1．到两定点A(0,0)，B(3,4)距离之和为5的点的轨迹是 A．椭圆 C．线段AB 答案 C
解析 ∵|AB|＝5，∴到A、B两点距离之和为5的点的轨迹是线段AB. 2．若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则P的轨迹方程为
A．y2＝8x C．x2＝8y 答案 C
解析 由题意知P到F(0,2)的距离比它到y＋4＝0的距离小2，因此P到F(0,2)的距离与到直线y＋2＝0的距离相等，故P的轨迹是以F为焦点，y＝－2为准线的抛物线，所以P的轨迹方程为x2＝8y.
3．在△ABC中，已知A(－1,0)，C(1,0)，且|BC|，|CA|，|AB|成等差数列，则顶点B的轨迹方程是
x2y2
A.3＋4＝1 x2y2
C.4＋3＝1 答案 D
解析 ∵|BC|，|CA|，|AB|成等差数列， ∴|BC|＋|BA|＝2|CA|＝4.
∴点B的轨迹是以A，C为焦点，半焦距c＝1，长轴长2a＝4的椭圆，又Bx2y2
是三角形的顶点，A、B、C三点不能共线，故所求的轨迹方程为4＋3＝1，且y≠0.
4．已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是
( )
( )
B．y2＝－8x D．x2＝－8y
( )
B．AB所在的直线 D．无轨迹
( )
x2y2
B.3＋4＝1(x≠±3) x2y2
D.4＋3＝1(x≠±2)
A．双曲线 C．圆 答案 D
B．椭圆 D．抛物线
解析 连接MF，由中垂线性质知|MB|＝|MF|， 即M到定点F的距离与它到直线x＝－1距离相等． ∴点M的轨迹是抛物线． ∴D正确．
5．设椭圆与双曲线有共同的焦点F1(－1,0)、F2(1,0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是
A．双曲线 C．两个圆 答案 C
|PF1|＋|PF2|＝4a，
解析 得到|PF1|＝3|PF2|或|PF2|＝3|PF1|，所以是圆．
|PF1|－|PF2|＝2a，6．经过抛物线y2＝2px焦点的弦的中点的轨迹是 A．抛物线 C．双曲线 答案 A
解析 点差法kAB＝
2p2py
＝2y＝kMF＝p化简得抛物线． y1＋y2
x－2
B．椭圆 D．直线
( )
B．一个圆 D．两条抛物线
( )
7．长为3的线段AB的端点A，B分别在x，y轴上移动，动点C(x，y)满足→→
AC＝2CB，则动点C的轨迹方程________．
1
答案 x2＋4y2＝1
→→
解析 设A(a,0)，B(0，b)，则a＋b＝9，又C(x，y)，则由AC＝2CB，得(x
2
2
－a，y)＝2(－x，b－y)，
a＝3x，x－a＝－2x，即即3y＝2b－2y，b＝2y，
1
代入a2＋b2＝9，并整理，得x2＋4y2＝1.
8．过抛物线y2＝4x的焦点作直线与其交于M、N两点，作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．
答案 y2＝4(x－2)
→解析 设直线方程为y＝k(x－1)，点M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x，y)，由OM→
＝NP，得(x1，y1)＝(x－x2，y－y2)．
得x1＋x2＝x，y1＋y2＝y.
2k2＋4y＝kx－1，由联立得x＝x1＋x2＝k2.
2y＝4x，4k
y＝y1＋y2＝k2，消去参数k，得y2＝4(x－2)．
9．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．
答案 (x－10)2＋y2＝36(y≠0)
xy
解析 方法一 直接法．设A(x，y)，y≠0，则D(2，2)． ∴|CD|＝
2x2y2－5＋4＝3.
化简得(x－10)2＋y2＝36，由于A、B、C三点构成三角形，所以A不能落在x轴上，即y≠0.
方法二
定义法．如右图，设A(x，y)，D为AB的中点，过A作AE∥CD交x轴于E.∵|CD|＝3，∴|AE|＝6，则E(10,0)，∴A到E的距离为常数6.∴A的轨迹为以E为圆心，6为半径的圆，即(x－10)2＋y2＝36，又A、B、C不共线，故A点纵坐标y≠0，故A点轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．
x2y2
10．(2013·衡水调研)已知抛物线y＝nx(n<0)与双曲线8－m＝1有一个相同
2
的焦点，则动点(m，n)的轨迹方程是________．
答案 n2＝16(m＋8)(n<0)
nn
解析 抛物线的焦点为(4，0)，在双曲线中，8＋m＝c2＝(4)2，n<0，即n2＝16(m＋8)(n<0)．
11.
如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求BC边所在直线方程；
(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程． 解析 (1)∵kAB＝－2，AB⊥BC， 22
∴kCB＝2.∴BC：y＝2x－22. (2)在上式中，令y＝0，得C(4,0)．
∴圆心M(1,0)．
又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9. (3)∵P(－1,0)，M(1,0)，
∵圆N过点P(－1,0)，∴PN是该圆的半径． 又∵动圆N与圆M内切，∴|MN|＝3－|PN|，即 |MN|＋|PN|＝3.
∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆． 3
∴a＝2，c＝1，b＝
a2－c2＝54.
44
∴轨迹方程为9x2＋5y2＝1.
12．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．
(1)求动点P的轨迹C的方程； (2)讨论轨迹C的形状．
解析 (1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝yy
·＝λ， x＋1x－1
y2
整理得x－λ＝1(λ≠0，x≠±1)．
2
(2)①当λ>0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(除去长轴两个端点)；
③当λ＝－1时，轨迹C为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)； ④当λ<－1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)．
13．P，Q是抛物线C：y＝x2上两个动点，直线l1，l2分别是C在点P，点10，Q处的切线，l1∩l2＝M，直线PQ恒过定点，求点M的轨迹方程． 4
解析 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有直线MP的方程y－x21＝2x1(x－x1)，
2
直线MQ的直线方程y－x2＝2x2(x－x2)．
x1＋x2交点坐标M，x1x2.
2
22
x－x122
直线PQ的方程为y－x1＝(x－x1)，
x1－x2
即y＝(x1＋x2)x－x1x2. 1
所以x1x2＝－4.
1
所以，M的轨迹方程为y＝－4. 14．已知A、B的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点M的轨迹方程；
→→
(2)若过点N(1,1)的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且OC·OD＝0，求直线l的方程．
解析 (1)设点M的坐标为(x，y)，则依题意有：kAM·kBM＝－2，
2y－0y－02y即·＝－2，化简得x＋2＝1. x＋1x－1
y2
∴动点M的轨迹方程为x＋2＝1(x≠±1)．
2
(2)依题意易知直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y－1＝k(x－1)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
222x＋y－2＝0，则由消去y得2x2＋[kx＋(1－k)]2－2＝0.
y－1＝kx－1，
化简得(2＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0. 1－k2－2
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
2＋k22＋k2
2kk－1
∴y1y2＝[kx1＋(1－k)]·[kx2＋(1－k)] ＝k2x1x2＋k(1－k)(x1＋x2)＋(1－k)2. →→
∵OC·OD＝0，
∴x1x2＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋k(1－k)(x1＋x2)＋(1－k)2 ＝
k2＋1k2－2k－1
2＋k2
k2－6k＋12＋k
2
＋
k－k22k2－2k
2＋k2
＋(1－k)2
＝＝0.
∴k2－6k＋1＝0，解得k＝3±22. ∴直线l的方程为y＝(3＋22)x－2－22或y＝(3－22)x＋22－2.
1．(2010·重庆)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A．直线 C．抛物线 答案 D 解析
B．椭圆 D．双曲线
( )
在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线
AD与D1C1是异面垂直的两条直线，过直线AD与D1C1平行的平面是面ABCD，设在平面ABCD内动点M(x，y)满足到直线AD与D1C1的距离相等，作MM1⊥AD于M1，MN⊥CD于N，NP⊥D1C1于P，连接MP，易知MN⊥平面CDD1C1，MP⊥D1C，则有|MM1|＝|MP|，|y|2＝x2＋a2(其中a是异面直线AD与D1C1间的距离)，即有y2－x2＝a2，因此动点M的轨迹是双曲线．
2．方程x2＋xy＋x＝0表示的曲线是 A．一个点 C．两条直线 答案 C
解析 方程变为x(x＋y＋1)＝0，∴x＝0或x＋y＋1＝0. 故方程表示直线x＝0或直线x＋y＋1＝0.
3．设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹
A．圆 C．抛物线
B．两条平行线 D．双曲线
B．一条直线
D．一个点和一条直线
答案 B
解析 设Q(x，y)，P(1，y0)， 由几何性质有 Rt△QMO∽Rt△ONP， ∴|QM|＝|ON|，|y|＝1.
∴动点Q的轨迹为两条平行线． 故B正确．
x2y2
4．F1、F2为椭圆4＋3＝1的左右两焦点，A为椭圆上任一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是
A．直线 C．椭圆 答案 B
B．圆 D．双曲线
( )
解析 如图，由椭圆定义知
|AF1|＋|AF2|＝|AF2|＋|AM|＝2a＝|F2M|. 又D为F1M的中点，O为F1F2中点， 1
∴|OD|＝2|F2M|＝a. ∴点D的轨迹是圆．
π
5．自圆外一点P作圆x＋y＝1的两条切线PM和PN，若∠MPN＝2，则2
2
动点P的轨迹方程是
A．x2＋y2＝4 x22
C.4＋y＝1 答案 B
B．x2＋y2＝2 x22
D.2＋y＝1
( )
解析 由题意，得OMPN构成正方形，|OP|＝2，点P的轨迹为一半径为2的圆，圆心在原点．
6.
(2013·东北四校联考)以原点为圆心的两个同心圆的方程分别为x2＋y2＝4和x2＋y2＝1，过原点O的射线交大圆于点P，交小圆于点Q，作PM⊥x轴于M.→→→→若PN＝λPM，QN·PM＝0，求点N的轨迹方程．
→→→→
解析 设P(2cosα，2sinα)，Q(cosα，sinα)，由PN＝λPM知N在PM上，由QN·PMx＝2cosα，x22＝0知QN⊥PM，∴N(2cosα，sinα)，即∴4＋y＝1(x≠0)．
y＝sinα，
x22
7．(2013·深圳模拟)已知点F是椭圆点M(m,0)，2＋y＝1(a>0)的右焦点，1＋a→→→→→N(0，n)分别是x轴，y轴上的动点，且满足MN·NF＝0.若点P满足OM＝2ON＋PO.
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)设过点F任作一直线与点P的轨迹C交于A、B两点，直线OA、OB与→→直线x＝－a分别交于点S、T(O为坐标原点)，试判断FS·FT是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
→x22
解析 (1)∵椭圆＋y＝1(a>0)的右焦点F的坐标为(a,0)，∴NF＝(a，－
1＋a2n)．
→→→∵MN＝(－m，n)，∴由MN·NF＝0，得n2＋am＝0. →→→设点P的坐标为(x，y)，由OM＝2ON＋PO， 有(m,0)＝2(0，n)＋(－x，－y)，
m＝－x，则y
n＝2，
为y2＝4ax.
将其代入n2＋am＝0，得y2＝4ax，即点P的轨迹C的方程
y2y212(2)设直线AB的方程为x＝ty＋a，A(4a，y1)，B(4a，y2)， 4a4a
则lOA：y＝yx，lOB：y＝yx.
12a
y＝4
y1x，
由
x＝－a，
4a24a2
得S(－a，－y)，同理得T(－a，－y)．
12
4→→→4a2→4a2216a∴FS＝(－2a，－y)，FT＝(－2a，－y)，则FS·FT＝4a＋yy.②
1
2
12
x＝ty＋a，
由得y2－4aty－4a2＝0，∴y1y2＝－4a2.
2y＝4ax，→→16a4222则FS·FT＝4a＋＝4a－4a＝0.
－4a2→→因此FS·FT的值是定值，且定值为0.
8．已知定点A(0，－1)，点B在圆F：x2＋(y－1)2＝16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于点P.
(1)求动点P的轨迹E的方程；若曲线Q：x2－2ax＋y2＋a2＝1被轨迹E包围着，求实数a的最小值；
(2)已知M(－2,0)，N(2,0)，动点G在圆F内，且满足|MG|·|NG|＝|OG|2(O为→→坐标原点)，求MG·NG的取值范围．
解析 (1)由题意得|PA|＝|PB|. ∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝4>|AF|＝2.
∴动点P的轨迹E是以A，F为焦点的椭圆．
y2x2
设该椭圆的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，
则2a＝4,2c＝2，即a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3. y2x2
∴动点P的轨迹E的方程为4＋3＝1. ∵x2－2ax＋y2＋a2＝1即为(x－a)2＋y2＝1， ∴曲线Q是圆心为(a,0)，半径为1的圆．
∵轨迹E为焦点在y轴上的椭圆，其左，右顶点分别为(－3，0)，(3，0)，且曲线Q被轨迹E包围着，
∴－3＋1≤a≤3－1. ∴a的最小值为－3＋1.
(2)设G(x，y)，由|MG|·|NG|＝|OG|2，得 x＋22＋y2·x－22＋y2＝x2＋y2， 化简得x2－y2＝2，即x2＝y2＋2.
→→∴MG·NG＝(x＋2，y)·(x－2，y)＝x2＋y2－4＝2(y2－1)． ∵点G在圆F：x2＋(y－1)2＝16内，∴x2＋(y－1)2<16. ∴y2＋2＋(y－1)2<16，
14＋33即2(y－y)<13，解得0≤y<，
2
2
2
则－2≤2(y2－1)<12＋33，
→→∴MG·NG的取值范围为[－2,12＋33)．
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