卷积运算

卷积运算

信号的卷积运算是信号处理领域中最重要的运算之一。随着对信号与系统理论研究的深入，特别是计算机技术的不断发展，不仅使卷积方法在很我领域得到了很广泛的应用，而且卷积运算的逆运算---反卷积的问题也受到了越来越大的重视和应用。

比如，在语音识别、地震勘探、超声诊断、光学成像、系统辨识及其他诸多信号处理领域中，甚至可以说卷积与反卷积的问题无处不在，而且很多的问题，都是有待深入研究的课题。

所以，大家要切实理解和掌握好卷积分运算的各个方面，打好牢固的基础。下面，我们来看看卷积的定义是怎样的。

信号的卷积积分（简称卷积），定义为：

简记为

，其中的星号是卷积运算符。注意不要与我们在编写计算机程序时所用的

乘法的表示符号搞混了。在信号处理课程里，乘法往往是用居中的点来表示的，或者干脆不写居中的点，而直接将要进行乘积运算的信号(包括直流信号---它是一个常数)连在一起写。

信号的卷积运算对应着一定的物理背景，这要在我们进一步学习了关于系统的激励与响应的关系之后，才能更深入地理解。

不仅如此，信号的卷积运算还对应着一定的几何解释。从定义式我们可以看出：(1) 在积分式中，信号自变量改变了符号，这对应在几何波形上，就是将信号进行了反褶变换；(2) 并且，信号f2的波形位置与积分变量的取值有关，积分变量在积分限内的不断变化，将导致信号的波形发生移动，即是对它不断进行平移操作；(3) 最后，每当信号处在一个新位置，都要与信号f1相乘，且依据积分的定义，要将这些乘积加起来，而其结果实际上对应着两信号波形相交部分的面积。所以，卷积运算可以用几何图解方式来直观求解。

下面我们来说明如何用它的几何意义来求解两信号的卷积。

将信号的自变量改为，信号变为。对任意给定的，卷积的计算过程为：

(a) 将 关于ｒ进行反褶得到 ；

(b) 再平移至ｔ0得到；

(c) 与相乘得到 ；

(d) 对ｒ进行积分得 ，即 ；

不断变化，就可以得到s(t)。

从上面的计算步骤可以看出：卷积计算的几何求解可以通过对信号进行\"反褶、平移、相乘、积分\"等运算来完成。下面我们以一个实例进一步阐述信号之间卷积运算过程的几何解释。

例：下面是矩形脉冲信号e(t)的波形和三角信号h(t)的波形，试根据卷积运算的

几何解释求它们的卷积。

矩形脉冲信号e(t)

三角脉冲信号h(t)

解：下面按照卷积运算的几何解释以图解方式来求解。

(1) 首先将h(t)反褶

(2) 然后将h(t)沿时间t轴从左向右平移

(3) 在平移过程中，将反褶后的h(t)与e(t)相乘相加(积分)

根据h(t)与e(t)之间的位置关系，分阶段求积分结果。也就是两信号波形相交部分的面积随时间变换的函数关系。

(a)

这时，两个信号的波形没有相交，也即两信号在此区间内的卷积为零。

(b)

在此区间内，两信号相交的部分组成一个三角形。在确定了积分的上限和下限后，可以计算出相应的卷积结果如下：

上图中的黄色三角形表示两信号的相交部分，其面积随时间的变化关系即为卷积在此区间内的结果。

(c)

在此区间内，两信号相交的部分组成了一个梯形，该梯形的面积随着三角波的右移而不断增加，其相应的卷积结果如下：

同样的，上图中的红色梯形表示两信号的相交部分，其面积随时间的变化关系即为卷积在此区间内的结果。

(d)

在此区间内，两信号的相交部分也是梯形，但面积将随时间不断减小，其卷积面积与时间的关系如下：

同理，上图中的桔色梯形表示两信号的相交部分，其面积随时间的变化关系即为卷积在此区间内的结果。

(e)

此时，两信号再一次远离，不再相交，所以卷积结果为零。

e(t)*h(t)=0

(4) 最后的卷积结果为：

综合前面几步的结果，可以绘出下面的卷积的波形如下。

要强调指出的是，卷积作为信号的一种运算，其结果仍是一种信号，描述的是卷积过程中所得面积随时间的变化关系。