中考复习讲义 相似三角形综合应用(含答案)

相似三角形综合应用

中考说明

内容 相似三角形 基本要求 了解两个三角形相似的概念 略高要求 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题 自检自查必考点

模型一 角分线模型

1、内角平分线

AAD是ABC的角平分线，则

ABBD ACCDBDC【证明】过C作CE∥AD交直线AB于E.

∵CE∥AD， ∴1E，23 又∵AD平分BAC， ∴12， ∴E3， ∴AEAC， 由CE∥AD可得：∴

ABBDACCD

ABBD， AECDEA123BDC2、外角平分线

BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，则

AABBD ACCDBCD【证明】过C作CE∥AD交直线AB于E.

∵CE∥AD，

1

A2EB34CF1D

∴13，24 又∵AD平分CAF， ∴12， ∴34， ∴AEAC， 由CE∥AD可得：∴

ABBD ACCDABBD， AECD模型二 梯形模型

S△ABE∶S△BEC∶S△DECa2∶ab∶b2∶ab 若AD∶BCa∶b，则S△ADE∶AEBCD

中考满分必做题

考点一 与公共边有关的相似问题

【例1】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于F，

连接FD，若BFA90，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③

△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB，其中相似的为（ ）

AFGBCEDA．①④ 【答案】D

B．①②

C．②③④ D．①②③

【解析】②AE2EFEB，∴DE2EFEB，故△FED∽△DEB

【例2】 如图，矩形ABCD中，BEAC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（ ）

2

DEFCAB1AF2 2【答案】A

A．BF2

B．BF21AF2 3 C．BF21AF2 2 D．BF21AF2 3【例3】 如图，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，DFAB于F，交BE于G，FD、AC的

延长线交于点H，求证：DF2FGFH.

AFBGDECH

【解析】可通过射影定理转化成证明AFBFFGFH，证明BFG∽HFA即可.

【例4】 如图，ABC中，ACB90，CDAB于D，E为BC的中点，DE，AC的延长线交于F．

求证：

ACFA． BCFDFC23AD1EB

【答案】∵CDBC，E为BC中点，∴EDEC，∴12，又∵2B90，3B90，∴

FAAD，又∵33，ACBADC90，13，又∵FF，FCD∽FDA，∴FDCD

3

∴ABC∽ACD，∴

ADACACFA，∴． CDBCBCFD【巩固】在Rt△ABC中，过直角顶点B作斜边AC的垂线BD，取BC的中点E，连接ED并延长交BA的

延长于点F，求证：

FDAB FBBCFAD

BEC【解析】△FAD∽△FDB，

FDADAB FBBDBC

【例5】 如图，在ABC中，AD平分BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，

求证：FD2FBFC．

A12A3EE4BDCFBDCF

【答案】连接AF∵EF垂直平分AD，∴AFDF，∴4DAF，即4又∵41B，23，

∴231B，∵AD平分BAC，∴12，∴3B，又∵CFAAFB，∴CFA∽AFB，∴FA2FCFB．又∵AFDF，∴FD2FBFC

【巩固】如上图，在ABC中，FD2FBFC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，

求证：AD平分BAC．

A12A3EE4BDCFBDCF

4

【答案】连接AF，∵EF垂直平分AD，∴AFDF，∵DF2FCFB，∴AF2FCFB∴

AFFB，FCAF又∵AFCBFA∴AFC∽BFA，∴3B，∵423，4B1，∴23B1，∴12，即AD平分BAC．

【例6】 已知，如图，ABC为等边三角形，DAE120且DAE的两边交直线BC于D，E两点，求

证：BC2BDCE．

AA213DBCEDBCE

【解析】∵DAE120， BAC60，∴1260．又∵360，∴1E60，∴2E，

ABCE∵ABC360，∴ABDACE120∴ABD∽ECA，∴，即BDACABACBDCE，∵ABACBC，∴AB2BDCE．

考点二 与旋转有关的相似问题

BCD90，AD∥BC，BCCD，E为梯形内一点，【例7】 如图，直角梯形ABCD中，且BEC90，

将BEC绕C点旋转90使BC与DC重合，得到DCF，连EF交CD于M．已知

BC5，CF3，则DM:MC的值为（ ） A．5:3 B．3:5 C．4:3 D． 3:4

AEDMFBC

【答案】C．

【例8】 如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，求AG:DF:CE_________.

5

ADADGFBECBGFCE

【答案】连接BD，BF。∵ABBC,BGBEABGCBE，ABBC,BGBE∴ABG≌CBE

∴AGCE∵EFBE,EFBE∴EBF45,BF2BE∵BCCD,BCCD ∴CBD45,BD2BC∴FBDCBE,∴

【例9】 （1）如图1，等边△ABC中，D为AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，

求证：AE∥BC．

（2）如图2，将（1）中的等边△ABC改为以BC为底边的等腰三角形，所作的△EDC改成相似于△ABC，请问：是否有AE∥BC？证明你的结论．

ADEBDBF2∴FBD∽EBC BCBEDFBD2∴AG:DF:CE1:2:1 ECBFADBE

CBC

【答案】（1）由△ACE∽△BCD，得EACACB，故AE∥BC．

（2）由△ACE∽△BCD，得EACBACB，故AE∥BC．

考点三 与三角形有关的相似综合题

△ABC内有一点P，【例10】 如图，过P作各边的平行线，把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形．若

1，2，则△ABC的面积是________． 三个三角形的面积S1，S2，S3分别为1，AFDS1S3BHIS2EPGC

【解析】设△ABC的面积为S，则

S1SS2S6

S3SPDPEHGBHHGGC1，故BCBCBCBC

SS1S2S321122642．

【答案】642

【例11】 如图所示，ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、R分别是直线BA与EF、FE与CD、DC 与AB的交点，S、T、U分别是BC与ED、DE与AF、FA与CB的交点，如果

QP，求证：BC∶AB∶PRCD∶RQEF∶USDE∶STFA∶TU．

PUAUPFTAFTBERCDQRBOECDQ

【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且AB、CD、EF构成一个与PQR相似的三角

形的三边，因而可以考虑通过平移变换将AB、CD、EF集中到一起构成一个与PQR相似的三角形．

如图所示，将CD平移至OE位置，则OE∥CD，且OE=CD，

所以FEOQ，且EO∶QRCD∶QREF∶QP，

因此FEO∽PQR，从而OFEP，且FO∶PREF∶QPAB∶PR． 这说明FO∥AB，且FO=AB，进而FA∥OB，且FA=OB．

又因为CO∥DE，于是COB∽STU，所以BC∶USCO∶STOB∶TU， 注意到CODE，OBFA，故BC∶USDE∶STFA∶TU．

【例12】 已知：ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．

（1）如图l，若ABC为锐角三角形，且ABC45，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FGDCAD；

（2）如图 2，若ABC135，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是_________；

（3）在（2）的条件下，若AG52，DC3，将一个45角的顶点与点B重合并绕点B旋转，

N两点（如图3），连接CF，线段CF分别与线段BM、线这个角的两边分别交线段FG于M，Q两点，若NG段BN相交于P，SS3，求线段PQ的长． 2 7

AAEDAEDBCBQPCGEFD图1CFB图2GFM图3NG

【答案】（1）证明：∵ADB90，ABC45∴BADABC45，∴ADBD

∵BEC90，∴CBEC90∵DACC90，∴CBEDAC ∵FDBCDA90，∴FDBCDA∴DFDC∵GF∥BD

∴AGFABC45，∴AGFBAD∴FAFG，∴FGDCFADFAD

（2）FGDCAD （3）如图，

∵ABC135，∴ABD45∵ADB90，∴DABDBA45，∴ADBD FG2AF2AG2∴∵FG∥BC，∴GDBADAB，∴AFFG∵AG52，FGAF5

∵CD3，由（2）知FGDCAD，∴ADBD2∴BC1，DF3，

∴FDC为等腰直角三角形∴GCDF2DC232 分别过B，N作BHFG于点H NKBG于点K∴四边形DFHB为矩形 ∴HFBD2，BHDF3∴BHHG3，∴BGBH2 3292NK∵sinG ∴NK ∴BK

44NG∵MBNHBG45∴MBHNBK∵MHBNKB90

MHBH∴MBH∽NBK∴∴MH1∴FM1 NKBK∵BC∥FG∴BCFCFN∵BPCMPF，CBFM

AEDBQPFMHNCKG∴BPC≌MPF∴PCPF132 FC22

∵BQCNQF∴BCQ∽NFQ∴∴CQ

CQ2BCCQ，∴ FQ7NFFQ223252∴PQCPCQ FC329936考点四 与相似有关的动点问题

8

AC3，点P从B出发，沿BC方向以2/s的速度移动，【例13】 如图，ABC中，C90，BC8，AB5Q分别从B，C出发，点Q从C出发，沿CA方向也以1/s的速度移动，若P，经过多少时间CPQ与CBA相似？

AQBPCAC3【答案】∵C90，BC8，，设AC3k，AB5k，

AB5∴AC2BC2AB2，

即(3k)282(5k)2，解得k2（负值已舍去） ∴AC6

设经过ts后CPQ与CBA相似．此时BP2t，PC82t，CQt 本题需分两种情况：

（1）当CAB∽CQP时，

CQCPt82t，即，解得t2.4 CACB68（2）当CAB∽CPQ时，

CQCPt82t32，即，解得t． 11CBCA8632综上，当t2.4秒或秒时，CPQ与CBA相似

11

【例14】 如图，在矩形ABCD中，AB12，BC6，点P沿AB边从点A开始向点B以2/秒的速度移动，

Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间点Q沿DA边以1/秒的速度从点D开始移动，如果P，(0≤t≤6)．

（1）当t为何值时，QAP为等腰直角三角形？

（2）求四边形QAPC面积，提出一个与计算结果相关的正确结论． （3）当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与ABC相似．

DQCAPB 【答案】（1）当QAP为等腰直角三角形时，APAQ，

∴2t6t，t2

9

11（2）S四边形QAPCSQACSAPC(6t)122t636，即四边形QAPC的面积为定值．

22（3）分2种情况

APBA2t①当APQ∽BAC时，2，即2，解得t3．

AQBC6tAQBA6t6② 当AQP∽BAC时，2，即2，解得t．

APBC2t56综上当t3或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与ABC相似．

5中考满分必做题

【例1】 如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．若过A，D，C

三点的圆O的半径为3，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，则DP的长为_________．

C P2 C A A B O D B P1

∴∠BCD＝∠B，∴DB＝DC．又∵在Rt△ACD中，【解析】∵∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝120°－90°＝30°

DC＝AD·sin30°＝3，∴DB＝3．①过点D作DP1∥OC，交BC于点P1，则△P1DB∽△COB，∴

DP1DBDB33×3＝＝．∵OB＝OD＋DB＝23∴DP1＝·OC＝②过点D作

OCOBOB223D DP2⊥AB，交BC于点P2，则△BDP2∽△BCO，∴

DP2BD＝．∵BC＝BO2－OC2＝OCBC(23)2－(3)2＝3 ∴DP2＝

【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A

重合），过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN．连接AN并延长交x轴于点B，连接ON．设OQ＝t，△BMN与△MON相似时，则△BMN的面积为_____________．

BD3×3＝1 ·OC＝

BC3 10

y y P A N O Q P A N H M B 图2 x 1Q 9M B O 【答案】或925x 2t－2t2BMNMt2【解析】当0＜ t ≤1时，如图1．若△BMN∽△MON，则＝．即2－t＝，∴t＝．

NMOM2t3t21111121 ∴NM＝，BM＝t＝．∴S△BMN ＝BM·NM＝××＝．当1＜ t ＜2时，如图2．

322233932t2－2tBMNMt6613若△BMN∽△MON，则＝．即2－t＝，∴t＝．∴NM＝，BM＝t＝．

NMOM2t5525t11369∴S△BMN ＝BM·NM＝××＝．

225525【例3】 如图，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝2．将三角板的直角顶点放

置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G． （1）当点F在射线CA上时 ①求证：PF＝PE．

②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域． （2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．

A A D P P

F

G C E B C

备用图

【解析】（1）①证明：过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N

∵CD是∠ACB的平分线，∴PM＝PN

由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°，得∠MPN＝90° ∴∠1＋∠FPN＝90°

∵∠2＋∠FPN＝90°，∴∠1＝∠2

11

D B A M F G C

P 1 2 D N E B

∴△PMF≌△PNE，∴PF＝PE ②解：∵CP＝2，∴CN＝CM＝1

∵CF＝x，△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1－x ∴CE＝2－x

∵CF∥PN，∴ PN ＝ GN ，即 1 ＝ CG＋1 ∴CG＝ 1－x ∴y＝ 1－x ＋2－x（0≤ x＜1）

（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况： ①当点F在射线CA上时

∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠PEG ∴∠G＝∠1，∴FG＝FE，∴CG＝CE＝CP 在Rt△EGP中，EG＝2CP＝22 ②当点F在AC延长线上时

∵∠GPE＝∠FCE＝90°，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2 +∠5，∠1＝45°+∠2，∴∠5＝∠2 ∵∠1＝45°

易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4 ∴CF＝CP＝2，∴FM＝2＋1

易证△PMF≌△PNE，∴EN＝FM＝2＋1 2 1－GN ∵CF∥PN，∴ PN ＝ GN ，即 1 ＝ GN CF

CG

1 CF CG x CG x x

A P F C

D G E B

A M

5 1

D P C

4 G N

3 2 E B

∴GN＝2－1

∴EG＝2－1＋ 2＋1＝22

F 4

【例4】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，AB＝10，tanA＝3．点P是CE

延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q．设EP＝x，BQ＝y． （1）求y关于x的函数关系式及定义域；

（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求PE的长；

（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．

12

A C

P

A E E A E

B Q C

B

备用图

BC C B

备用图

4

【解析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tanA＝ AC ＝ 3 ∴AC＝6，BC＝8

1

∵CE是斜边AB上的中线，∴CE＝BE＝ 2 AB＝5 ∴∠PCQ＝∠ABC

又∠PQC＝∠ACB＝90°，∴△PCQ∽△ABC

44 8＋y CQ BC ∴ PC ＝ AB ＝ 5 ，即 5＋x ＝ 5 4

∴y＝ 5 x－4（x ＞5） （2）过点B作BH⊥PC于H

∵PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，∴BH＝BQ＝y

324424

∵BH＝ 5 BC＝ 5 ，∴ 5 x－4＝ 5 ∴x＝11

（3）∵∠BQF＝∠ACB＝90°，∠QBF＝∠A ∴△BFQ∽△ABC

当△BEF和△QBF相似时，则△BEF和△ABC也相似 有两种情况： ①当∠BEF＝∠A时

5在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，BE＝5，BF＝ 3 y 544

∴ 3 （ 5 x－4）＝ 3 ×5，解得x＝10 ②当∠BEF＝∠ABC时

5

在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，BE＝5，BF＝ 3 y 543125∴ 3 （ 5 x－4）＝ 4 ×5，解得x＝ 16

125

∴当△BEF和△QBF相似时，求x的值为10或 16 【例5】 如图1，在Rt△AOC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝90°，动

点M和N分别在线段AB和AC边上． （1）求证：△AOB∽△COA，并求cosC的值；

C A E F B

Q P

C

B

Q

A E C

P

A

E H B Q P F

13

（2）当AM＝4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；

（3）如图2，当MN∥BC时，以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN．设

MN＝x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

M N

O C B 图1

【解析】（1）∵AO⊥OC，∴∠ABO＋∠BAO＝90°

∵∠ABO＋∠C＝90°，∴∠BAO＝∠C ∵∠AOB＝∠COA，∴△AOB∽△COA ∴OB : OA＝OA : OC

∵OB＝6，BC＝12，∴6 : OA＝OA : 18 ∴OA＝63 22 ∴AC＝OC ＋OA ＝ OC 18 18

2

2

＋(63) ＝123

A A M E O B

图2

N C

A M N

O

B 图1

C

3

∴cosC＝ AC ＝ 123 ＝ 2 3

（2）∵cosC＝ 2 ，∴∠C＝30°

3

∵tan∠ABO＝ OB ＝ 6 ＝3，∴∠ABO＝60°∴∠BAC＝30°，∴AB＝BC＝12

①当∠AMN＝∠ABC时（如图1），△AMN∽△ABC

22

∵AM＝4，∴S△AMN : S△ABC ＝AM : AB ＝4 : 12 ＝1 : 9

2

2

OA

6

A

N M

O

B 图2

C

②当∠AMN＝∠C时（如图2），△AMN∽△ACB

2222

∵AM＝4，∴S△AMN : S△ABC ＝AM : AC ＝4 :（123）＝1 : 27

11

（3）易得S△ABC ＝ 2 BC·OA＝ 2 ×12×63＝363

∵MN/∥BC，∴△AMN∽△ABC

2222

∴S△AMN : S△ABC ＝MN : BC ，∴S△AMN : 363＝x : 12

32

∴S△AMN ＝ 4 x

①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3） ∵MN/∥BC，∴∠ANM＝∠C＝30°∴∠ANM＝∠BAC，∴AM＝MN＝x

∵以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN ∴∠ENM＝∠ANM＝30°，∴∠AFN＝90°

111

∴MF＝ 2 MN＝ 2 AM＝ 2 x

14

A M E O

F B

图3

N C

∴S△FMN : S△AMN ＝MF : AM 312

∴y : 4 x ＝ 2 x : x＝1 : 2 32

∴y＝ 8 x （0＜x ≤8） ∵MN/∥BC，∴CN : AC＝BM : AB

∴CN : 123＝（12－x ）: 12，∴CN＝123－ 3x

22

∵△CNG∽△CBA，∴S△CNG : S△ABC ＝CN : BC 22

∴S△CNG : 363＝（123－ 3x ） : 12

A ②当EN与线段AB不相交时，设EN与BC交于点G（如图4）

M O E

B G N C

3

2

∴S△CNG ＝ 4 （123－ 3x ）

图4

332

∴S阴影＝S△ABC － S△AMN － S△CNG ＝363－ 4 x － 4 （123－ 3x ）2

2

即y＝－ 3x ＋183x－723（8＜x ＜12）

【例6】 如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不

与点B、C重合），AD⊥AB，垂足为点A．连接MO，将△BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线MB1与AC、AD分别交于点F、N． （1）当∠CMF＝120° 时，求BM的长；

△CMF 的周长

（2）设BM＝x，y＝ △ANF 的周长 ，求y关于x的函数关系式。并写出自变量x的取值范围；（3）连接NO，与AC边交于点E，当△FMC∽△AEO时，求BM的长．

C

D B1 N

F M

A O

B

【解析】（1）∵∠CMF＝120° ，∴∠BMN＝60°

∴∠BMO＝30°

∴Rt△MOB中，BM＝OB·cot30°＝2 3 （2）连接ON，∵OA＝OB＝OB1，ON＝ON

∴Rt△ANO≌Rt△B1NO，∴∠AON＝∠B1ON，AN＝B1N 又∵∠MOB1＝∠MOB，∴∠MON＝90°∵∠OB1M＝∠B＝90°，∴△MB1O∽△OB1N， ∴OB12＝B1M·B1N

又B1M＝BM＝x，OB1＝OB＝2

15

C

D B1 N

F M

A D N

O

B

C

B1 (F) M

44∴2 ＝x·B1N，∴B1N＝ x ，∴AN＝ x

2

∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°

又∠B＝90°，∴AD∥BC，∴△CMF∽△ANF

△CMF 的周长4－xCM1

2

∴y＝ △ANF 的周长 ＝ AN ＝ 4 ＝－ 4 x ＋x

x 1

2

即y＝－ 4 x ＋x（0＜x ＜4） （3）由题意知：∠EAO＝∠C＝45°

若△FMC∽△AEO，则有两种情况：∠FMC＝∠AEO或∠FMC＝∠AOE ①当∠FMC＝∠AEO时，有∠CFM＝∠AOE 由（2）知∠AOE＝∠B1OE＝∠OMF ∴∠CFM＝∠OMF，∴OM∥AC ∴∠OMB＝∠C＝45°

∴Rt△MOB中，BM＝OB·cot45°＝2 ②当∠FMC＝∠AOE时，∵∠AOE＝∠OMF ∴∠FMC＝∠OMF＝∠OMB＝60° 23∴△MOB中，BM＝OB·cot60°＝ 3 23综上所述，当△FMC∽△AEO时，求BM的长为2或 3

4）A0）M是线段AC的中点．【例7】 在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，，（t，是x轴上一动点，把

线段AM绕点A按顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．

（1）若t＝3，则点B的坐标为____________，若t＝－3，则点B的坐标为____________； （2）若t ＞0，当t为何值时，△BCD的面积等于6 ？

（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求此时t的值；若

不存在，请说明理由．

y y C D C A

O

B

E F B1

M

D N

C

M O A B E x O 备用图

x

33

【解析】（1）（5， 2 ），（－1，－ 2 ）

16

（2）①当0＜t ＜8时，如图1

∵∠CAB＝90°，∴∠CAO＋∠BAE＝90°∵∠CAO＋∠ACO＝90°，∴∠BAE＝∠ACO

又∠BEA＝∠AOC＝90°，∴△BEA∽△AOC

11 AE BE AB AE BE

∴ CO ＝ AO ＝ CA ＝ 2 ，即 4 ＝ t ＝ 2 11

∴AE＝2，BE＝ 2 t，∴B（t＋2， 2 t）

111

∴S△BCD ＝ 2 CD·BD＝ 2 （ t＋2）（ 4－ 2 t ）＝6 解得t＝2或t＝4

②当t ＞8时，如图2

111

S△BCD ＝ 2 CD·BD＝ 2 （ t＋2）（ 2 t－4 ）＝6 解得t＝10或t＝－4（舍去）

∴当t＝2或t＝4或t＝10时，△BCD的面积等于6 （3）①当0＜t ＜8时，如图1

CD BD

若△CDB∽△AOC，则 AO ＝ CO

1 4－ 2 t t＋2

即 t ＝ 4 ，t无实数解 ②当t ＞8时，如图2

若△CDB∽△AOC，则 AO ＝ CO

1

2 t－4 t＋2

即 t ＝ 4 ，解得t＝－4 3＋8（舍去）或t＝4 3＋8 若△BDC∽△AOC，同理，t无实数解

③当－2＜t ＜0时，如图3

CD BD 若△CDB∽△AOC，则 AO ＝ CO

1 4－ 2 t t＋2

即 －t ＝ 4 ，t＝－4 5＋8或t＝4 5＋8（舍去） 若△BDC∽△AOC，同理，t无实数解 ④当t ＜－2时，如图4

CD BD

△CDB∽△AOC，则 AO ＝ CO 1

－ t－2 4－ 2 t

即 －t ＝ 4 ，t无实数解

若△BDC∽△AOC，同理，解得t＝－4或t＝4（舍去） 相似

17

CD

BD

y C D M O A 图1 B E x y C M O 图2 B D A E x 若△BDC∽△AOC，同理，解得t＝－2 5－2（舍去）或t＝2 5－2

C M O A y D E B x 图3

y D M x C A E B O 图4

∴存在t＝2 5－2或4 3＋8或－4 5＋8或－4，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC

【例8】 如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴相交于A（25，0），B（0，5）两点，将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转得到Rt△A′OB′．

（1）求直线l的解析式；

（2）若OA′⊥AB，垂足为D，求点D的坐标；

（3）如图2，若将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°，A′B′ 与直线l相交于点F，点E为x轴上

一动点．试探究：是否存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′ 相似．若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

y

A′ l

B

D B′

O

图1

【解析】（1）设直线l的解析式为y＝kx＋b

l F B y A′

A x B′ O 图2

A x y l B B′ O H 图1

∵点A（25，0），B（0，5）在直线l上

1k＝－ 225k＋b＝0

解得： ∴b＝5b＝5

1

∴直线l的解析式为y＝－ 2 x＋ 5

22 ∴AB＝ OA ＋OB ＝5

A′ D A x （2）∵A（25，0），B（0，5），∴OA＝25，OB＝5 11

∵OA′⊥AB即OD⊥AB，∴ 2 OA·OB＝ 2 AB·OD 11

∴ 2 ×25×5＝ 2 ×5×OD，∴OD＝2 过点D作DH⊥x轴于点H（如图1） 则∠DAH＋∠ADH＝∠ODH＋∠ADH＝90°∴∠DAH＝∠ODH

5 1∵在Rt△AOB中，tan∠BAO＝ OA ＝ 25 ＝ 2 1 OH

∴tan∠ODH＝ DH ＝ 2 ，DH＝2OH

OB

y A′ l F B 在Rt△ODH中，设OH＝a，则DH＝2a

222222

∵OH ＋DH ＝OD ，∴a ＋4a ＝2

E B′ 图2 O A x 252545∵a ＞0，∴a＝ 5 ，∴OH＝ 5 ，DH＝ 5 2545

∴点D的坐标为（ 5 ， 5 ）

18

（3）存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′ 相似 理由：∵△A′OB′ 由△AOB逆时针旋转90°所得 ∴△A′OB′≌△AOB，∴∠B′A′O＝∠BAO 又∵∠FBA′＝∠OBA，∴△BFA′∽△BOA

A′O－BO BF A′B BF ∴ BO ＝ AB ，即 BO ＝ AB ∴ 5 ＝

BF 2y A′ l F B 5－ 5

，∴BF＝1，∴AF＝AB＋BF＝6 5

AE

AF

B′ O 图3

E A x ①如图2，当△AFE∽△A′BB′ 时，有 A′B′ ＝ A′B

∴ 5 ＝ 5 ，∴AE＝65，∴OE＝AE－AO＝65－25＝45 ∴E1（－45，0）

②如图3，当△AEF∽△A′BB′ 时，有 A′B ＝ A′B′

656545∴ 5 ＝ 5 ，∴AE＝ 5 ，∴OE＝AO－AE＝25－ 5 ＝ 5 45

∴E2（ 5 ，0）

AE

6

AE AF AE

6

45

综上所述，存在点E1（－45，0），E2（ 5 ，0），使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′ 相似

课后作业

0．甲沿AO1. 如图1，甲、乙两人分别从A．B两点同时出发，点O为坐标原点，A点1，3，6，方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点． （1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行； （2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？

2

（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两

人之间距离的最小值．

图1

19

【答案】（1）当M．N都在O右侧时，

所以

OM24tON64t212t，1t， OA2OB63OMON．因此MN与AB不平行． OAOB（2）①如图2，当M．N都在O右侧时，∠OMN》∠B，不可能△OMN∽△OBA．

②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON》∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．

③如图4，当M．N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么所以

ONOA． OMOB4t62．解得t＝2． 4t26

图2 图3 图4 （3）①如图2，OM24t，OH12t，MH3(12t)．

NHONOH(64t)(12t)52t．

②如图3，OM4t2，OH2t1，MH3(2t1)．

NHONOH(64t)(2t1)52t．

③如图4，OM4t2，OH2t1，MH3(2t1)．

NHOHON(2t1)(4t6)52t．

综合①、②、③，sMN2MH2NH2

222 3(2t1)(52t)16t32t2816(t1)12．

2所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．

2. 如图，等腰ABC中，ABAC，ADBC于D，CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F，

求证：BP2PEPF．

AFEPBDCB1PD2CEAF【答案】连接CP，

由CF∥AB， ∴F1，

再证明APB≌APC可得12

（也可以由ABAC，PBPC，于是ABCACB，PBCPCB，

20

等量减等量便可得12） 又∵CPEFPC， ∴CPE∽FPC， ∴PC2PEPF， 又∵PCPB， ∴PB2PEPF．

【例15】 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，ABBC，对角线ACBD，垂足为E，ADBD，

过E 的直线EF∥AB交AD于F． （1）AFBE， （2）AF2AEEC．

DFECAB【答案】（1）∵EF∥AB，

∴DFEDEF

∴DFDE， 又∵ADBD， ∴AFBE，

（2）ABC90，BEAC，

∴ABE∽BEC， ∴BE2AEEC ∴AF2AEEC

3.

ABC中，C90，A60，AC2cm．长为1cm的线段MN在ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．

（1）若AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；

（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；

（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？

CPQ

【解析】（1）当点P在AC上时，∵AMt，∴PMAMtg603t．

AMNB 21

132∴yt3tt0≤t≤1． 22当点P在BC上时，PMBMtan3034t． 313323ytt1≤t≤3． 4tt22363（2）∵AC2，∴AB4．∴BNABAMMN4t13t．

∴QNBNtan3033t． 333t， 3由条件知，若四边形MNQP为矩形，需PMQN，即3t∴t3． 43当ts时，四边形MNQP为矩形． ∴

43（3）由（2）知，当ts时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，

4∴PQC∽ABC．

除此之外，当CPQB30时，QPC∽ABC，此时

CQ3． tan30CP3AM1cos60，∴AP2AM2t．∴CP22t． AP2BN3BN23cos30∵，∴BQ3t． BQ233∵

又∵BC23，∴CQ232323t． 3t3323t13∵3t．

222t3

13Q为顶点的三角形与ABC相似． ∴当ts或s时，以C，P，2413323【答案】（1）ytt1≤t≤3 4tt223633（2）当ts时，四边形MNQP为矩形

413Q为顶点的三角形与ABC相似 （3）当ts或s时，以C，P，24

22