高中数学16个二级结论(最新整理)

结论一　奇函数的最值性质

已知函数f(x)是定义在集合D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.

(x1)2sinx例1　设函数f(x)的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.

x21跟踪集训1.(1)已知函数f(x)ln(19x3x)1,则f(lg2)f(lg) =(　　)　　　　　 　　　　　　 　　　A.-1

B.0 C.1

D.2

212(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是(　　)A.4和6结论二　 函数周期性问题

已知定义在R上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.

常见的与周期函数有关的结论如下:

(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

B.3和1

C.2和4

D.1和2

(2)如果f(x+a)=

1 (a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.f(x)(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.

例2　已知定义在R上的函数f(x)满足f (x) =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=(　　)

32A.-2 B.-1 C.0D.1

跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=(　　)　　　　　　 　　　　　　A.-2

B.-1

C.0D.1

log2(1x),x0,(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= 则f(2 014)=(　　)A.-1B.0 C.1

f(x1)f(x2),x0,D.2

结论三　函数的对称性

已知函数f(x)是定义在R上的函数.

(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x= 的图象关于直线x=a对称.

(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点(y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.

ab对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)2abc,)中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则22例3　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意的x∈[,1]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)A.[-3,-1]B.[-2,0] C.[-5,-1]

12D.[-2,1]

跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=　　　　.

(2)函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为　　　　.结论四　反函数的图象与性质

　　若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0, f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象上.

例4　设点P在曲线y=

1x

e上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(　　)2A.1-ln 2

B. 2(1-ln 2) C.1+ln 2D. 2(1+ln 2)

跟踪集训4.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=(　　)

A.

52 B.3 C.

72 D.4

结论五　两个对数、指数经典不等式

　　1.对数形式:1-

1≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立.x12.指数形式:ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.

例5　设函数f(x)=1-e-x.证明:当x>-1时, f(x)≥

x.x1跟踪集训5.(1)已知函数f(x)=

1,则y=f(x)的图象大致为(　　)

ln(x1)x(2)已知函数f(x)=ex,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=

12

x+x+1有唯一公共点.2结论六　三点共线的充要条件

设平面上三点O,A,B不共线,则平面上任意一点P与A,B共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得

11OPOAOB,且1.特别地,当P为线段AB的中点时, OPOAOB.

22例6　已知A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在直线l上,则使等式xOAxOBBC0成立的实数x的取

2值集合为(　　)A.{-1}

B. C.{0}D.{0,-1}

跟踪集训6.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N分别为CD、BC的中点.若ABAMAN,则　　.

结论七　三角形“四心”的向量形式

设O为△ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则

(1)O为△ABC的外心⇔ |OA||OB||OC|a.

2sinA(2)O为△ABC的重心⇔ OAOBOC0.

(3)O为△ABC的垂心⇔ OAOBOBOCOCOA.(4)O为△ABC的内心⇔ aOAbOBcOC0.

1例7　已知A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足OP[(1)OA(1)OB(12)OC],R,则点P

3的轨迹一定经过(　　) A.△ABC的内心 B.△ABC的垂心 C.△ABC的重心

D.AB边的中点

跟踪集训7.(1)P是△ABC所在平面内一点,若PAPBPBPCPCPA,则P是△ABC的(　　)

A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

OBOC(2)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPAP,(0,),则P点

2的轨迹一定通过△ABC的(　　)A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

ABAC),[0,),则P(3)O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OPOA(|AB||AC|的轨迹一定通过△ABC的(　　)A.外心结论八　等差数列

　　1.若Sm,S2m,S3m分别为等差数列{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.

2.若等差数列{an}的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和

B.内心

C.重心

D.垂心

S奇am.S2m=m(am+am+1),S偶-S奇=md,

S偶am13.若等差数列{an}的项数为2m-1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m-1=(2m-1)am,S

S奇m.奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,

S偶m1例8　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(　　) A.3

2B.4 C.5D.6

(2)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知am-1+am+1- am=0,S2m-1=38,则m等于　　　　. 跟踪集训8.(1)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=50,则S30=　　　　.

(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d=　.结论九　等比数列

已知等比数列{an},其公比为q,前n项和为Sn.

(1)数列{11}也为等比数列,其公比为.

qan(2)若q=1,则Sn=na1,且{an}同时为等差数列.

a1(1qn)a1anqaaa(3)若q≠1,则Sn= 11qnqn(1).

1q1q1q1q1q(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列(q≠-1或q=-1且n为奇数),其公比为qn.

(5)Sn,

S2nS3nn2, ,…仍为等比数列,公比为q.SnS2n例9　(1)已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,且9S3=S6,则数列{1}的前5项和为(　　)　　　　　anA.

15或58B.

31或516C.

3116D.

158B.

(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若

S6S =3,则9 =(　　)A.2S3S673C.

83D.3

跟踪集训9.在等比数列{an}中,公比为q,其前n项和为Sn.已知S5=

31111111,a3= ,则　　.164a1a2a3a4a5结论十　多面体的外接球和内切球

1.长方体的体对角线长d与共点三条棱长a,b,c之间的关系为d2=a2+b2+c2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a2+b2+c2.

2.棱长为a的正四面体内切球半径r= 66a,外接球半径R= a.124例10　已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的等于(　　)A.

7时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积876B.

43C.

23D.

2跟踪集训10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为(　　)A. 14B. 23C. 46

D.3

(2)已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E作球O的截面,则截面面积的最小值是(　　)

A.

74B.2πC.

94D.3π

结论十一　焦点三角形的面积公式

x2y221.在椭圆221 (a>b>0),F1,F2分别为左、右焦点,P为椭圆上一点,则△PF1F2的面积SAPF1F2btan,其中

2abθ=∠F1PF2.

x2y2b22.在双曲线2211(a>0,b>0)中,F1,F2分别为左、右焦点,P为双曲线上一点,则△PF1F2的面积SAPF1F2,

abtan2其中θ=∠F1PF2.

例11　已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=

3,则椭圆和双曲线的离心率的倒

数之和的最大值为(　　)　　　A. 43 3B. 23 C.33D.2

跟踪集训

x211.(1)如图,F1,F2是椭圆C1: y21与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、

4四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(　　)　　　　　　 　　　　　　

A. 2 B. 3 C.

36 D. 22x2y2 (2)已知F1,F2是椭圆C: 221 (a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C一上点,且PF1PF2.若△PF1F2的面积为9,

ab则b=　　　　.

结论十二　圆锥曲线的切线问题

1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2.

xxyyx2y22.过椭圆221上一点P(x0,y0)的切线方程为02021.

abab3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).

(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.

(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.

(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.

例12　已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.

跟踪集训12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(　　)A.2x+y-3=0

B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0

D.4x+y-3=0

3x2y2(2)设椭圆C: 1,点P(1,),则椭圆C在点P处的切线方程为　　　　　　.

243结论十三　圆锥曲线的中点弦问题

x2y21.在椭圆E: 221 (a>b>0)中:

ab(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,

b2则k0·k= 2.

a(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为

b2k1,k2,则k1·k2= 2.

a(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则

b2k0·k= 2.

ab2x0x2y2[提醒]该结论常变形为:以椭圆221内任意一点(x0,y0)为中点的弦AB的斜率k=2.

ay0abx2y2b2b2b22.在双曲线E: 221 (a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k0·k=2.(2)k1·k2=2.(3)k0·k=2.

abaaax2y2例13　已知椭圆E: 221 (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐

ab标为(1,-1),则椭圆E的方程为(　　)

x2y2A. 1

4536x2y2x2y2B. 1 C. 136272718x2y2D. 1189x2y2跟踪集训13.(1)椭圆C: 1的左,右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-431],那么直线PA1的斜率的取值范围是　　　　　　.

x2y2(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x

42轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.

结论十四　圆锥曲线中的一类定值问题

在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.

图示

条件

结论

x2y2已知椭圆221 (a>b>0),定点

abb2x0P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,A,B是椭圆上的两直线AB的斜率kAB为定值2ay0个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0

x2y2已知双曲线221 (a,b>0),定点

abb2x0

P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,A,B是双曲线上直线AB的斜率kAB为定值2

ay0

的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0

已知抛物线y2=2px(p>0),定点

P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,A,B是抛物线上两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0

例14　已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,且满足kPA+kPB=0.证明:直线AB的斜率kAB为定值,并求出该定值.

直线AB的斜率kAB为定值py03x2y2（1,）跟踪集训14.已知椭圆C: ,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE1,A为椭圆上的定点且坐标为

243的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.

结论十五　圆锥曲线中的一类定点问题

若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.

x2y2(1)对于椭圆221 (a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过定点

aba2b2a2b2(2a,0).同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线lAB过定点(2a,0).22ababx2y2(2)对于双曲线221 (a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线lAB过

aba2b2a2b2定点(2a,0).同理,对于左顶点(-a,0),则定点为(22a,0).2abab(3)对于抛物线

y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点

A,B,若OAOB0,则弦AB所在直线过点(2p,0).同理,抛物线

x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点

A,B,若OAOB,则直线AB过定点(0,2p).

例15　已知抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点.求证:AB所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.

x2y2跟踪集训15.已知椭圆1,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆

43过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.

结论十六　抛物线中的三类直线与圆相切问题

AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:p的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中2点.(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且|EF|2=|A1A|·|BB1|.(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.

例16　过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=-a作垂线,垂足分别为M1,N1.当a=

p时,求证:AM1⊥AN1.2跟踪集训16.已知抛物线则k=　　　　.

C:y2=8x

与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MAMB0,

答案全解全析

结论一　奇函数的最值性质

跟踪集训

1.(1)D　令g(x)=ln(-3x),x∈R,则g(-x)=ln(+3x),因为g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(

+3x)=ln(1+9x2-9x2)=ln 1=0,所以g(x)是定义在R上的奇函数.又lg=-lg 2,所以g(lg 2)+g

f(lg 2)+f

=g(lg 2)+1+g

+1=2.故选D.

=0,所以

(2)D　令g(x)=f(x)-c=asin x+bx,易证g(x)是奇函数.

又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c,而g(-1)+g(1)=0,c为整数,∴f(-1)+f(1)=2c为偶数.1+2=3是奇数,故不可能,选D.

结论二　 函数周期性问题

跟踪集训

2.(1)D　由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.(2)C　当x>0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2),①同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1),②

①+②得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.故f(2 014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22-0=1,故选C.

结论三　函数的对称性

跟踪集训3.(1)答案　3

解析　因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.(2)答案　4

解析　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数. f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+

f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.

结论四　反函数的图象与性质

跟踪集训

4.C　因为2x+2x=5,所以x+2x-1=,同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=的解,t2是t+log2t=的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.

如图所示,t1为函数y=2t与y=-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,),Q(t2,log2t2),所以P,Q为对称点,且t1+t2=t1+

=t1+

=.所以x1+x2=t1+1+t2+1=+2=.故选C.

结论五　两个对数、指数经典不等式

跟踪集训

5.(1)B　由题意得f(x)的定义域为{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.

令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选B.

(2)证明　令g(x)=f(x)-=ex-x2-x-1,x∈R.g'(x)=ex-x-1,

由经典不等式ex≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.

结论六　三点共线的充要条件

跟踪集训

6.答案　

解析　解法一:由

+

又因为

,

+

=λ+μ及题意得=0,得

=λ·(λ+μ-1

++

)+μ·(+=0.

),则++=0,得

不共线,所以由平面向量基本定理得

解得

所以λ+μ=.

解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.

由已知易得AB=AT,

∴==λ+μ.

∴=λ+μ,

∵T、M、N三点共线,∴λ+μ=1,则λ+μ=.

结论七　三角形“四心”的向量形式

跟踪集训

7.(1)D　由·

=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是

△ABC的垂心.

(2)C　设BC的中点为M,则重心.

=,则有=+λ,即=λ,∴P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的

(3)B　解法一:为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.

又λ∈[0,+∞),∴λ的方向与+的方向相同.=+λ,∴点P在上移动.

∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B.

解法二:由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关,故取O点与A点重合,由平行四边形法则很容易看出P点在∠BAC的平分线上,故选B.

结论八　等差数列

跟踪集训8.(1)答案　90

解析　(S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.(2)答案　5

解析　设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,由已知条件,得

又S偶-S奇=6d,所以d=

=5.

结论九　等比数列

跟踪集训9.答案　31

解得

解析　由等比数列的性质知,a1a5=a2a4=,则++++=

++====31.

结论十　多面体的外接球和内切球

跟踪集训

10.(1)A　因为该三棱柱外接球的表面积是16π,所以外接球的半径R=2.又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,故该三棱柱的侧棱长是

=

,故选A.

(2)C　由题意知,正三角形ABC的外接圆半径为=,则AB=3,过点E的截面面积最小时,截面是以AB为直

径的圆面,截面面积S=π×=.

结论十一　焦点三角形的面积公式

跟踪集训

11.(1)D　设双曲线C2的方程为-=1,则有+===4-1=3.又四边形AF1BF2为矩形,所以焦点三角形AF1F2的

面积为tan 45°=(2)答案　3

,即==1.所以=-=3-1=2.故双曲线的离心率e====.故选D.

解析　在焦点三角形PF1F2中,

⊥,

故

=|PF1||PF2|,

又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,|PF1|+|PF2|=2a,

则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=|F1F2|2,4a2-2|PF1|·|PF2|=4c2,所以|PF1||PF2|=2b2,则

结论十二　圆锥曲线的切线问题

跟踪集训

12.(1)A　如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).

=b2=9,故b=3.

又kAB·kPC=-1,且kPC==,∴kAB=-2.

故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.

(2)答案　x+2y-4=0

解析　由于点P在椭圆+=1上,故所求的切线方程为+=1,即x+2y-4=0.

结论十三　圆锥曲线的中点弦问题

跟踪集训

13.(1)答案　

解析　设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-=-,又k2∈[-2,-1],所以k1∈

.

(2)证明　设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),kAC=知,kBP·kBA=kBP·kAC=·kPB=-,所以kPB·k=-1,即PA⊥PB.

=

,又kPA==k,所以kAC=,由kBA·kBP =-

结论十四　圆锥曲线中的一类定值问题

跟踪集训

14.解析　设直线AE的方程为y=k(x-1)+,

联立得

消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4

-12=0,则xE=

=.①

同理,可得xF=

.②

所以kEF=

==

,将①②代入上式,化简得kEF=.

所以直线EF的斜率为定值,这个定值为.

结论十五　圆锥曲线中的一类定点问题

跟踪集训

15.解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得

消y,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,则有Δ=(8km)2-

4(4k2+3)·(4m2-12)>0,即m2<4k2+3,即m2<4k2+3,①

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.把①代入化简得7m2+16km+4k2=0,

得m=-2k或m=-.

当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;

当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m2<4k2+3,符合题意.

所以l:y=kx+m过定点.

结论十六　抛物线中的三类直线与圆相切问题

跟踪集训16.答案　2

解析　如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点

F(2,0),所以有MF⊥AB,又kMF==-,所以kAB=2.