复变函数的美

钱学森01班

周湘连 10045004

时间过得真快,转眼间,复变函数与积分变换这门课程已经结课。复变函数是实变函数的一个延伸和拓展，实变函数中的大部分理论在复变函数中都能适用，但是复变函数的应用的范围比实函数更广，很多复杂的计算都是用它来解决的，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论，在工程上的应用更方便。回首这个学期，学习复变函数，不是很用功，只是粗浅的了解到复变函数的美妙。下面我就粗浅的谈谈我对复变函数的理解及其美妙所在。

什么是复变函数

在我看来，复变函数从某种程度上说就是实变函数的一个延伸和拓展，就像从有理数延伸到无理数。在是实数范围内， x2+1=0这个方程是解不出来的，然后科学家引入变量i，i2=-1，从此所有实数领域内没有实根的方程都能解了。从此，形如 a+bi（其中i是虚数单位）的数就称为复数。在刚开始的很长时间里，人们对这类数不能理解。我在高中时，只学习了复数的基本运算，也觉得引入复数并没有什么用途。但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。上了大学，才开始进入以复数为变量的数学世界，发现复变函数并不是像高中里的基本运算，而是比实函数更复杂的一类函数。它的理论有很多与实函数相似的地方，例如实函数的极限就和复变函数的极限彼此呼应，但运用复变函数解决很多问题时却比实函数方便得多，例如计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。

复变函数的统一美

前面说了复变函数的一些理论与实函数有极其相似的地方，两者的概念差不多，形式也极相似，达到了一种统一的美。现在我们就来看看极限在实变函数与复变函数上的统一美。

定义（1.1）（实函数）设实函数f在在点x0的某个空心邻域内U0（x0，δ‘）内有定义，是一个确定的数，若对任何给的正数ε，总存在某个正数δ（<δ‘）,使得当0<|x-x0|<δ时,都有|f（x）-A|<ε,则称f当x 趋向于x0时 ,极限存在,且以A为极限 ,记作:lim f（x0）=A .

定义(1.2)(复函数) 设w=f(z),z∈G ,z0为G的聚点,对于复函数A若对任意给定的ε大于0，总存在δ大于0 ,只要0<|z-z0|<δ，就有|f（z）-A|<ε，则称 f（z）当z0在G中趋向于z0时，以A为极限, 记作lim f（z0）=A，（z∈G）或f（z）→A（z→z0），（其中z∈G当问题不致引起混淆,可以略去。我们常把f（z）→A（z→z0）说成f(z)在z0有极限。

由上述两个定义可见 ,关于复函数的极限概念 与实函数中的极限概念有极其类似之处 ，形成一种高度的统一。但是形式上相同,并不能说明这两个概念完全一样 。因此我们做题时要特别注意 , 定义(1.2)中由于z=x+iy ,趋向于z0=x0+iy0,相当于x→x0 ，y→y0是在二维空间进行的,而一元实函数极限中的x→x0是一维的。从一维到二维己经有了质上的飞跃 ,因此x→x0 ，y→y0比x→x0有更大的任意性。也就是说二维空间中定义1.2 要求z在G中要沿任意的路径、任意方向趋向z0。,并保证f（z）趋于同一数值A 。而在实函数中x→x0的方式 ,是在一维空间中进行 ,它从x0的两侧分别趋近于x0 ,当然无论是x→x0+,还是x→x0-,它们的极限值必须也是相等的 ,否则极限不存在.

实函数与复函数的统一性美不只是体现在极限方面，还有很多方面都具有高度的统一性，例如函数的连续性、函数的导数定义及微分定义在形式上都 具有统一的美，由于篇幅有限，在这里我就不一一列举了，只希望大家在以后的研究学习中要注意它们的差别所在，别因为统一性而弄混淆了。

复变函数的公式美

复变函数中有一个公式曾被大家评为世界上最美丽的公式，那就是欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ，原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。在几乎所有的复数课本中都提到了复数的三角形式。当x =π时，得到e、π 、i的“桃园三结义” ： eiπ =-1即eiπ +1=0 ,称为欧拉关系式。两边同时平方，得到e2iπ =1即e2iπ -1=0 ,又得到e-2iπ =1即e-2iπ -1=0。数学家克莱因认为 eiπ +1=0是整个数学中最卓越的公式之一。它漂亮简洁地把数学中五个最重要的数1，0，π ，e以及i联系在一起。有人称这五个数为“五朵金花”，这是因为它们在数学中处处盛开；也有人称这五个数为“五虎大将”，因为这个公式有“呼风唤雨”般的神通本领。欧拉竟然能将这五个最常用、最基本、最重要的量聚集在一个简约的式子中，真的很美妙。

在法国的发明宫中，有一个数学陈列室。其中，古代数学部分与近代数学部分的间墙上，就悬挂着这个公式eiπ =-1 。有这个公式，可以看出人类创造的数字、符号、算式是何等巧妙神奇地体现了数学中的奇异之美。现对这五个数作些简单介绍：

自然数1：它是整数的单位，是数字的始祖。它在数学中扮演了一个很重要的角色，可以这样说，如果没有数1，也就没有一切数。

中性数 ：它是正数与负数间的一个分界数，是坐标系的原点，是运动过程的起点。单个的0代表无，但在各种进制的数字里，只有它参与才能进位，例如：从1到9都是一位数字，而10便成了两位数字，即个位进到了十位。

圆周率π ：它是在科学中最著名和用得最多的一个数。1767年，德国数学家兰伯特首先证明了π 是无理数， 1794 年勒法证明了 是无理数， 1882 年德国数学家林德曼给出了π是超越数的严格证明。如今，用电子计算机已能计算π 的任意多位值。

自然对数底 e作为数学符号最先由欧拉在 1777 年使用的。这是欧拉（Eular）名字的第一个字母，后来人们确定用e来作为自然对数的底，以

此来纪念欧拉。以e为底的对数之所以叫做自然对数，是因为它能反映自然界规律的函数关系，因此在自然科学中，e的作用不亚于π。在微积分中以e为底时公式具有最简洁的形式。

虚数单位i：它来源于解二次方程x2+1=0 ，i是-1的平方根。 就是这样美妙一个公式，我们解题时用于转换，解题时方便简单多了。

复变函数的应用美

复变函数的美不仅仅是它的形式上的巧妙，还在于它在数学科学·自然科学和工程科学中有着广泛的应用，是解决流体力学、电磁学、热血和弹性理论中平面问题的有力工具。这充分说明了复变函数并不是如一些繁琐的数学问题研究那样高深难懂却完全脱离实际，最终成为空中楼阁。恰恰相反，复变函数很好地将理论性与实践性结合在了一起，用精确且富有技巧的数学理论工具，让一系列工程问题迎刃而解。下面我们来看一道关于电学例子：

我们知道，场内没有其他带电物体的平面静电场即使无源场也是无旋场。我们可以利用复变函数中的解析函数构造场E的复势。

因为E为无源场，所以divE=

𝜕𝐸𝑥𝜕𝑥

+

𝜕𝐸𝑦𝜕𝑦

=0，

从而我们知道在B内−𝐸𝑦𝑑𝑥+𝐸𝑥𝑑𝑦是某二元函数u(x,y)的全微分，即：

du x,y =−𝐸𝑦𝑑𝑥+𝐸𝑥𝑑𝑦

由于等值线u(x,y)=𝑐1上任一点处电场强度E的方向与等值线在该点处的切线方向相同，等值线就是向量线，也就是场E的电力线。因此称u(x,y)为该场的力函数。

又因为场E为无旋场，所以𝜕𝑥−

𝜕𝐸𝑦

𝜕𝐸𝑥𝜕𝑦

=0。

从而我们知道在B内−𝐸𝑥𝑑𝑥−𝐸𝑦𝑑𝑦也是某二元函数v(x,y)的全微分，即：

dv x,y =−𝐸𝑥𝑑𝑥−𝐸𝑦𝑑𝑦

所以v(x,y)是场E的势函数，等值线v(x,y)=𝑐2就是等势线。

综上所述，不难看出如果E是单连域B内无源无旋场，那么u与v也满足C-R方程，并且它们具有连续偏导数，所以，函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是B

内的一个解析函数，成为静电场E的复势。利用静电场的复势可以统一研究力函数和势函数，讨论电力线和等势线的分布，描绘出静电场的图像。（例子源于课本）

由此可见，复变函数在其它学科的广泛应用，学好复变函数，打牢基础，将为我们以后学专业课减轻负担。