有理数 例题解析

有理数运算是初中数学中的基础运算，熟练掌握有关运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证。下面介绍一些这方面的技巧。

1. 归类运算

进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷，如整数与整数结合、分数与分数结合、分母相同的数结合等。

110.532.75742。 例1 计算：

110.532.75742 解法1：

110.52.75372 412.25442。 110.532.75742 解法2：

110.532.75742113270.50.75422。

评析：解法1是小数与小数结合，解法2是整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题。同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法。 2. 凑整求和

将相加可得整数（或整十、整百、整千等）的数放在一起进行运算（其中包括互为相反数的两数相加），可以降低解题难度，提高解题效率。 例2 计算：19299399949999。 解：19299399949999

20130014000150000120300400050000454320454316.

评析：在有理数的运算中，为了计算的方便，常把参与运算的数凑成整一、整十、整百、整千等，这样便于迅速求解。 3. 变换顺序

在有理数的运算中，适当改变运算顺序，有时可以减少运算量，在具体运算过程中，技巧是恰到好处地运用交换律、结合律和分配律等运算律简化运算。

512746例3 计算：127712。 512741277612 解：451276127712

评析：运算前要观察、分析参与运算的数的特征、排列顺序等，适当交换各数的位置，从而达到简化运算、快速解题的目的。 4. 逆用运算律

在处理有理数的运算时，若能根据题目所显示的结构、关系特征加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，轻松求解。

例4 计算：17.4837174.81.98.7488。 解：17.4837174.81.98.7488

17.483717.48101.917.484417.483717.481917.484417.483719441748.

7215461277 123117 4107。

评析：很明显，通过灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率。

5. 巧拆项

把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。

20031001100120041002。 例5 计算：

200310012005100120041002 解：

20031001200411002120041002200310012003100120041002200110032004

2005

评析：对于这些结构复杂的题目，用常规的方法不易解决。解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，巧妙地解决问题。 6. 变量代换

通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算量，还有利于寻找解题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁的作用。

12613924350.1257122611730.125739243。 3754例6 计算：

1261a73，b0.125，c924375，则 解：设

712613924350.1257122611730.125739243 3754acbabca aabcabca1

7

评析：此题乍一看比较复杂，但若仔细观察，便会发现整个式子可分为三部

712613923、0.125、75，因此，采用变量代换可减少计算量。 分：4 7. 分组搭配

观察所求算式的特征，巧妙地分组搭配处理，可以简化运算。 例7 计算：2345678966676869。 解：2345678966676869

23456789666768690000

评析：这种分组运算的过程，实质上为巧妙地添括号或去括号的过程。 8. 倒序相加减

在处理有理数的加减运算时，有时根据所求式子的结构，采用倒序相加减的方法使问题简化。 例8 计算：

112123123425859123344455556060 6060 解：把原式括号内各项倒序后，得

121321432121595823344455556060。 6060将上式和原式相加，得

123458591770.

11770885∴原式=2。

评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可“凑整”后求和，从而避免了复杂的运算。 9. 添数配对

例9 计算：

111921993199941999951999996199999971999999981999999999。

解：添上987654321，依次与各数配对相加，得

20200210321042109。

34920200210210210987654321 ∴原式

222222222045

评析：添数配对实质上也是一种“凑整”运算。

“透视生活中的有理数”例题解析

2222222175

有理数知识是初中数学中最基本也是最重要的内容之一。随着课程改革的进一步深入，在各地中考试题中出现了许多涉及有理数知识的新颖题型，现列举部分典型试题加以归类分析，希望对同学们有所帮助。 1. 考查基本概念

例1 气温升高1℃记作+1℃，气温下降6℃记作__________℃。

例2 吐鲁番盆地低于海平面155m，记作-155m；福州鼓山绝顶峰高于海平面919m，记作_________m。

解析：以上两例考查的知识起点较低，考查了利用正负数表示具有相反意义的量这一基本知识。例1应填6，例2应填+919。

例3 2004年12月26日，印度洋海域发生强烈地震并引发海啸，某市中小学师生纷纷捐款捐物，为灾区早日重建家园奉献爱心。全市中小学师生共捐款202655.74元，这一数据可以用科学记数法表示为_______元。（结果保留4位有效数字）

例4 太阳能是一种环保型新能源，据科学家统计，平均每平方千米的地面一年从太阳上获得的能量，相当于燃烧130000000kg煤所产生的能量，用科学记数法表示这个数是__________kg。

解析：以上两例考查了近似数、有效数字及科学记数法等基本知识。例3以印度洋海啸为背景，对同学们渗透了奉献爱心的教育，答案是2.02710。例4介绍了太阳能，让同学们在做题中增加了科普知识，答案是1.310。两例如出一辙，充分体现了数学贴近生活的特性。 2. 考查基本运算

例5 “神舟“五号飞船返回舱的设计温度为21℃4℃，该返回舱的最高温度是______℃。

解析：只要知道21℃4℃表示温度值是在21℃-4℃到21℃+4℃之间，就可以确定本题应填25。

例6 磁悬浮列车是一种科技含量很高的新型交通工具，它有速度快、爬坡能力强、能耗低等优点。它的每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位平均能耗的

173，是汽车每个座位平均能耗的10。那么，汽车每个座位的平均能耗是飞机每

85个座位平均能耗的（ ）

3A. 7

解析：本题以高新科技磁悬浮列车为载体，着重考查同学们的数据整理能力，

7B. 3 10C. 21 21D. 10

110103721，应选C。 汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的

3. 考查估算能力

例7 一批货物总质量为1.410kg，现要运走这批货物，下列运输工具中比

较合适的是（ ） A. 一艘万吨级巨轮 B. 一架飞机

C. 一辆汽车 D. 一辆板车

例8 小明的妈妈为了奖励小明在学习中取得的进步，给小明买了一个新文具盒，你估计这个文具盒的厚度约为3________。（填上合适的长度单位）

解析：以上两例从不同角度考查了同学们的估算能力。例7中货物的总质量为1.410kg1.410t，即为1.4万t，那么比较合适的运输工具是万吨级巨轮，应选A。例8以同学们非常熟悉的文具盒为话题，很容易估计文具盒的厚度约为3cm。

【练一练】

1. 冬季的某日，上海的最低气温是3℃，北京的最低气温是5℃，这一天上海的最低气温比北京的最低气温高______℃。 2. 若家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，则冷冻室的温度为（ ）

A. 26℃ B. 18℃ C. 26℃ D. 18℃ 3. 据苏州市红十字会统计，2004年苏州市的无偿献血者总量为12.4万人次，已连续6年保持全省第一。12.4万可以用科学记数法表示为（ ）

477

A. 1.2410

4

B. 1.2410

5

C. 1.2410

6 D.

12.4104

4. 标准篮球场的长是28m，宽应是（ ）

A. 1m B. 15m C. 68m

4 D. 34m

3 5. 地球赤道长约为410km，我国最长的河流——长江全长约6.310km，赤道长约为长江长的（ ） A. 7倍 B. 6倍 C. 5倍 D. 4倍 6. 小舒家的水表如图1，该水表的读数为_______m。（精确到0.1）

3

参考答案： 1. 8 2. B

3. B

4. B

5. B

6. 1476.5

“有理数新情景应用题”例题解析

以现实生活为背景的应用问题，是中考的热点。解答这类题没有现成的模式可套用，需要结合实际思考和分析。这类新情景应用题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料是关键；（3）注重考查问题的转化能力。本文以2006年中考题中的有理数运算新情景应用题为例，说明如下：

例1 （1）（山西）北京与纽约的时差为-13h（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚），如果现在北京时间是15：00，那么纽约时间是____________。 （2）（扬州市）某地一天早晨的气温是-7℃，中午上升了11℃，午夜又下降了9℃，则午夜的气温是（ ）。

A. 5℃ B. ?5℃ C. ?3℃ D. ?9℃

解析；（1）因15(13)2，故纽约时间为2：00。（2）依题意得(7)1195，故选B。

评注：近几年的中考题更加关注我们的现实生活，因而常常会给出一定的现实背景，让同学们从中去理解实数的概念，运用实数的运算解决简单的实际问题。

例2 （绵阳市）我们常用的数是十进制数，而计算机处理程序中使用的是只有数码0和1的二进制数。这两者可以相互换算，如将二进制数1101换算成十进制数应为1212021213，按此方式，将十进制数25换算成二进制数应为_______。

解析：根据题中提供的范例，把握问题的关键，并进行逆向思维，“除2取余”，252等于12余1；1226，62=3，32等于1余1，倒过来写可得11001。

评注：此题要求会运用法则进行简单计算，关键是对运算法则的掌握。

例3 （绍兴市）邮政部门规定：信函重100g以内（包括100g）每20g贴邮票0.8元，不足20g的部分以20g计算；超过100g，先贴邮票4元，超过100g的部分每100g加贴邮票2元，不足100g的部分以100g计算。 （1）若要寄一封重35g的信函，则需贴邮票多少元？

（2）若寄一封信函贴了6元邮票，问：此信函可能有多重？

（3）七（1）班有9位同学参加环保知识竞赛，若每份答卷重12g，每个信封重4g，请你设计方案，将这9份答卷分装在两个信封中寄出，使所贴邮票的总金额最少。

解析：（1）35g=（20+15）g，故贴邮票0.821.6（元）。 （2）在大于100g且小于等于200g范围内均可。 （3）分装情况如表1。

表1 份数 质量/g 总金额/元 1 8 12+4=16 96+4=100 0.8+4=4.8 2 7 24+4=28 84+4=88 1.6+4=5.6 32103 6 36+4=40 72+4=76 1.6+3.2=4.8 4 5 48+4=52 60+4=64 2.4+3.2=5.6 故9份答卷分1份、8份或3份、6份装，总金额最少，为4.8元。

评注：计算是研究现实世界上数量关系的最基本的数学方式，它可以通过数量关系准确、清晰地揭示问题的本质，认识现实生活中的数学现象。

例4 （济宁市）随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场。一水果经销商购进了A、B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售。预计每箱水果的赢利情况如下页表2。

表2 A种水果/箱 B种水果/箱 甲店 11元 17元 乙店 9元 13元 有两种配货方案（整箱配货）： 方案一：甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱；

方案二：按照甲、乙两店赢利相同配货，其中A种水果甲店_____箱，乙店_______箱；B种水果甲店______箱，乙店_______箱。

（1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能赢利多少元。

（2）请你将方案二填写完整（只填写一种情况即可），并将你填写的方案二与方案一作比较，哪种方案赢利较多？

解析：（1）按照方案一配货，经销商赢利： 51159517513250（元）。

（2）答案不唯一，如第一种情况填2，8，6，4；第二种情况填5，5，4，6；第三种情况填8，2，2，8。

第一种情况赢利：(211176)2248（元）； 第二种情况赢利：(511417)2246（元）；

第三种情况赢利：(811217)2244（元）； 方案一比方案二赢利多。

评注：本题的条件较多，解题时要分清楚每个量之间的关系，还要注意分情况讨论。

“用运算律简化有理数计算”例题解析

1. 对加法，要注意用交换律和结合律 例1. 计算：

12411 23523

12411 解：原式23523

112142233541515

例2. 计算：

66234123.2328.77181111

66232(4123.8.77)23181111 解：原式

21(50)(5) 24

例3. 计算：

37211223483 23372112324833 解：原式21 24

2. 对乘法，也要注意用交换律和结合律 例4. 计算：

1313(246)1041 3

103124631041 解：原式

110324631041 6

例5. 计算：

21.27510874

791508.947 解：原式

91750.8479 1

3. 还要注意用分配律 例6. 计算：

753.6395.6181459618

537181818(145.6395.6)9618 解：原式 (14153)(3.95145.)6215 17

例7. 计算：

315317606060 5212777

31731560777 解：原式52123176052121736060605212 29

“聚焦有理数运算”例题解析

有理数混合运算的关键是运算顺序。 1、三个层次

有理数的运算顺序是：

（1）从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；

（2）从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的；

（3）从左向右：同级运算，按照从左到右的顺序进行。

2、四个原则

（1）整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算；

（2）简明性原则：计算时尽量使步骤简明，尽量运用运算律简便计算； （3）口算原则：尽量运用口算；

（4）分段原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。

11145022()(10.5)[2(3)2]53例1 计算：。

解 原式

111504()(10.5)(29)53 （先算乘方） 111150()(7)456 （化除为乘，同时算小括号里的） 1111501456 （先定符号，再算绝对值） 1121212263。

本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算再相加。

3、五个技巧

（1）归类组合：将不同类数（如分母相同或易于通分的数）分别组合，或将同类数（如正数或负数）归类计算；

（2）凑整相消：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如相反数）相消；

（3）分解约简：将一个数分解成几个数和的形式，或分解为它的因数相乘的形式，将互为倒数的数或有倍数关系的数约简；

（4）倒序相加：利用运算律，改变运算顺序，简化计算；

（5）活用运算律：正难则反，逆用运算定律以简化计算。如乘法分配律

a(bc)abac，反过来，abaca(bc)也成立，有时逆用也可使运算简便。

例2 计算：2462000。

分析 将整个式子记作S2419982000，将这个式子反序写出，得 S2000199842，两式相加，再分组计算。 解 （1）令S2419982000，反序写出，得S2000199842，两式相加，得

2S(22000)(41998)(19984)(20002)

2002200220021000个2002

200210002002000 所以S1001000。

1612311(84)2.52()242523412例3 计算：（1）；

311313314()()()()15215215。 （2）2161632(32)25化成假分数较繁，将其写成25的形式，对分析：将

12311()2423412，则使用乘法分配律更为简捷。

32解 （1）原式

(32116112311)()6.25()2425322341216.2512161822501.026.25124.73

（2）原式

3113133142152152153111314()21515153101215 

4、三类转化

（1）加减法互为逆运算，借助相反数，加法和减法运算可以统一为加法运算，其关键是注意两个变：

①变减号为加号；

②变减数为其相反数。另外，被减数与减数的位置不变；

（2）乘除互为逆运算，借助倒数，有理数的除法可以转化为乘法，转化的法则是：除以一个数，等于乘以这个数的倒数；

（3）乘方运算，根据乘方意义将乘方转化为乘积形式，进而得到乘方的结果（幂）。

因此，在运算时应把握“遇减化加，遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量大带来的一些混乱，同时也有助于抓住数学内在的本质问题。

在归纳为三类转化：一类是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式。

掌握了有理数的符号法则和转化方法，有理数的运算就能准确、快速地解决了。

例4 计算：

（1）(6)(5)(9)(4)(9)；

11(2)1(4)24（2）。

解 （1）原式

(6)(5)(9)(4)(9)6594915

54()(4)825（2）原式

5、会用概念和性质

如果a，b互为相反数，那么ab0，ab；如果c，d互为倒数，那么

cd1，c1d；如果|x|a(a0)，那么x=a或－a。

例5 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值等于3，试求解：由a，b互为相反数，得ab0。由c，d互为倒数，得cd=1 又|x|2，所以x=2或－2。 因此x(abcd)x(ab)当x=3时，

原式xx19315 当x=－3时，

2原式xx19(3)111 练习

2x2(abcd)x(ab)2000(cd)2001的值。

22000(cd)2001x2x1

1. (5.1)3.26.48.36.7 2. 1.32.643.31.36

3. 250.5(25)0.7525(0.25)

5)(16)374. 12411124513.835365. 6 123400740084009200520052005200520052005。 6.

(207答案：

1. 分类相加，－6.7 2. 凑整，－2

3. 逆用分配律，25

4. 拆分并利用

5. 变换顺序，－7

6. 倒序相加或提公因式，4009。

“有理数计算题”例题解析

进行有理数的计算时，如果能根据运算律及题目具体特点，灵活选择运算方法，那么既可以拓宽解题途径，又能提高运算能力，本文特举几例说明。 例1 计算：

343(3.2)5(6.8).7 7

(ab)cacbc，123537

解：换位凑整

3435(3.2)(6.8) 原式77 3435[(3.2)(6.8)]77 9(10)1.

例2 计算：(25)(32)1.25. 解：拆数凑整 原式25321.25

25481.25(254)(81.25)10010 1000.

例3 计算：(1.9)(1.4)(3.6)(8.9)(10.1)(20.8). 解：分组凑整

原式[(1.9)(10.1)(8.9)][(1.4)(3.6)(20.8)](20.9)(25.8)4.9.

例4 计算：

347234(5.9)(13)4.1.5 5

解：按类分组

3474[(23)(13)][(5.9)(4.1)]55 原式

2(10)(10)521220537.5 12

例5 计算：

133(0.75)(3)(5)()884

13335原式4883434

31335488108218.2

11112.例6 计算：462

解：直接应用分配律

11112121262 原式4

3261.

例7 计算：

解：逆向应用分配律

312544 原式

253112525.424 125125.2

例8 计算：

757181.4563.956. 9618

解：综合应用分配律

757181818(1.453.95)6618 原式9

141571521.

例9 计算：6617633(68)22126. 解：变形应用分配律

原式6617666(34)6642

66(1763442)66100 6600.

“有理数乘除法” 例题解析

近年来，各地的中考试卷中均出现了一些与有理数乘除法有关的新题型，考查的形式也越来越灵活，下面我们就来见识一下。 1. 基本运算型

例1. （1）计算(2)3所得的结果是（ ）

A. 5

B. 6

C. 5

D. 6

（2）3的倒数是（ ）

1A. 3

1B. 3

 C. 3 D. 3

解析：这是一道比较基础的题目，考查了最基本的乘除运算、倒数的概念。 （1）(2)36，所以选D。

1(3)13，所以选B。

（2）3的倒数是

评注：注重对基础知识、基本技能的考查是新课程改革下中考命题的基本要求，这道题体现了对数学本质的考查，既不刻意求难，也不过分形式化。 2. 信息迁移型

例2. 十六进制是逢十六进位的记数法，采用整数0~9和字母A~F共16个符号，这些符号与十进制数之间的对应关系如表1。

表1 十六0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 进制 十进0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 制 例如，十六进制中，E+F=1D，则AB等于（ ） A. B0 B. 1A C. 5F D. 6E

解析：由于十进制是逢十进位，所以十六进制应是逢十六进位。题中给了一个例子，在十六进制中，EF141529161316D1D，由此我们可以得到AB1011110616146E，故选D。

评注：这是一道新题目，我们要体会各种进制之间的相同点与不同点，同学们解答时应以双向的思路来思考这类问题。 3. 规律探究型

例3. 某种细胞开始有2个，1h后分裂成4个并死去1个，2h后分裂成6个并死去1个，3h后分裂成10个并死去1个……按此规律，5h后细胞存活的个数是（ ）

A. 31 B. 33 C. 35 D. 37

解析：我们应先找出细胞分裂的规律。1h后存活的细胞有2213（个）；2h后存活的细胞有3215（个）；3h后存活的细胞有5219（个）。后一小时存活的细胞数是前一小时存活的细胞数的2倍减去1。所以，4h后存活的细胞有92117（个），5h后存活的细胞有172133（个）。故选B。 例4. 有一列数a1,a2,a3,an，从第2个数开始，每个数都等于1与它前面那

1a1,则a20072个数的倒数的差。若等于（ ）

1C. 2

A. 2007 B. 2 D. 1

解析：这道题主要考查有理数的加减运算和倒数的有关知识。计算可得这一

111,1,2,,1,2,,1,22列数分别为2…。于是不难发现，这一列数是按照2依次循环的。

因为2007能被3整除，所以a2007等于2。故选B。

评注：例3和例4形式多样，但是也容易理解，具有较强的探索性，其求解

过程反映了观察、实验、猜测、推理等活动方式。因此同学们既要重视基础知识的学习，又要加强这种题型的训练和研究，切实提高分析问题、解决问题的能力。 4. 知识渗透型

例5. 先阅读下列材料，然后解答问题。

从A、B、C 3张卡片中选2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素组合，不同的选法共有

2C332321（种）。

一般地，从m个元素中选取n个元素（nm）组合，记作

Cnmm(m1)(mn1)n(n1)321。

例如，从7个元素中选取5个元素组合，不同的选法共有

C57765432154321（种）。

问：从某个10人的学习小组中选取3人参加活动，不同的选法共有多少种？ 解析：这是高中数学中的组合问题，出现在中考试卷中却并没有超出范围的感觉。求解时只要通过阅读题目中提供的解题方法即可简捷解答。

通过阅读可知，从10人中选取3人参加活动，不同的选法共有

3C101098120321（种）。

评注：我们初看题目，会感觉比较难，但只要认真阅读题目，通过模仿其运算，就很容易求解，这也是知识渗透型题目的一个特点。同学们在答题时不必害怕，要有战胜困难的勇气和信心。

在数学学习中，我们不仅要重视知识的形成过程，还要十分重视挖掘数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法。从初一开始养成在问题解决中自觉运用数学思想方法的意识，有着不可估量的意义，本文谈谈有理数学习中几种数学思想的体现。 一. 建模思想

数学建模是指根据具体问题，在一定假设条件下找出解决这个问题的数学框架，求出模型的解，并对它进行验证的全过程。

例1. 一次团体操排练活动中，某班45名学生面向老师站成一列横队。老师每次让其中任意6名学生向后转（不论原来方向如何），能否经过若干次后全体学生都背向老师站立？如果能够的话，请你设计一种方案：如果不能够，请说明理由。

分析：问题似乎与数学无关，却又难以入手。注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量有关，向后转有可想象为进行一次运算，或者说改变一次符号。我们能否设法联系有理数的知识进行讨论？

让我们再发挥一下想象力：假设每个学生胸前一块号码布，上写“＋1”，背后有一块号码布，上写“－1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45个“＋1”的“乘积”是“＋1”。如果最后全部背向老师，则45个“－1”的“乘积”是“－1”。

再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”。我们也设想老师不叫“向后转”，而称这6名学生对着老师的数字都“乘以（－1）”。这样问题就解决了：

每次“运算”乘上了6个（－1），即乘上了（＋1），故45个数的“乘积”不变，始终是（＋1）。

所以要乘积为（－1）是不可能的。

一道难题，通过构建数学模型––––被有理数的简单的运算别出心栽地解决了。

例2. 一艘轮船从A岛出发，向北偏东40度的方向航行，行至B处发现前方有暗礁，转向北偏西30度的方向航行至C处，欲使轮船回到原来的航向，轮船应（ ）

A. 顺时针转10度 B. 逆时针转10度 C. 顺时针转70度 D. 逆时针转70度

分析：按常规思路，本题需待到学习了平行线有关知识后方能解答，但能由顺时针转，逆时针转联想到两个具有相反意义的量，如规定轮船逆时针转为“＋”，则轮船顺时针转为“－”，这样运用有理数加法较易得出正确答案为C。 二. 数形结合思想

由于数轴的出现，使有理数与直线上的点联系起来。实现数和形第一次亲密接触。数有了形而形象，形有了数而精确。 例3. 已知

，

，

，试用“<”将

，，

，连接起来。

分析：本题可用特值法猜测大小关系，但这样只能停留在猜想层面。缺乏严密的推理。利用数轴则可形象，直观看出他们的大小关系。

解：由题意得，为正数，为负数，且的绝对值大于的绝对值，在数轴上表示如下：

，，

，

由图象可知：

例4. 有一座三层楼房不幸起火了，一名消防队员搭梯子准备爬上三楼抢救物品。当他爬到梯子正中一级时，二楼的窗口喷出火来，他就往下退了5级；等到火过去后，他又爬上了9级，这时楼顶有两块砖掉下来，他又往后退了3级，躲过砖块后他又爬了8级，这时他离最高一层还有2级，这个梯子共有几级？ 分析：本题可以通过建立具有相反意义的量，用有理数的加法解答。也可以通过建立数轴，用线段示意图形象解答。如图：

梯子级数为：

三. 分类思想

负数的出现使数得到再一次扩展，也使不少结论在不同的情形下出现截然不同的结论。如对题设中出现“表示有理数”这类条件往往需分类考虑，又如绝对值得到正数，平方（偶次方）得正数的数有两个。因此得全面的考虑问题。

例5. a为有理数，比较a与的大小关系。

分析：显然a与的大小的关系由a的情况确定。利用a与互为倒数关系，可以在数轴上找到三个分点：－1，0，1，然后分区间讨论。 解：如图：

（1）当时，则有

（2）当时，则有

（3）当时，则有

（4）当时，则有

（5）当时，则有

例6. 已知a、b、c都不等于零，求的值

分析：由于正数、负数、零的绝对值的差异，将导致本题结果的多样性。a、b、c三数均可正可负，故有8种不同情形，分别是：

①＋，＋，＋；②＋，－，＋；③＋，＋，－；④－，＋，＋；⑤－，－，＋；⑥－，＋，－；⑦＋，－，－；⑧－，－，－。 本题又可根据式子的对称性按负数的个数简单分为： ①中有0个负数；②有1个负数； ③有2个负数；④有3个负数

说明：可以按不同标准分类，但应做到不重不漏。 四. 转化思想

有理数充分体现了“转化”的思想。如利用相反数，把减法转化为加法；利用倒数，把除法转化为乘法。这种应用已学过的知识去研究新问题，把“未知”转化为“已知”的方法是学习数学的基本方法之一。

纵观近年各地中考题，“用数学的意识”及开放性的问题受到普遍关注。涉及应用数学知识解决联系实际问题的“应用题”数量增多，现以有理数为例，举例如下。

例1. M国股民吉姆上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 每股涨跌 一 +4 二 +4.5 三 -1 四 -2.5 五 -6 六 +2 （1）星期三收盘时，每股是多少元？

（2）本周内每股最高价多少元？最低价多少元？

（3）已知吉姆买进股票时，付了0.15%的手续费，卖出时还需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果吉姆在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？

分析：每天每股价格是买进时每股价格与当天及该天前各天涨跌价的代数和；收益是卖出时的成交额除去手续费和交易税及买进所付的总额。 解：（1）星期三收盘时，每股价为：

（元）

（2）本周内每天每股的价格为： 星期一：星期二：星期三：星期四：星期五：星期六：

（元）

（元） （元） （元）

（元） （元）

故本周内每股最高价为35.5（元）；最低价是每股26（元）。 （3）由（2）知星期六每股卖出价是28（元）。共收益

（元）

所以吉姆共收益889.5元。

例2. 出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的人民大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下（单位：千米）：

（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车地点的距离是___________千米。

（2）若汽车耗油量为a公升/千米，这天下午共耗油___________公升。 解：（1）

所以小李距下午出发地点的距离是0千米。（即回到原出发地） （2）

所以这天下午汽车共耗油118a公升。

评注：耗油量只与行驶的距离有关，与行驶的方向无关，因此（2）小题要求各数据绝对值的和。而（1）小题与方向有关，则应求代数和。

例3. 有一种“二十四点”的游戏，其游戏的规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只有一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24。

例如1，2，3，4可作运算：应视作相同方法的运算）。

。（注意上述运算与

现有四个有理数3，4，-6，10。运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下： （1）_______________________ （2）_______________________ （3）_______________________

另有四个数3，-5，7，-13。可通过运算式（4）_______________________使其结果等于24。 参考答案： （1）（2）

（3）（4）

评注：本题属结论开放性试题，对能力的要求较高，解这类试题，一般要经过多次的尝试，探索。解这类题的能力一定要从平时做起。

有理数的加法运算律包括加法交换律和结合律： 加法交换律：

加法结合律：

恰当使用加法运算律可使运算简便，且可以推广到三个或三个以上的有理数。常用的方法有： 一、同号的数可先加，称为“同号结合法”

例1. 计算：解：原式

说明：

（1）把算式写成省略加号和的形式；

（2）分类结合时，各部分之间用“＋”号连结。

二、互为相反数的两个数先相加，称为“相反数结合法”

例2. 计算：解：原式

三、几个数相加得整数时可先知，称为“凑整结合法”

例3. 计算：解：原式

四、同分母的分数可先加，称为“同分母结合法”

例4. 计算：

解：原式

说明：

（1）便于通分的加数可结合；

（2）当同一个算式中既有分母，又有小数时，一般要统一化为分数或小数（选择计算简便的那种形式）后，再计算。 练习：计算

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

1. 正负归类 例1. 计算：

解：

2. 凑零归类

例2. 计算：

解：

3. 小数与分数互化

例3. 计算：

解：

4. 拆带分数

例4. 计算：

解：

5. 同分母归类

例5. 计算：

解：

6. 前后相消

例6. 计算：

解：

7. 简易方程法

例7. 计算：

解：不妨设

等式两边同乘以128，得：

即

所以

所以

以上介绍了有理数加法的几种运算技巧，对于一个式子，如有加法也有减法，可根据有理数的减法法则把减法转化为加法，写成代数和的形式，然后再进行计算。

“小数与有理数”例题解析

教科书中说分数是有理数，同学们也许要问：小数是有理数吗？我们知道，某些小数可以化成分数，那么这些小数肯定也是有理数。但是否所有的小数都能化成分数呢？小数的分类如下：

下面我们就来分类探讨上面的问题。 1. 有限小数 有限小数是指小数点后数位有限的小数，这类小数可以化为分数，并且很简单。 例1. 将下列小数化成分数。

（1）

（2）0.357。 解析：有限小数化为分数的方法我们小学时就会了，但要注意，能化简时要化成最简分数。

（1）

（2）。

2. 无限循环小数中的纯循环小数 纯循环小数是指从十分位开始循环的小数。

例2. 把纯循环小数解析：由于

化为分数。

可以写成0.276276…，将该数乘以1000，则得到276.276…

==276。

，所以可得

所以=。

总结：整数部分为0的纯循环小数，若其循环节有n位数字，则分母写成各位数字全是9的n位整数，分子写成该循环节，即可化为分数。 3. 无限循环小数中的混循环小数 混循环小数是指从十分位后面的某一位数开始循环的小数。

例3. 把循环小数化成分数。

解析：观察可知然后通分相加即可。

=

==，按前面所讲的方法化成分数，

=

=。

4. 无限不循环小数 这类小数数位无限，且没有循环节，无法化成分数。如圆周率。 通过以上探究我们可以知道，有限小数、无限小数中的纯循环小数和混循环小数都可以化为分数，它们都是有理数，而无限不循环小数不能化为分数，故它不是有理数。