2008高考北京数学理科试卷含答案(全word版)

数学（理工农医类）（北京卷）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9

页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知全集UR，集合Ax|2≤x≤3，Bx|x1或x4，那么集合A等于（ ） A．x|2≤x4 C．x|2≤x1

0.5ðBUB．x|x≤3或x≥4 D．x|1≤x≤3

2．若a2，blogπ3，clog2sinA．abc

B．bac

2π，则（ ） 5 C．cab

D．bca

3．“函数f(x)(xR)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的（ ） A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

0)的距离小1，则点P的轨迹为（ ） 4．若点P到直线x1的距离比它到点(2，A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

xy1≥0，x2y5．若实数x，y满足xy≥0，则z3的最小值是（ ）

x≤0，A．0

B．1

C．3

*D．9

6．已知数列an对任意的p，qN满足apqapaq，且a26，那么a10等于（ ） A．165

B．33

C．30

D．21

227．过直线yx上的一点作圆(x5)(y1)2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于yx对

称时，它们之间的夹角为（ ） A．30

B．45

C．60

D．90

P作垂直于平面BB1D1D的8．如图，动点P在正方体ABCDA1BC11D1的对角线BD1上．过点

Px，MNy，直线，与正方体表面相交于M，N．设B则函数yf(x)的图象大致是（ ）

D1 C1

A1 B1 D P N M C A B

y O x A． y O x B．

y O x C． y O x D．

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）（北京卷）

第Ⅱ卷（共110分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知(ai)22i，其中i是虚数单位，那么实数a ．

10．已知向量a与b的夹角为120，且ab4，那么b(2ab)的值为 ．

111．若x23展开式的各项系数之和为32，则n ，其展开式中的常数项

x为 ．（用数字作答）

n4)(20)(64)，则12．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0，，，，，y f(f(0)) ； limf(1x)f(1) ．（用数字作答）

xx0

2B O 1 2 3 4 5 6 4 3 2 1 A C x 13．已知函数f(x)xcosx，对于，上的任意x1，x2，有如下条件：

2222①x1x2； ②x1； ③x1x2． x2ππ其中能使f(x1)f(x2)恒成立的条件序号是 ．

14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点

Pk(xk，yk)处，其中x11，y11，当k≥2时，

k1k2xx15TTkk1，55 yyTk1Tk2．kk155T(a)表示非负实数a的整数部分，例如T(2.6)2，T(0.2)0．

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分） 已知函数f(x)sin2x3sinxsinx（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函数f(x)在区间0，上的取值范围．

3 16．（本小题共14分）

如图，在三棱锥PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC． P （Ⅰ）求证：PCAB；

（Ⅱ）求二面角BAPC的大小； （Ⅲ）求点C到平面APB的距离．

A B

C

17．（本小题共13分）

甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．

（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；

（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列．

π（0）的最小正周期为π． 22π18．（本小题共13分）已知函数f(x) 19．（本小题共14分）

2xb，求导函数f(x)，并确定f(x)的单调区间． 2(x1)已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x23y24上，对角线BD所在直线的斜率为1．

1)时，求直线AC的方程； （Ⅰ）当直线BD过点(0，（Ⅱ）当ABC60时，求菱形ABCD面积的最大值．

20．（本小题共13分）

对于每项均是正整数的数列A：a1，a2，，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列

T1(A)：n，a11，a21，，an1．

对于每项均是非负整数的数列B：b1，b2，，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2(B)； 又定义S(B)2(b12b22mbm)b12b22． bm设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak1T2(T1(Ak))(k01，，2，)． （Ⅰ）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S(T1(A))S(A)；

（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，

S(Ak1)S(Ak)．

2008年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）（北京卷）参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1 10．0 11．5 10 12．2 2 13．②

8．B

，2) (3，40214．(1 )三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（Ⅰ）f(x)1cos2x3311sin2xsin2xcos2x

22222π1sin2x．

62因为函数f(x)的最小正周期为π，且0， 所以

2ππ，解得1． 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)sin2xπ1． 622π， 3ππ7π所以≤2x≤，

666因为0≤x≤所以1π≤sin2x≤1， 26π133f(x)，即的取值范围为≤0，． 6222P

因此0≤sin2x16．（共14分）

解法一：

（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD． APBP， PDAB． ACBC， CDAB． PDCDD，

A

C P E

D

B

A

C B

AB平面PCD． PC平面PCD， PCAB．

（Ⅱ）ACBC，APBP， △APC≌△BPC． 又PCAC， PCBC．

又ACB90，即ACBC，且ACPCC，

BC平面PAC．

取AP中点E．连结BE，CE． ABBP，BEAP．

EC是BE在平面PAC内的射影， CEAP．

BEC是二面角BAPC的平面角．

在△BCE中，BCE90，BC2，BE3AB6， 2sinBECBC6． BE36． 3P

H D

二面角BAPC的大小为arcsin（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB平面PCD， 平面APB平面PCD．

过C作CHPD，垂足为H． 平面APB平面PCDPD，

A

C B

CH平面APB．

CH的长即为点C到平面APB的距离． 由（Ⅰ）知PCAB，又PCAC，且ABPC平面ABC． CD平面ABC， PCCD．

在Rt△PCD中，CDACA，

13AB2，PDPB6， 22PCPD2CD22．

CHPCCD23． PD3点C到平面APB的距离为

23． 3解法二：

（Ⅰ）ACBC，APBP， △APC≌△BPC． 又PCAC， PCBC． ACBCC，

PC平面ABC． AB平面ABC， PCAB．

（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz．

0，，0)A(0，2，，0)B(2，0，0)． 则C(0，0，t)． 设P(0，z P E y A C H x B PBAB22，

t2，P(0，0，2)．

取AP中点E，连结BE，CE．

ACPC，ABBP，

CEAP，BEAP．

BEC是二面角BAPC的平面角．

E(011)，，，EC(0，1，1)，EB(2，1，1)，

cosBECECEBECEB23． 326二面角BAPC的大小为arccos3． 3（Ⅲ）ACBCPC，

C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系Cxyz．

BH2HE，

222点H的坐标为，，．

333CH23． 323． 3点C到平面APB的距离为

17．（共13分）

3A31解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么P(EA)24，

C5A440即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是

1． 404A41（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么P(E)24，

C5A410所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E)1P(E)9． 10（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“2”是指有两人同时参加A岗位服务，

3C52A31则P(2)34．

C5A44所以P(1)1P(2)3，的分布列是 4 P 18．（共13分）

1 3 3 41 42(x1)2(2xb)2(x1)解：f(x)

(x1)42x2b2

(x1)32[x(b1)]． 3(x1)令f(x)0，得xb1．

当b11，即b2时，f(x)的变化情况如下表：

x f(x) (，b1) b1 (b11)， (1，)  0   当b11，即b2时，f(x)的变化情况如下表：

x f(x) (，1) (1，b1) b1 (b1，)   0  ，上单调递增， 所以，当b2时，函数f(x)在(，b1)上单调递减，在(b11)，)上单调递减． 在(11)上单调递减，在(1，b1)上单调递增，在(b1，)上单调递当b2时，函数f(x)在(，减．

当b11，即b2时，f(x)调递减．

19．（共14分）

解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为yx1． 因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD． 于是可设直线AC的方程为yxn．

21)上单调递减，在(1，)上单，所以函数f(x)在(，x1x23y24，22由得4x6nx3n40． yxn因为A，C在椭圆上，

所以12n640，解得24343n． 33设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

3n3n24则x1x2，x1x2，y1x1n，y2x2n．

24所以y1y2n． 2所以AC的中点坐标为3nn，． 44由四边形ABCD为菱形可知，点所以

3nn，在直线yx1上， 44n3n1，解得n2． 44所以直线AC的方程为yx2，即xy20． （Ⅱ）因为四边形ABCD为菱形，且ABC60， 所以ABBCCA．

所以菱形ABCD的面积S32AC． 2223n216由（Ⅰ）可得AC(x1x2)(y1y2)，

22433432(3n16)所以S3n3． 4所以当n0时，菱形ABCD的面积取得最大值43． 20．（共13分） （Ⅰ）解：A0：5，3，2， ， T1(A0)：3，4，21，； A1T2(T1(A0))：4，3，21，T1(A1)：4，3，210，，，

． A2T2(T1(A1))：4，3，21，（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A为a1，a2，，an， 则T1(A)为n，a11，a21，从而

，an1，

S(T1(A))2[n2(a11)3(a21)(n1)(an1)]n2(a11)2(a21)2又S(A)2(a12a2(an1)2．

2， an2nan)a12a2所以S(T1(A))S(A)

2[n23(n1)]2(a1a2an)n22(a1a2an)n

n(n1)n2n0，

故S(T1(A))S(A)．

（Ⅲ）证明：设A是每项均为非负整数的数列a1，a2，，an．

当存在1≤ij≤n，使得ai≤aj时，交换数列A的第i项与第j项得到数列B， 则S(B)S(A)2(iajjaiiaijaj)2(ij)(ajai)≤0． 当存在1≤mn，使得am1am2则S(C)S(A)． 所以S(T2(A))≤S(A)．

从而对于任意给定的数列A0，由Ak1T2(T1(Ak))(k01，，2，) 可知S(Ak1)≤S(T1(Ak))．

又由（Ⅱ）可知S(T1(Ak))S(Ak)，所以S(Ak1)≤S(Ak)．

即对于kN，要么有S(Ak1)S(Ak)，要么有S(Ak1)≤S(Ak)1．

因为S(Ak)是大于2的整数，所以经过有限步后，必有S(Ak)S(Ak1)S(Ak2)即存在正整数K，当k≥K时，S(Ak1)S(Ak)．

．

an0时，若记数列a1，a2，，am为C，