课题：24.1.2 垂直于弦的直径（第1课时） 教与学目标: 1. 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质。 2. 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。 重点: 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明。 难点: 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题 自主探究: 学习感悟 （一） 学生预习 教师导学:阅读课本Ｐ80---P81思考下列问题：1.用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2. 按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD； 第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点E是两条折痕的交点，即垂足； 第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1． CCOAEDBAOEDB 图1 图2 在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？ （二）学生探究 教师引领3.我们就得到下面的定理（垂径定理） 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M 求证：AM=BM， AC=BC，AD=BD. 证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB 分析：要证AM=BM，只OAOBOMOM 在Rt△OAM和Rt△OBM中要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、•OB或AC、BC即可． ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM ∴点A和点B关于CD对称 ∵⊙O关于直径CD对称 ∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合，AD与BD重合． ∴AC=BC，AD=BD 4.进一步，我们还可以得到结论：（垂径定理推论） （此结论的逻辑证明。试着逻辑证明一下） 5.弦心距： 6.背诵并默写垂径定理和推论： 垂径定理: 符号语言：∵AB是⊙O的直径 又∵ABCD ∴CEDE 推论： 符号语言：∵AB是⊙O的直径 又∵CEDE ∴ABCD 7.上述定理的条件和结论有五个关系式,能否由其中的任意两个推出其余三个,结合图形,写出你的结论. 课堂展示: 学习感悟 （三）学生展示 教师激励: 1、在⊙O中，弦AB的长为８cm,圆心O到AB的距离OD＝３cm, 则垂径定理⊙O的半径为_________cm 平分弦 2、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm。求AB勾股定理与CD的距离 来计算 半径连接 弦心距， 弦长一半是 关键 3.如图，在⊙O中， AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D， OEAC于E. 求证：四边形ADOE为正方形. 4.如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB交小圆于C、D. 求证：ACBD （四）学生归纳 教师提炼 在圆中，解决有关弦的问题时常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线,实际上,往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.这样把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R，圆心到弦的距离d ，弦长a之间的关系式 这是一种重要的添加辅助线的方法 . 课堂检测: (五)学生达标 教师测评: 1.P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长_ . 2．如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（ ） A．1mm B．2mmm C．3mm D．4mm 3．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论） EACFODAEO学习感悟 BDB C （2题图） （3题图） （4题图） 4．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，则CD长为 ． 5.如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=42，则D A O E • B C ∠AED=____ （5题图） CAODEBAOEDB6题图 C （7题图）（第8题） 6.如图，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB =10，则AC=____. 7.如图,⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM:OD =3：5．求AB的长 8.如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知⊙O的半径为2，AB=23,则∠BCD=________度． 9.如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（ ）． A．CE=DE B．∠BAC=∠BAD D．AC>AD BCBD C．10.如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ） A．4 A B．6 C．7 D．8 C O OO BAEMABPCD BD 9 10 11 11．如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的是（ ） A．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．ADBD D．PO=PD 反思:
学习感悟