湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-1：3.1空间向量及其运算第5课时

【学情分析】：

平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本节的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。 【教学目标】：

（1）知识与技能：能用坐标表示空间向量

（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算

（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。

【教学重点】：空间向量的坐标运算 【教学难点】：空间向量的坐标运算 【课前准备】：课件 【教学过程设计】： 教学环节 一．温故知新 平面向量的坐标运算 1．空间向量的直角坐标运算律 教学活动 设计意图 （1）若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则zA(a1,a2,a3)kixOjB(b1,b2,b3)yab(a1b1,a2b2,a3b3)， 二．新课讲授 ab(a1b1,a2b2,a3b3)， a(a1,a2,a3)(R)， （2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则注重类比学习，举一反三，在平面向量中有坐标运算，空间向量中也有，运算规律和结论的本质是一样的。 AB(x2x1,y2y1,z2z1)． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 2．数量积：即 ab=a1b1a2b2a3b3 3．夹角：

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a1b1a2b2a3b3abcosab． 222222|a||b|a1a2a3b1b2b34．模长公式：若a(a1,a2,a3)， 222则|a|aaa1a2a3． 5．平行与垂直： a//ba1b1,a2b2,a3b3(R) abab0a1b1a2b2a3b30 6．距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)， 2则|AB|AB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2， 或dA,B(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2． 例1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分点，求BE1与DF1所成的角的余弦值。 解：不妨设正方体的棱长为1，分别以DA，DC，A1D1F1E1B1C1三．典例讲练 将空间向量的运A算与向量的坐标B间直角坐标系Oxyz， 表示结合起来，不31则B(1,1,0)，E1(1,,1)，D(0,0,0)，F1(0,,1) 仅可以解决夹角44和距离的计算问11题，而且可以使一所以BE1(0,,1)，DF1(0,,1) 44些问题的解决变得简单。 151717|BE1|，|DF，BE1DF1 1|CDD1为单位正交基底建立空D4416F所以cosBE1,DF115， 17A1D1C1B1E因此，BE1与DF1所成角的15余弦值是 17例2．如图，正方体

AOCB- 2 -

ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EFDA1 证明：不妨设正方体的棱长为1，分别以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz， 则E(1,1,111111)，F(,,1)所以EF(,,)，222222又A1(1,0,1)，D(0,0,0)，所以DA)， 1(1,0,1所以EFDA10， 因此EFDA1，即EFDA1 四．练习巩固 课本P105 练习 1，2，3 1．如图在正方体AC1中，M、N分别是AA1、BB1的中点，求直线CM与D1N所成的角。 五．拓展与提高 ABMDNCA1D1C1 B12．已知三角形的顶点A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2），这个三角形的面积是（ ） A.101 2 B.101 C.2101 D.101 4学习注意触类旁通，举一反三，引进向量的坐标运算式把定性的向量定量化的有效办法。这样可以把向量问题转化为代数问题 3．已知点A（1，2，3），B=（2，1，2），P（1，1，2）在直线OP（或延长线上）取一点P，使SASB最小，求S的坐标及最小值. 解：设S（k,k,2k)为OP上一点，则SB=(1－k,2－k,3－2k) SB=(2－k,1－k,2－2k)

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∴SASB=(1－k)(2－k)+(2－k)(1－k)+(3－2k)(2－2k) 422)－ 3342448∴k=时，(SASB)min =－此时OS=（,,） 33333=6k2－16k+10=6(k－六．小结 七．作业 练习与测试： （基础题）

1．已知向量a(0,2,1),b(1,1,2),则a与b的夹角为（ ）

A．0° B．45°

C．90° D．180°

1．空间向量的直角坐标运算律 2．数量积与夹角 3．模长与距离 4．平行于垂直 课本P106 习题3.1，A组 第8、9、11题 2．已知a(1,0,2),b(6,21,2), 若a//b,则与的值分别为（ ）

A．,1111 B．5，2 C．, D．-5，-2

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（中等题）

3.已知A(3,1,3)，B(1,0,5)，求： （1）线段AB的中点坐标和长度；

（2）到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件 解：（1）设M是线段AB的中点，则OM∴AB的中点坐标是(2,3,)，

13(OAOB)(2,3,)． 2232AB(2,4,3)

|AB|(2)242(3)229．

（2）∵ 点P(x,y,z)到A,B两点的距离相等，

则(x3)2(y1)2(z3)2(x1)2(y5)2(z0)2, 化简得：4x8y6z70,

所以，到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件是

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4x8y6z70．

点评：到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点

P的坐标x,y,z满足的条件4x8y6z70的系数构成一个向量a(4,8,6)，发现与

AB(2,4,3)共线。

4,已知三角形的顶点是A(1,1,1)，B(2,1,1)，C(1,1,2)，试求这个三角形的面积。

1分析：可用公式S|AB||AC|sinA来求面积 2解：∵AB(1,2,2)，AC(2,0,3)，

222∴|AB|12(2)3，|AC|(2)20(3)213，

ABAC(1,2,2)(2,0,3)264，

ABAC4413， ∴cosAcosAB,AC39|AB||AC|31313101 2sinAsinAB,AC1cosAB,AC39∴所以 SABC1|AB||AC|sAin2101． 25．已知a(cos,1,sin),b(sin,1,cos)，则向量ab与ab的夹角是 （ ）

A．90° B．60°

C．30° D．0°

6．已知a(1t,1t,t),b(2,t,t)，则|ab|的最小值是 （ ）

A．1155355 B． C． D．

55557．已知P3cos,3sin,1和Q2cos,2sin,1，则PQ的取值范围是（ ） A.0,5 B.0,25 C.1,5 D.1,5

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