重庆市普通高中数学新课程模块教学要求

重庆市普通高中数学新课程模块教学要求

重庆市教育科学研究院 张晓斌

为启动我市普通高中新一轮数学课程改革，根据《普通高中课程方案（实验）》、《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）的内容和要求，结合我市现阶段高中数学教学的实际情况，特提出以下普通高中数学新课程模块教学要求。

一、必修课程

（一）数学1

本模块包括集合、函数的概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）。

1．集合

（1）集合的含义与表示

① 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合间的“属于”关系。 ② 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

（2）集合间的基本关系

① 理解集合间的包含与相等关系的含义，能识别给定集合的子集。 ② 在具体情境中，了解全集与空集的含义。 （3）集合的基本运算

① 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集。 ② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。 ③ 能使用韦恩（Venn）图表达集合间的关系及运算，初步体会直观图示对理解抽象概念的作用。

本模块对集合知识的定位是将其作为一种语言来学习，使学生感受用集合语言表述数学内容的简洁性与准确性。

在本部分知识的教学中，应尽量结合学生的生活经验与数学知识，通过列举丰富的实例，使学生逐步理解集合的含义。

本部分知识的重点和难点是集合的关系与运算。在例题、习题中应围绕两种重要的集合——数集与点集展开，注意不要过分强调细枝末节的讲解和训练，避免人为地编制一些繁难的偏题，如对集合的“三性”（确定性、无序性、互异性）的讲解和训练。

在集合间的关系和运算的教学中，适当使用韦恩（Venn）图的方法是重要的，让学生初步体会自然语言、集合语言、图形语言的特点，为以后学习和发展学生运用数学语言进行表达和交流的能力打下一定的基础。

2．函数的概念与基本性质 （1）函数的概念

① 通过丰富实例，进一步体会函数是描绘变量相互依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

② 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

（2）函数的表示方法

① 在实际情境中，能根据不同需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

② 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。 （3）函数的基本性质

① 通过已学习过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性与最大（小）值及其几何意义。

② 结合具体函数，了解奇偶性的含义。 ③ 会运用函数图象理解和研究函数的性质。

在本部分知识的教学中，函数的概念是核心内容。教学中应通过回顾初中函数的定义，结合具体实例，逐步探索高中函数的概念，感受与初中所学函数内容之间的衔接和再次学习函数的必要性，体会初、高中函数概念的区别与联系。

通过具体实例的剖析，使学生逐步体会函数是两个数集之间一种特殊的对应关系。通过从学生已掌握的具体函数入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念。再通过后期对指数函数、对数函数、幂函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解。像函数这样的核心概念，需要多次接触、反复体会，逐步加深理解，才能真正掌握，并加以灵活运用。

在教学中要重视图形在数学学习中的作用，从几何（函数图形）的角度帮助学生理解函数概念和性质，体会数形结合思想的初步应用。

在本部分知识中，函数的单调性、最大（小）值、奇偶性是教学难点，教学中应把握它们的几何特征，通过对图形的直观观察，初步得到代数形式的描述性定义，

结合数、形的特征分析，进一步得到上述性质的严格定义。逐步加深学生对函数性质的理解，体会数形结合思想的初步应用。

在教学中应强调对函数概念本质的理解，削弱对定义域、值域和判断是否为同一函数等问题的技巧训练，避免人为地编制一些偏难题目，目的是为了使学生更好地理解函数的基本思想和实质。

3．基本初等函数Ⅰ （1）指数函数

① 通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景。

② 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质。

③ 理解指数函数的概念和意义，能借助计算机或计算器画出具体指数函数的图象，理解指数函数的单调性和特殊点。

④ 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 （2）对数函数

① 理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发展历史及在简化运算中的作用。

② 通过具体实例，了解对数函数模型的实际背景。体会对数函数是一类重要的函数模型。

③ 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性和特殊点。

④ 知道指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数 (a0， a1 )。 （3）幂函数

① 通过具体实例，了解幂函数的概念。

② 结合函数yx,yx2,yx3,yx1,yx2的图象，了解幂函数的变化情况。 本部分知识是在建立一般函数概念、性质的基础上给出的几种具体函数模型。在指数幂的教学中，要注意控制分数指数幂运算的难度。要在回顾初中学习的整数指数幂的概念及运算性质的基础上，结合实例逐步引入有理指数幂及运算性质，以及实数指数幂的意义及运算性质，体会“用有理数逼近无理数”的思想。有条件的学校可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”的过程。

在指数函数、对数函数的教学中，通过使学生经历由具体的实例抽象出指数函数、对数函数概念的过程，逐步体会指数函数和对数函数是一类与现实生活紧密相

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联的重要函数模型，强调它们的实际背景和应用价值。教学中可以让学生使用计算器或计算机画出函数的图象，探索并理解指数函数、对数函数的单调性和特殊点，逐步加深数形结合思想、分类与整合思想的理解。

《课程标准》降低了对反函数的要求，只要求知道指数函数yax与对数函数

ylogax(a0， a1 )互为反函数，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。此外，对于对数函数内容的要求也有所降低，教学中应注意减少人为的过于技巧化的训练（如对数运算等）。

4．函数的应用

（1）结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

（2）根据具体的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

（3）收集社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

（4）利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

（5）根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流。

在本部分知识的教学中，教师应结合学生熟悉的一次函数、二次函数的图象，探索一元一次方程、一元二次方程根的存在条件及根的个数，使学生了解函数的零点与方程根的联系。通过借助计算器用二分法求方程的近似解，初步体会函数与方程的内在联系。

在函数应用的教学中，教师应引导学生不断体验函数是描绘现实世界变化规律的基本数学模型。应鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题，体现数学的应用价值，发展学生的应用意识和能力。

让学生采取小组合作的方式撰写文章并在班级集中进行交流是为了培养学生的探究意识与建模意识，使学生在探究与建模的过程中学会查询资料、收集信息、阅读文献。初步养成独立思考和勇于质疑的习惯，同时也学会与他人交流合作，获得良好的情感体验。

（二）数学2

本模块包括立体几何初步和平面解析几何初步。 1．立体几何初步 （1）空间几何体的结构

① 利用实物模型，计算机模拟软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单几何体的结构。

② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型。会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

③ 会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

④ 完成实习作业，如画出某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)。

⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积与体积的计算公式（不要求记忆公式）。 （2）点、直线、平面之间的位置关系

① 借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、直线、平面之间的位置关系的基础上，抽象出空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。

公理l：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内。

公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。

通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。

如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行。

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。 垂直于同一个平面的两条直线平行。

如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。

③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。 三视图的有关内容，对于进一步培养学生的空间想象能力和几何直观能力具有重要的促进作用。教学中要求学生能够画出简单的空间几何体的三视图和直观图，能够从简单的空间几何体的直观图画出它的三视图，从三视图画出它的直观图。使得学生能通过“实物模型—三视图—直观图”这样一个相互转化的过程认识空间几何体。这些数学活动是培养学生空间想象能力的有效途径。

在“点、直线、平面的位置关系”的教学中，应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言。教师可以将具体的长方体的点、线、面的位置关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、直线、平面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确的使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。

立体几何初步的教学中，要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；而对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认，在选修系列2中将用向量方法加以严格证明。

角度是“立体几何”中的一种几何量。异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角等内容应穿插在“点、直线、平面之间的位置关系”的相关内容中介绍。

距离是“立体几何”中的另一种几何量。点到直线的距离、点到平面的距离、平行直线之间的距离、异面直线之间的距离、直线与平面之间的距离、平面与平面之间的距离等应穿插在“点、直线、平面之间的位置关系”的相关内容中介绍。在

介绍的过程中要控制计算的难度。对角、距离的计算应重点放在选修系列2中用向量方法加以解决。

立体几何初步教学内容的设计将合情推理与演绎推理有机的结合在一起，体现了直观几何与论证几何的融合。教学中要注意避免以论证几何为主线展开的形式化教学，让学生在自主探索的过程中，理解有关的数学概念，体会数学思想方法。

有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力。

2．平面解析几何初步 （1）直线的斜率

① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。 ② 理解直线的倾斜角与斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

③ 能根据直线的斜率判定两条直线平行或垂直。 （2）直线的方程

① 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程、两点式方程、一般式方程。

② 体会斜截式方程与一次函数的关系。 （3）直线的交点坐标与距离公式

① 能用解方程组的方法求出两条直线的交点坐标。 ② 掌握平面上两点间的距离公式。

③ 掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 （4）圆与方程

① 回顾确定一个圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程和圆的一般方程。 ② 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系。

③ 能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。 ④ 体会用代数方法处理几何问题的思想。 （5）空间直角坐标系

① 通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。

② 通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。

在本部分知识的教学中应注重知识的发生与发展的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生体会“数形结合”的思想方法。如：在直线和圆的方程的建立过程中，我们都是由确定直线和圆的几何要素出发，点和直线的倾斜角确定一条直线，定点和定长确定一个圆，把这些几何要素代数化，最后用方程的形式表示出来，体会用代数方法处理几何问题的思想。

（三）数学3

本模块包括算法初步、统计、概率。

1．算法初步

（1）算法的含义、程序框图

① 通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），了解算法的含义，体会算法的思想。

② 通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在解决具体问题的过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。

（2）基本算法语句

经历将具体问题的程序框图转化为程序语言的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义，进一步体会算法的基本思想。

（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

在本部分知识的教学中，教师应通过实例来说明由数学的算法到计算机使用的算法的过渡过程，从而说明学习算法的必要性。如果条件允许，尽可能的让学生上机实现，或模拟上机实现，这是检验学生学习算法的一种方式，也是学生比较感兴趣的学习方式，在操作中理解和初步掌握算法的基本思想和操作过程。

在本部分知识的教学中，教师的教学要体现数学与算法的有机结合，从而使学生理解数学在利用算法解决问题中的作用。计算机使用的算法的精细和严格有助于培养学生的逻辑思维能力。在教学中，教师要有意识地让学生体会算法的思想，提高他们的逻辑思维能力。

注意不要把算法讲成程序设计课。

2．统计 （1）随机抽样

① 能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。 ② 结合具体的实际问题，理解随机抽样的必要性和重要性。

③ 在参与解决问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④ 能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。 （2）用样本估计总体

① 通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点。

② 通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。 ③ 能根据实际问题的需求合理的选择样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释。

④ 在解决具体统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。初步体会统计思维与确定性思维的差异。

（3）变量的相关性

① 学会收集现实生活问题中两个有关联变量的数据，并作出散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。

② 经历用不同估算方法描绘两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

在本部分知识的教学中，教师应引导学生体会统计的作用和基本思想。统计的一个重要思想就是利用样本的信息来推测总体的有关信息，主要表现在：会用样本的频率分布估计总体分布；会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，比如数学期望、平均值、方差等。

另外，通过教学使学生明确样本的信息与总体的信息还存在着一定的差异，体会统计思维与确定性思维的差异。样本所提供的信息只是总体的部分信息，在一定程度上反映了总体的有关特征，但不完全确定。也就是说，按照同一规则进行抽样，

每次抽样所获得的信息都不能保证是完全一样的，是一个变化的量，这是抽样的随

机性所决定的。

3．概率 （1）事件与概率

① 通过具体情境，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。

② 通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。 （2）古典概型

① 通过实例，理解古典概型及其概率计算公式。

② 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 （3）随机数与几何概型

① 了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义。

② 通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

本部分知识教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。在教学中教师要借助于具体的、可操作的实例，让学生在实际的情境中来了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。教师可以组织学生利用计算机进行随机数的模拟试验，从直观上认识频率的稳定性。

古典概型是最简单的概率模型。在教学时，教师要引导学生通过具体的实例理解古典概型的特征——试验的所有可能结果只有有限个，每个结果出现的可能性相同。教学时，教师要结合具体的情境，让学生学会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率。

在运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率的教学中，教师应引导学生体会模拟是利用模型来研究某些现象性质的一种方法，可以节约大量的人力和物力。目前，计算机模拟已在生产管理、工程技术、科学实验、财政经济以及社会科学中得到广泛应用。教学时，教师可以让学生通过计算机模拟来体会频率稳定于概率的客观规律，进一步可利用模拟方法来进行几何概型的学习。

（四）数学4

本模块包括基本初等函数Ⅱ（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 1．三角函数 （1）任意角、弧度

① 了解任意角的概念。

② 了解弧度制，能正确进行弧度与角度的换算。 （2）三角函数

① 借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 ② 理解三角函数的几何表示——三角函数线。 ③ 借助单位圆中的三角函数线推导出导公式。

④ 理解同角三角函数的基本关系式： sin2xcos2x1，

sinxtanx。 cosx2，的正弦、余弦、正切的诱

（3）三角函数的图象与性质

① 能画出ysinx，ycosx，ytanx的图象，了解三角函数的周期性。 ② 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2]上的性质(如单调性、最大值和

最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在,内的单调性。

22（4）函数yAsin(x)的图象

① 结合具体实例，了解yAsin(x)的实际意义。

② 借助计算机或计算器画出函数yAsin(x)的图象，观察参数A，，对函数图象变化的影响。

（5）会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描绘周期现象的重要数学模型。

在本部分知识的教学中，教师应引导学生从大量的具体实例中抽象概括出三角函数的概念（数学模型），然后利用数学的方法研究三角函数的性质，再运用这些模型去解决实际问题。教师还应结合学生的生活实际，创设丰富的教学情境。如，通过单摆、弹簧振子以及音乐、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认知周期现象变化的规律。

《课程标准》删减了三角函数的部分内容：任意角的余切、正割、余割，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性，已知三角函数值求角以及符号

arcsinx,arccosx,arctanx，解三角形（《课程标准》将解三角形放置在数学5中）等

内容。《课程标准》对一些内容降低了教学要求：如任意角、弧度制概念；同角三

角函数的基本关系式只保留sin2xcos2x1，

sinxtanx，并且由原《大纲》的cosx理解、掌握减弱为了解、理解。这样处理的目的主要是为突出三角函数的主干内容，特别是突出三角函数是描绘周期现象的重要数学模型这一本质。

2．平面向量

（1）平面向量的实际背景及基本概念

① 通过相关学科的实例，了解平面向量的实际背景。 ② 理解平面向量和相等向量的含义，理解向量的几何表示。 （2）平面向量的线性运算

① 通过实例，掌握向量加法运算及其几何意义。 ② 通过实例，掌握向量减法运算及其几何意义。

③ 通过实例，掌握向量数乘运算及其几何意义；理解两个向量共线的含义。 ④ 了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ① 了解平面向量的基本定理及其意义。 ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③ 会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算。 ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。 （4）平面向量的数量积

① 通过实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。 ② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③ 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

④ 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

（5）向量的应用

① 体会平面向量在平面几何中的作用，初步学会用向量的方法解决简单的平面几何问题。

② 体会平面向量在物理及其它实际问题中作用，发展运算能力和解决实际问题的能力。

在向量概念的教学中，教师应关注以下两点：第一，根据学生的生活经验，创设丰富的教学情境。例如，物理中的力、速度、加速度以及几何中有向线段的概念是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量加法运算与向量分解的原型。通

过这些实例，可使学生了解向量的物理和几何背景，认识到向量是描述和刻画现实问题，解决物理和几何等学科问题的工具。第二，注重向量模型的运用，引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等。对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解，不必展开。

3．三角恒等变换

（1）两角和与差的正弦、余弦和正切公式

① 经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。

② 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，了解其内在联系。

③ 会从两角和与差的正弦、余弦和正切公式导出二倍角的正弦、余弦和正切公式，了解其内在联系。

（2）能运用上述公式进行简单的三角恒等变换（包括导出半角公式、积化和差、和差化积公式，但对这三组公式不要求记忆）。

《课程标准》对本部分内容降低了教学要求：对于两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式由原《大纲》要求的掌握降低为能从两角差的余弦公式导出；对于三角恒等变换，《课程标准》要求以导出半角公式、积化和差、和差化积公式作为三角恒等变换的基本训练，但对上述三组公式不要求记忆，也不要求用它们作复杂的恒等变换。

教师在教学中应控制例题、习题的难度，减少人为的繁难训练（如过于技巧化的三角恒等变形等）。

（五）数学5

本模块包括解三角形、数列、不等式。 1．解三角形

（1）正弦定理和余弦定理

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

在解三角形的教学中，教师应引导学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探索，发现并掌握三角形中的边长和角度之间的数量关系，解决一些简单的三角形度量问题。这就要求教师在教学过程中，突出几何的作用和数学量化思想，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程。

本部分内容的教学方式可以灵活多样。例如，可以设计一些研究性、开放性问题，让学生自行探究解决。也可以建议学生在课外自行寻找研究性、应用性问题，由个人或小组合作去做，撰写研究或实验报告等。可以引导学生尝试运用平面向量的知识解决三角形的度量问题。

2．数列

（1）数列的概念和简单表示法

① 通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) 。

② 了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数。 （2）等差数列、等比数列

① 通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。

② 探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。

③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

④ 体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。

在本部分内容的教学中，教师应引导学生通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种表示方法，揭示数列是一类特殊函数的本质属性，是反映自然规律的基本数学模型之一。

本部分内容的重点是等差数列与等比数列，教学中应重视通过具体实例（如教育贷款、购房贷款、人口增长等）使学生理解等差与等比数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。

《课程标准》要求在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必要的练习，掌握数列中各量之间的基本关系，但训练要控制难度和复杂程度。这体现了《课程标准》在内容处理上的一个原则：删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容。基于这样的原则，数列教学中应避免过于偏、难题目的训练，要注重应用，关注学生对数列模型本质的理解，以及运用数列模型解决实

际问题的能力。

3．不等式 （1）不等关系

通过具体情景，了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景。

（2）一元二次不等式

① 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

② 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。

（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题 ① 从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 ③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 （4）基本不等式：

ab≥ab（a,b≥0） 2① 探索并了解基本不等式的证明过程。 ② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

对于一元二次不等式，在教学中应让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，同时强调“通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系”，充分注重数形结合。

教师应引导学生关注不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具。 在解不等式的教学中，应注意控制类型，把握难度要求。

对于一元二次不等式的求解，教师应引导学生尝试设计求解的程序框图，这样做就会融入算法的思想。一方面，算法有了用武之地；另一方面，不但实现了解不等式的上机操作，而且对不等式的结构认识得更加清晰，更能看清问题的本质。

线性规划是优化的具体模型之一。在本模块的教学中，教师应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题，要避免引入很多名词。

二、选修课程

（一）选修1－1

本模块包括常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 1．常用逻辑用语 （1）命题及其关系

① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。 （2）简单的逻辑联结词

通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。 （3）全称量词与存在量词

① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。 ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

本部分教学的目的是让学生体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，而不是进行逻辑学的教学。因此，教学中要注意把握尺度，不宜过难。

这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对逆命题、否命题、逆否命题的概念，只要求作一般性的了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。

教学中要多用实例，通过实例理解逻辑联结词及量词的含义，避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，也不要求使用真值表。注意引导学生使用常用逻辑用语，在运用的过程中，加深对常用逻辑用语的认识,纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性，感受数学的美。

对这部分内容感兴趣的同学，还可以进一步选修“开关电路与布尔代数”，继续接触有关命题的一些知识。

2．圆锥曲线与方程

（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

（3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质。

（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想。 （5）了解圆锥曲线的简单应用。

本部分内容所渗透的几何直观和数形结合的思想，对于后续的数学学习是很有帮助的，教学中要充分地重视这一点。

教学中可通过多种方式向学生介绍圆锥曲线的背景和应用，在引发学生学习兴趣的同时，也能有意识地强调数学的科学价值、文化价值和美学价值。

圆锥曲线在实践中的应用相当广泛，是体现数学应用价值的好素材，因此，教学中可以通过丰富的实例，使学生了解其背景和应用。

在学习了椭圆之后，可引导学生运用类比的方法去研究抛物线，双曲线的几何性质。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。

有条件的学校，要充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件演示方程中参数的变化对曲线的影响，使学生进一步理解曲线和方程的关系，把握好曲线的“几何性质”与方程的“数量关系”之间的对应关系。

3．导数及其应用

（1）导数概念及其几何意义

① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。

② 通过函数图象直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算

① 能根据导数定义，求函数yc，yx，yx2，y1的导数。 x② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用

① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

② 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。

（4）生活中的优化问题举例

例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

（5）数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

导数的概念应从其实际背景加以引入，教学中，可以通过研究曲线的切线、增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，突出几何形象描述，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，得到对导数概念抽象和形象的理解。

在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述，应当避免过量的形式化运算练习。

利用导数判断函数的单调性，是导数应用的重点，教学中应多选取具体的函数（如：yx2），利用它们的图象，借助几何直观，了解函数的导数与函数单调性之间的本质联系，学会用导数研究函数的单调性，进而完成对函数的最值（极值）以及生活中的优化问题的教学。在学习利用导数研究函数性质的同时，感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵，帮助学生理解导数的背景、思想和作用。

本章内容的教学，整体上要贯穿用形象展示抽象，用微观说明宏观，注重研究问题的方法和学生认识的过程，注重培养学生的研究探索能力，注重数形结合思想的渗透。

（二）选修1-2

本模块包括统计案例、推理与证明、数系扩充及复数的引入、框图。 1．统计案例

通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。

（1）通过对典型案例 (如“肺癌与吸烟有关吗” 等)的探究，了解独立性检验 (只要求2×2列联表) 的基本思想、方法及初步应用。

（2）通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。

本部分内容是学生在初中阶段和高中数学必修课程已学习统计的基础上，通过

对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题，认识统计方法在决策中的作用。

本部分内容的《课程标准》要求都是了解，因此教学中要注意难度的把握，宜采用案例教学的方式。本部分的内容公式多，但重点应放在通过统计案例，让学生了解回归分析和独立性检验的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不做要求，避免学生单纯记忆和机械套用公式。

教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性)，体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践。

教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。

在统计案例中，还应介绍所学统计方法在社会生活中的广泛应用，以丰富学生对数学文化价值的认识。

2．推理与证明

（1）合情推理与演绎推理

① 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。

② 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

③ 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （2）直接证明与间接证明

① 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

② 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。

（3）数学文化

① 通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。

② 介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思

维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明。合情推理得出的结论不一定正确，数学结论是否正确，必须通过演绎推理或逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。

在本部分内容中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。

教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不追求对概念的抽象表述。

本部分设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。

教学中，可从已学知识中的问题出发，体会两种推理方法的应用，而在对新问题的解决过程中，自然的理解和区分两种推理，把握两种推理在解决问题中的协调应用。推理过程中，要注重学生信息检索、观察、分析、判断等能力的培养，还要注重对学生在文字语言表达、数学语言应用，以及规范书写证明过程等方面的要求。

为了让学生初步体会公理化方法，在教学中一定要重视实例的作用，使学生了解数学知识的产生和发展过程，体会公理化思想的发展及对科学发现、社会进步等的作用。

3．数系扩充与复数的引入

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 （3）了解复数的代数表示法及其几何意义。

（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。本部分知识的教学，可结合数学文化的学习，进行数系扩充的介绍，使学生感受人类理性思维的作用以及

数与现实世界的联系。

在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x31的根，介绍代数基本定理等。

4．框图 （1）流程图

① 通过具体实例，进一步认识程序框图。 ② 通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）。

③ 能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用。 （2）结构图

① 通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。

② 结合做出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。 框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。

框图是新增内容，通过框图的学习过程能够提高学生的抽象概括能力和逻辑思维能力，能帮助学生清晰地表达和交流思想。尤其对希望在人文、社会科学方面发展的学生是十分必要的。

框图的教学，应从分析实例入手，结合必修中的算法，引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等。使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问题过程的优越性。

（三）选修2－1

本模块包括常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量（简称空间向量）与立体几何。

1．常用逻辑用语 （1）命题及其关系

① 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。

② 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。

（2）简单的逻辑联结词

通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。 （3）全称量词与存在量词

① 通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义。 ② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

本部分教学的目的是让学生体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流，而不是进行逻辑学的教学。因此，教学中要注意把握尺度，不宜过难。

这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对逆命题、否命题、逆否命题的概念，只要求作一般性的了解，重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。

教学中要多用实例，通过实例理解逻辑联结词及量词的含义，避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，也不要求使用真值表。注意引导学生使用常用逻辑用语，在运用的过程中，加深对常用逻辑用语的认识,纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性，感受数学的美。

对于部分感兴趣的同学，还可以引导他们进一步选修“开关电路与布尔代数”，继续接触有关命题的一些知识。

2．圆锥曲线与方程 （1）圆锥曲线

① 了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

② 经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。

③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的有关性质。 ④ 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。

⑤ 通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。 （2）曲线与方程

结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。

本部分内容所渗透的几何直观和数形结合的思想，对于后续的数学学习是很有

帮助的，教学中要充分地重视这一点。

教学中可通过多种方式向学生介绍圆锥曲线的背景和应用，有意识地强调数学的科学价值、文化价值和美学价值，一方面引发学生学习的兴趣，另一方面，也可以对曲线和方程的关系有进一步的认识。

圆锥曲线在实践中的应用相当广泛，是体现数学应用价值的好素材，因此，教学中可以通过丰富的实例，使学生了解其背景和应用。

在学习了椭圆之后，可引导学生运用类比的方法去研究抛物线，双曲线的几何性质。对于感兴趣的学生，教师也可以引导学生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。

有条件的学校，要充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件演示方程中参数的变化对曲线的影响，使学生进一步理解曲线和方程的关系，把握好曲线的“几何性质”与方程的“数量关系”之间的对应关系。

3．空间向量与立体几何 （1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量。

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）。 ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题。

空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，体会维数增加所带来的影响。

在必修的基础上继续学习立体几何，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题。

用空间向量处理立体几何问题，关键在于理解直线的方向向量、平面的法向量、两个向量的数量积的定义，以及实数与向量乘积的几何意义——平行向量。

向量是代数的，它可以进行丰富的运算，通过这些运算可以解决很多问题；向

量又是几何的，向量可以描述、刻画几何中的基本研究对象：点、线、面以及它们之间的关系。向量所发挥的作用，是用代数方法处理几何问题思想的集中反映。向量不仅仅是一个计算的工具，更重要的是，它还是连接代数与几何的天然“桥梁”。教学中要让学生体会向量方法在研究几何问题中的作用，发展学生的几何直观和数形结合的能力，并充分挖掘向量的实际背景，如向量的物理学背景等。

（四）选修2—2

本模块包括导数及其应用、推理与证明、数系扩充与复数的引入。 1．导数及其应用

（1）导数概念及其几何意义

① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。

② 通过函数图象直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算

① 能根据导数定义求函数yc，yx，yx2，yx3，y导数。

② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如faxb）的导数。

③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用

① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

② 结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

（4）生活中的优化问题举例

例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

（5）定积分与微积分基本定理

① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。

② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了

1，yx的x

解微积分基本定理的含义。

（6）数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。

导数的概念应从其实际背景加以引入，教学中可以通过研究曲线的切线、增长率、膨胀率、效率、密度、速度等反映导数应用的实例，突出几何形象描述，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的认识过程，得到对导数概念形象的理解。

在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可以用导数来描述。

利用导数判断函数的单调性是导数应用的重点，也是本部分内容的重点之一。教学中应选取具体的函数（如：yx2），利用它们的图象，借助几何直观，了解函数的导数与函数单调性之间的本质联系，学会用导数研究函数的单调性，进而完成对函数的最值（极值）以及生活中的优化问题的教学。在学习利用导数研究函数性质的同时，感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵，帮助学生理解导数的背景、思想和作用。

教师应引导学生在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，以体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

本章内容的教学，整体上要贯穿用形象展示抽象，用微观说明宏观，注重研究问题的方法和学生认识的过程，注重培养学生的研究探索能力，注重数形结合思想的渗透。

2．推理与证明

（1）合情推理与演绎推理

① 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。

② 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

③ 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 （2）直接证明与间接证明

① 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

② 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。

（3）数学归纳法

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 （4）数学文化

① 通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。

② 介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。

“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明。合情推理得出的结论不一定正确，数学结论是否正确，必须通过演绎推理或逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。

教学中应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理，而不必追求对概念的抽象表述。

本部分设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。

教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，对证明的问题要控制难度。

教学中，可从已学知识中的问题出发，体会两种推理方法的应用，而在对新问题的解决过程中，自然的理解和区分两种推理，把握两种推理在解决问题中的协调应用。推理过程中，要注重学生信息检索、观察、分析、判断等能力的培养，还要注重对学生在文字语言表达、数学语言应用，以及规范书写证明过程等方面的要求。

为了让学生初步体会公理化方法，在教学中一定要重视实例的作用，使学生了解数学知识的产生和发展过程，体会公理化思想的发展及对科学发现、社会进步等的作用。

3．数系扩充与复数的引入

（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数

的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 （3）了解复数的代数表示法及其几何意义。

（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。本部分知识的教学，可结合数学文化的学习，进行数系扩充的介绍，使学生感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引申的内容，如求x31的根，介绍代数基本定理等。

（五）选修2—3

本模块包括计数原理、统计案例、概率。 1．计数原理

（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理

通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。

（2）排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

（3）二项式定理

能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

教学中要突出分类加法计数原理、分步乘法计数原理的基础性作用。分类加法计数原理、分步乘法计数原理是处理计数问题的两种基本方法。当面临一个复杂问题时，通过分类或分步将它分解成为一些简单的问题，先解决简单问题，然后再将它们整合起来得到整个问题的解决，这是一种重要而基本的思想方法。

引导学生体会两个计数原理在排列数公式、组合数公式和二项式定理推导中的工具性作用。以上知识的学习都是两个计数原理的重要应用，这样有利于避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

通过学生熟悉和感兴趣的实例，理解排列组合的概念，区分排列问题中元素的“有序”和组合问题中元素的“无序”，这是解决这两类问题的关键，也是初学者容易犯错误的地方。

教学中，应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题。

对于有兴趣和能力的学生可自主探究组合数的两个性质，但在教学中不作统一要求。

在二项式定理的教学过程中可介绍我国古代数学成就“杨辉三角”及数学家杨辉其人其事，激发学生的学习热情，丰富学生对数学文化价值的认识。

2．统计案例

通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。

（1）通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。

（2）通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。

本部分内容是学生在初中阶段和高中数学必修课程已学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题，认识统计方法在决策中的作用。

本部分内容《课程标准》规定的要求都是了解，应采用案例教学的方式，教学中要注意控制难度。本部分的内容公式多，但重点应放在通过统计案例，让学生了解回归分析和独立性检验的基本思想及其初步应用，对于其理论基础不做要求。

教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择一个案例，要求学生亲自实践。

教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。

3．概率

（1）在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。

（2）通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单

的应用。

（3）在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

（4）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

（5）通过实际问题，借助直观(如实际问题的直方图)，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。

研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律。因此本部分内容的重点是随机变量的分布列。为了能正确求出随机变量对应的概率值，教学中应适当复习必修课所学的概率知识。

在学习了离散型随机变量的基础上，通过实例，重点研究二项分布和超几何分布，这些都是应用广泛的重要的概率模型。对于这些概率模型的教学，注重通过实例引入，让学生对这些概率模型直观认识，不追求形式化的描述。

正态分布在自然界中大量存在，因此正态分布是一个重要的数学模型。但高中阶段正态分布的教学要注意把握好教学深度。正态分布涉及到连续型随机变量的总体密度曲线，本部分教学内容只要求简单介绍。

结合本部分教学内容特点和教学方式，应引导学生利用所学知识解决一些实际问题。让学生自行选择一些实际问题，建立恰当的概率模型，培养学生实践能力，努力提高学生分析和解决问题的能力。体会数学的实际应用价值，努力提高学生数学学习兴趣。

（六）选修3－1 数学史选讲

本专题包括：数学发展史、数学思想方法、数学人物、数学文化和数学精神等。 1．若干选题

学生能通过生动、丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。

（1）早期算术与几何――计数与测量 （2）古希腊数学

（3）中国古代数学瑰宝

（4）平面解析几何的产生――数与形的结合 （5）微积分的产生――划时代的成就 （6）近代数学两巨星――欧拉与高斯 （7）千古谜题――伽罗瓦的解答 （8）康托的集合论――对无限的思考 （9）随机思想的发展 （10）算法思想的历程 （11）中国现代数学的发展

上述内容要反映数学发展的不同时代的特点，要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法，重点突出所蕴涵的思想性，突出数学发展的轨迹，突出数学家刻苦钻研的科学精神。内容安排可以采取多种形式，既可以由古到今，追寻数学发展的历史；也可以从现实的、学生熟悉的数学问题出发，追根溯源，回眸数学发展中的重要事件和人物。内容的选择要遵循学生的接受水平，呈现方式应图文并茂、丰富多彩，引起学生的兴趣。以所用教材选择的专题内容进行学习，也可以根据本地和学生的实际情况，作适当调整，不必过分追求数学发展历史的系统性和完整性。

学习方式应灵活多样，可采取讲故事、讨论交流、查阅资料、撰写报告等方式进行。

2．完成一个学习总结报告

对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件人物，写出自己的研究报告。 （七）选修4—1 几何证明选讲

本专题包括：平面内相似三角形性质的证明，圆与直线（或线段）的关系以及相应性质的证明，圆内接四边形性质的探索和证明；探索圆柱（或圆锥）被平面所截得到的截线的基本特征，并加以证明，从全新角度去认识、探究已知圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的相关性质。

1．相似三角形与圆

（1）复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。

（2）证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

（3）证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。 几何学是培养学生的空间想象力和直观能力的一条重要途径，同时也是培养逻辑推理能力的有效载体。因此以训练学生的逻辑思维，发展空间想象力和直观能力为目标，以“循序渐进”为原则，本专题分相似三角形、圆、圆锥曲线等几个部分。

“相似三角形与圆” 的相关内容在初中已有涉及，学生已初步掌握了运用几何公理、定理证明几何问题的基本方法，知道了证明的基本要求。因此“相似三角形和圆”的学习不应只是简单重复，而要以“证明”为主导思想，展示给学生一个相对严谨的逻辑体系，使学生通过学习，加深对固有知识的理解，知道数学证明的必要性和重要性，学会数学推理，体验关于几何命题的“探索—发现—猜想—证明”的过程，感受研究数学问题的方法，为从全新角度探究圆锥曲线的性质，进而提高学生的空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力打下坚实的基础。

在“相似三角形”的教学过程中，应使学生联系初中所学知识，体验数学推理的严谨性。在可能的情况下多与生活中的实际问题相联系，增强学生的感性认识。在知识的研习过程中培养学生从特殊到一般的思想方法及探究意识。

在“圆与直线关系的相关知识”的教学过程中，进一步培养学生在研讨问题过程中“分类讨论”、“运动变化”的意识；进一步体验“如何通过合情推理发现结论，再利用演绎推理证明结论”的思维过程。

2．圆柱、圆锥和圆锥曲线

（1）了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。

（2）通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：

定理 在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为， l'围绕

l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l交角为（与l平行，记0），则：

① ，平面与圆锥的交线为椭圆； ② ，平面与圆锥的交线为抛物线； ③ ，平面与圆锥的交线为双曲线。

（3）利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明上述定理①情况。

（4）试证明以下结果：

① 在（3）中，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为'；

② 如果平面与平面'的交线为m，在（2）①中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率。）

（5）探索定理中③的证明，体会当无限接近时平面的极限情况。 “圆柱、圆锥和圆锥曲线”内容在研究方法上，运用了几何学的方法，对圆锥曲线重新进行了探究。在知识上，以直线和圆的位置关系为基础，在空间中逐步深入地研究圆柱面、圆锥面的平面截线性质，并最终得出完整结论。

本部分内容的教学，应注意直观演示与推理论证的结合。在内容与要求3、4的两个命题证明过程中，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于培养学生的空间想像能力和几何直观能力，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。教学时，教师应鼓励学生独立思考，主动尝试、探索，必要时要给予适当的指导，并鼓励学生写出课题报告，尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过程。

教学过程中，重点是使学生再次体验数学问题由特殊到一般的探究过程，同时，进一步提高学生的逻辑思维能力，充分发展学生的空间观念和空间想象能力，帮助学生协调合情推理能力与严格论证能力的发展与结合。

教学过程中，教师应多使用实物和计算机模型讲解，建立清晰的问题情境，以突破难点。在条件允许的学校，教师可以利用现代信息技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维。

3．完成一个学习总结报告 报告应包括三方面的内容：

（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对数学证明的认识。 （2）拓展。通过查阅资料、独立思考，对某些内容和应用进行进一步探讨。 （3）学习本专题的感受、体会。 （八）选修4—4 坐标系与参数方程 本专题包括：坐标系，参数方程。

1．坐标系

（1）回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用。 （2）通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

（3）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。

（4）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。

（5）借助具体实例（如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等）了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别。

坐标系是解析几何的基础。在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系。对于有些几何图形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单。

坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更简洁的形式。

在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。

本部分内容教学的重点是极坐标系，对于柱坐标系、球坐标系等只作简单了解。 2．参数方程

（1）通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

（2）分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程。

（3）举例说明某些曲线用参数方程表示比较方便，感受参数方程的优点。 （4）借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆

线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程及参数方程。

（5）通过阅读材料，了解其它摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例（例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计，星形线与公共汽车门）；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示有利于展示其生成的过程。学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。

应通过对具体物理现象的分析（如抛物运动的轨迹）引入参数方程，使学生了解参数的作用，体会动点运动的过程。

在参数方程的教学中，可充分发挥信息技术在教学中的辅助作用，如：应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的美，激发学习兴趣，还可以针对本部分内容的特点，展开合作学习，探究学习。如组织学生成立兴趣小组，合作研究摆线的性质，收集摆线应用的实例等。

参数方程是本专题中的一个重要内容，也是综合性很强的内容。在坐标系和参数方程中，数与形、运动与变化、分解与合成的联系十分突出，是培养学生辩证唯物主义观点的好素材。

本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。通过对本专题的学习，学生将掌握极坐标和参数方程的基本知识，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。

3．完成一个学习总结报告 报告应包括三方面的内容：

（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，进一步认识数形结合思想，思考本专题与高中其他内容之间的联系。

（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨参数方程、摆线的应用。

（3）学习本专题的感受、体会。

（八）选修4—5 不等式选讲

本专题包括：一些重要不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用、重要不等式的应用和证明不等式的基本方法。

1．一些重要不等式和它们的证明

（1）回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。

（2）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

①|ab||a||b|； ②|ab||ac||cb|；

③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

|axb|c；|axb|c；|xc||xb|a。

（3）认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。 ①证明：柯西不等式向量形式||||||。 ②证明：(a2b2)(c2d2)(acbd)2。 ③证明：

(x1x2)2(y1y2)2(x2x3)2(y2y3)2(x1x3)2(y1y3)2。

（通常称作平面三角不等式）。

（4）用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：abci2。

2i2ii1i1i1nnn（5）用向量递归方法讨论排序不等式。

在上述内容的教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，特别是不等式及其证明的几何意义与背景。使学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质，提高他们的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

2．数学归纳法和它的简单应用

（1）了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。

（2）会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1x)n1nx（x1，n为正整数）。了解当n为实数时贝努利不等式也成立。

数学归纳法是重要的数学思想方法，教师应通过对一些简单问题的分析，帮助学生掌握这种思想方法。在利用数学归纳法解决问题时，常常需要进行一些代数恒等变换。但是，注意不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题，以免冲淡了对数学归纳法思想的理解。

3．重要不等式的应用和证明不等式的基本方法

（1）会用重要不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。

（2）通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，掌握证明不等式的基本方法和技巧是极为重要的。但是，大多数学生常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景。所以，在教学中尽力使用几何或其它方法来证明不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中。教师在教学中也不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题。

4．完成一个学习总结报告 报告应包括三方面的内容：

（1）知识的总结。对本专题介绍的不等式中蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结。

（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨不等式的应用。

（3）对不等式学习的感受、体会。