模型的一个点上的载荷。例如结构分析中的力和弯矩，热分析中热流率。

3.面载荷 就是作用在单元表面上的分布载荷。

图3.10

4.体载荷 是分布于整个体内或场内的载荷。例如结构分析中的温度载荷，热分析中生热率等。

5.惯性载荷 是由物体的惯性（质量矩阵）引起的载荷，例如重力加速度，加速度，以及角加速度。

图3.11

3.3.5 单元形函数

有限元法仅仅求解节点处的DOF值。单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。

单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。

单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。

图3.12

3.4工程技术人员如何正确的理解有限元分析技术

 将有限元法一个黑箱分析系统

 把作为对象的物体分割成小部分（称这部分为单元）  再输入边界条件（约束、载荷）。  把各个小部分的结构特性用公式近似。

 把这些小的部分组合起来就可得到全部力的平衡方程式。  使用给出的边界条件解出平衡方程式。  从结果求得单元内部的应力、应变、位移等。  有限元法的困难的理论和公式作为黑箱。  用户可以把CAE 系统作为黑箱子来使用。  最重要的是准备适当的输入数据。

 输入数据决定结果。即输入数据的制作方法左右着结果。

图3.13