课后篇巩固提升
1.在空间直角坐标系中,已知A(-1,0,3),B(2,-1,5),则|AB|=( ) A.
B. C.14
D.
解析在空间直角坐标系中,∵A(-1,0,3),B(2,-1,5),∴|AB|= - - - .故选B. 答案B
2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法: ①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;
③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1,则以上正确说法的个数为( ) A.1
B.2
C.3
D.4
解析因为 , 所以 由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面 ,
DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1,故①③④正确.
答案C
3.已知空间向量a=(3,1,0),b=(x,-3,1),且a⊥b,则x=( ) A.-3
B.-1
C.1
D.2
解析由题意知,空间向量a=(3,1,0),b=(x,-3,1),且a⊥b,所以a·b=0,所以3x+1×(-3)+0×1=0,即3x-3=0,解得x=1.故选C. 答案C
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:①( ) =3 ;② ( =0;③ 与 的夹角为 °;④ · )
2
正方体的体积为| 其中正确命题的序号是 . |.
解析( ) =( ) +( ) +2( =3( )) ,故①正确;设正方体棱长为a,则 ( )+( ·
2
2
2
2
2
=( ·( =a2-0+0-0+0-a2=0,故②正确; 与 的夹角应为 °,故③错误;正方体的 ) ) )
体积应为| || || |,故④错误. 答案①② 5.
如图所示,空间四边形OABC中,点M为OB的中点,N为AC的中点.设 = a, = b, = c,若以向量a、b、c为一组基底,则 = .
解析因为 ) - (a-b+c).故答案为(a-b+c).
答案(a-b+c)
6.
如图,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且∠BAE= °,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为
BE,AE,BC的中点.
(1)求证:直线DE与平面FGH平行;
(2)若点P在直线GF上,且二面角D-BP-A的大小为,试确定点P的位置.
(1)证明取AD的中点M,连接MH,MG.
∵G,H分别是AE,BC的中点, ∴MH∥AB,GF∥AB,∴M∈平面FGH.
又MG∥DE,且DE⊄平面FGH,MG⊂平面FGH,
∴DE∥平面FGH.
(2)解在平面ABE内,过A作AB的垂线,记为AP(图略),则AP⊥平面ABCD.以A为原点,AP,AB,AD所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.所以
A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(2 ,-2,0),G( ,-1,0),F( ,1,0).
则 = (0,2,0), = (0,-4,2), = ( ,-5,0). 设 = λ = (0,2λ,0), 则 = ( ,2λ-5,0).
设平面PBD的法向量为n1=(x,y,z), 则
- , · ,
· , -
取y= ,得z=2 ,x=5-2λ, 故n1=(5-2λ, ,2 ).
又平面ABP的法向量为n2=(0,0,1),
因此cos · - ,解得 λ=1或λ=4. 故 或 = 4 ( P( ,1,0)或P( ,7,0)). 7.如图,ABCD是边长为a的正方形,PA⊥平面ABCD. (1)若PA=AB,点E是PC的中点,求直线AE与平面PCD所成角的正弦值; (2)若BE⊥PC且交点为E,BE= a,G为CD的中点,线段AB上是否存在点F,使得EF∥平面PAG?若存在,求AF的长;若不存在,请说明理由. 解(1)以A为原点,建立如图所示的坐标系,则 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,a),E , , , , =(a,0,0), = (0,a,-a). , 设平面PCD的法向量m=(x,y,z),则 - 取m=(0,1,1), 则cos< , m>= · . 设直线AE与平面PCD所成角为θ, 则sinθ=|cos< , m>|,所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为. (2)G , , ,设P(0,0,c)(c>0), 则 = (-a,-a,c). 设 = λ , 则E((1-λ)a,(1-λ)a,λc), ∴ = (-λa,(1-λ)a,λc). ∵BE= a, ∴(-λa)2+[(1-λ)a]2+(λc)2= . ① ∵BE⊥PC,∴λa2-(1-λ)a2+λc2=0. ∴c2= - 2=a. ② 由①②解得λ=,c=a, ∴E , , ,P(0,0,a). 若存在满足条件的点F,可设AF=l ≤l≤a), 则F(l,0,0), - ,- ,- . 设平面PAG的法向量为n=(s,t,p), , ∴n=(-2,1,0). 则 , ∵EF∥平面PAG,∴ · n=0. ∴-2l+ a- a=0,∴l= a. ∴存在满足条件的点F,且AF= a. 8. 在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,AB=2BC=2CD,DC⊥ FB,CF⊥平面ABCD. (1)求BE与平面EAC所成角的正弦值; (2)线段BE上是否存在点M,使平面EAC⊥平面DFM?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. 解(1)∵四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,DC⊥FB,CF⊥平面ABCD. ∴以C为原点,CD,CB,CF所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系, 设AB=2BC=2CD=2,则B(0,1,0),D(1,0,0),E(1,0,1),A(2,1,0),C(0,0,0),F(0,0,1), = (1,-1,1), = (2,1,0), = (1,0,1), 设平面EAC的法向量n=(x,y,z), · ,则 取x=1, · , 得n=(1,-2,-1), 设BE与平面EAC所成角为θ, 则sinθ= · . ∴BE与平面EAC所成角的正弦值为 . (2)设线段BE上存在点M(a,b,c), = λ , ≤ λ≤ ,使平面EAC⊥平面DFM, 则(a,b-1,c)=(λ,-λ,λ),∴M(λ,1-λ,λ), = (λ-1,1-λ,λ), = (-1,0,1), 设平面DMF的法向量m=(x,y,z), · - - ,则 · - ,取x=1,得m=1, - - ,1, - - ∵平面EAC⊥平面DFM,平面EAC的法向量n=(1,-2,-1),∴m·n=1-∴线段BE上存在点M,使平面EAC⊥平面DFM,此时, -1=0,解得λ= , 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容