2017年天津市高考数学试卷（理科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合A={1,2，6}，B={2，4},C={x∈R|﹣1≤x≤5｝，则（A∪B）∩C=（ ）
A．｛2} B．｛1，2,4｝ C．{1，2，4，5｝ D．{x∈R｜﹣1≤x≤5｝
2．（5分）设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为
（ ) A． B．1
C． D．3
3．（5分）阅读右面的程序框图,运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（ )
A．0 B．1 C．2 D．3
|＜
”是“sinθ＜”的（ )
4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
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5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若
经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A．
=1 B．
=1 C．
=1 D．
=1
6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g(x）=xf(x）．若a=g(﹣log25.1）,b=g（20。8），c=g（3)，则a,b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
7．（5分)设函数f(x）=2sin(ωx+φ)，x∈R，其中ω＞0,｜φ｜＜x．若f（f（
）=0,且f（x)的最小正周期大于2π，则（ ）
B．ω=，φ=﹣
D．ω=，φ=
）=2，
A．ω=，φ=C．ω=，φ=﹣
8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R,若关于x的不等式f（x）
≥｜+a|在R上恒成立,则a的取值范围是（ ） A．［﹣
，2］ B．［﹣
，
］ C．[﹣2，2］ D．[﹣2，
］
二。填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分. 9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若
为实数，则a的值为．
10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．
11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣数为．
12．（5分）若a，b∈R,ab＞0，则
的最小值为．
=
)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个
13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且﹣4，则λ的值为．
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14．（5分)用数字1,2,3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）
三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）在△ABC中，内角A,B，C所对的边分别为a,b,c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．
（Ⅰ）求b和sinA的值； （Ⅱ）求sin(2A+
）的值．
16．(13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
(Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，N分别为棱PA,PC，BC的中点,M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2． (Ⅰ)求证：MN∥平面BDE；
(Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为段AH的长．
，求线
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18．（13分)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N+）,{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4． （Ⅰ）求｛an}和｛bn｝的通项公式;
（Ⅱ）求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．
19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为
．已知A是抛物线y2=2px（p＞0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为． （I)求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A)，直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为
,求直线AP的方程．
20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1,2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间；
(Ⅱ）设m∈［1，x0）∪（x0,2]，函数h（x）=g（x）(m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0;
(Ⅲ)求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p,q，且∈［1,x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0｜≥
．
2017年天津市高考数学试卷（理科）
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一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分)设集合A={1，2，6｝，B=｛2,4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=( ）
A．｛2} B．｛1,2，4}
C．｛1,2，4，5} D．{x∈R｜﹣1≤x≤5}
【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．
【解答】解：∵A=｛1，2，6｝,B={2,4},∴A∪B={1，2，4，6}， 又C={x∈R｜﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4｝．故选：B． 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．
2．（5分)设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值
为（ ）A． B．1 C． D．3
【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．
【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：
目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值， 由
可得A（0,3），目标函数z=x+y的最大值为：3．故选：D．
【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用． 3．（5分）阅读上面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（ ）A．0 B．1
C．2
D．3
【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．
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【解答】解:第一次N=24，能被3整除,N=≤3不成立，
第二次N=8,8不能被3整除，N=8﹣1=7,N=7≤3不成立， 第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立， 输出N=2，故选C
【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．
4．(5分）设θ∈R，则“|θ﹣
|＜
\"是“sinθ＜\"的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
｜＜
⇔﹣
＜θ﹣
＜
⇔0＜θ＜
,
【解答】解：｜θ﹣sinθ＜⇔﹣则（0，可得“|θ﹣
+2kπ＜θ＜
+2kπ，
+2kπ,k∈Z, +2kπ］，k∈Z,
）⊂[﹣｜＜
”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题． 5．（5分)已知双曲线
﹣
=1(a＞0,b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F
和P（0,4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为（ ）A．
=1 B．
=1 C．
=1 D．
=1
【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a, 则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x， 则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k=∴双曲线的标准方程：
；故选B．
=，则=1，c=4,则a=b=2，
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题． 6．（5分）已知奇函数f(x）在R上是增函数，g（x)=xf（x)．若a=g（﹣log25.1），
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b=g(20。8），c=g（3)，则a,b，c的大小关系为( ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【分析】由奇函数f(x）在R上是增函数，则g(x）=xf（x）偶函数，且在(0，+∞）单调递增，则a=g（﹣log25。1）=g（log25。1），则2＜﹣log25.1＜3，1＜20。8＜2，即可求得b＜a＜c
【解答】解：奇函数f(x)在R上是增函数，当x＞0,f（x）＞f（0）=0，且f′（x)＞0，∴g(x）=xf（x），则g′（x)=f（x）+xf′（x）＞0， ∴g（x）在（0，+∞)单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，
∴a=g（﹣log25。1）=g（log25.1），则2＜﹣log25。1＜3，1＜20。8＜2， 由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log25。1）＜g(3）， ∴b＜a＜c,故选C．
【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用,考查转化思想，属于基础题．
7．(5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ｜＜x．若f（=2，f（
）=0,且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
B．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=
）
A．ω=，φ=C．ω=,φ=﹣
【解答】解：由f（x)的最小正周期大于2π，得又f（得
)=2，f（
)=0， ，∴T=3π，则
,即
，
．
∴f(x）=2sin(ωx+φ）=2sin（x+φ）， 由f（
）=
）=1．∴φ+＜π．∴
=,φ=
，
,k∈Z． ．故选:A．
得sin（φ+取k=0,得φ=
【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式,考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．
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8．(5分）已知函数f（x）=,设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥
|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（ ） A．［﹣
,2］ B．[﹣
,
］ C．[﹣2，2］ D．［﹣2,
］
【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围;讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值,可得a的范围，求交集即可得到所求范围．
【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f(x）≥|+a｜在R上恒成立， 即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3, 由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值则﹣
≤a≤
①
，
；
当x＞1时,关于x的不等式f（x）≥｜+a｜在R上恒成立， 即为﹣(x+）≤+a≤x+， 即有﹣（x+）≤a≤+， 由y=﹣(x+）≤﹣2由y=x+≥2则﹣2≤a≤2② 由①②可得，﹣
≤a≤2．故选：A．
=﹣2（当且仅当x=
＞1）取得最大值﹣2；
=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．
【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法,注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键,属于中档题．
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二。填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分。 9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位,若【解答】解：由
=
=
为实数，则a的值为 ﹣2 ． =
﹣
i
为实数，可得﹣=0，解得a=﹣2．故答案为:﹣2．
【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．
10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为
．
【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．
【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18， 则a2=3,即a=,
∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径， 即a=2R，即R=，则球的体积V=π•（）3=
;故答案为:
．
【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式是解决本题的关键． 11．(5分）在极坐标系中,直线4ρcos（θ﹣数为 2 ．
【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d,与半径比较即可得出位置关系． 【解答】解：直线4ρcos(θ﹣为：2x+2y+1=0．
圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1． ∴圆心C（0,1）到直线的距离d=∴直线4ρcos（θ﹣
=＜1=R．
）+1=0展开为:4ρ
+1=0，化
)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个
）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．故答案为：2．
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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12．（5分）若a，b∈R，ab＞0,则【解答】解：a，b∈R，ab＞0， ∴
≥
=
的最小值为 4 ．
=4ab+≥2=4，
当且仅当,即，
即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”;∴上式的最小值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．
13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R），且﹣4，则λ的值为
．
=
【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出, 再根据平面向量的数量积【解答】解：如图所示，
△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2, ∴=+=+=+（﹣）=+， 又=λ﹣(λ∈R）, ∴
=(+）•（λ﹣)=（λ﹣）•﹣
+λ
列出方程求出λ的值．
=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴故答案为：
．
λ=1，解得λ=．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题． 14．(5分)用数字1，2，3,4,5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数
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字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 1080 个．（用数字作答）
【分析】根据题意,要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字,②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出每种情况下四位数的数目,由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
四位数中没有一个偶数数字,即在1、3、5、7、9种任选4个， 组成一共四位数即可,有A54=120种情况， 即有120个没有一个偶数数字四位数；
②、四位数中只有一个偶数数字， 在1、3、5、7、9种选出3个， 在2、4、6、8中选出1个， 有C53•C41=40种取法，
将取出的4个数字全排列，有A44=24种顺序， 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数； 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；
为：1080．
【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．
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故答案
三.解答题：本大题共6小题，共80分．
15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c．已知a＞b,a=5,c=6，sinB=．
（Ⅰ）求b和sinA的值; (Ⅱ）求sin（2A+
)的值．
【分析】(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinA；
（Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A,展开两角和的正弦得答案． 【解答】
解:(Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sinB=， 可得cosB=． 由已知及余弦定理， 有∴b=
．
， ．
， ;
，
=13，
由正弦定理得sinA=∴b=sinA=
（Ⅱ）由(Ⅰ)及a＜c，得cosA=∴sin2A=2sinAcosA=cos2A=1﹣2sin2A=﹣故sin(2A+
）=
， ．
=．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查倍角公式的应用，是中档题．
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16．(13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
（Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望；
(Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1,2，3，求出对应的概率值， 写出它的分布列，计算数学期望值；
（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值． 【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2,3； 则P（X=0）=（1﹣）×(1﹣)（1﹣）=,
P（X=1）=×（1﹣)×（1﹣）+(1﹣）××（1﹣）+(1﹣)×（1﹣)×=
，
P（X=2）=（1﹣)××+×（1﹣）×+××（1﹣)=， P（X=3）=××=
；
所以，随机变量X的分布列为
X P
0
1
2
3
随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；
(Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为
P（Y+Z=1）=P（Y=0,Z=1）+P(Y=1，Z=0） =P(Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0） =×
+
×=
；
．
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．
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17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D,E,N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2． （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； (Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为段AH的长．
，求线
【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；
（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；
（Ⅲ）设AH=t,则H（0，0，t），求出成角的余弦值为
的坐标，结合直线NH与直线BE所
列式求得线段AH的长．
【解答】(Ⅰ)证明：取AB中点F，连接MF、NF， ∵M为AD中点,∴MF∥BD，
∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE． ∵N为BC中点，∴NF∥AC，
又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE． ∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE,∴NF∥平面BDE． 又MF∩NF=F．
∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE； （Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．
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∴以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系． ∵PA=AC=4，AB=2,
∴A（0，0，0),B(2,0，0)，C（0，4，0），M（0，0，1），N（1,2,0），E（0,2，2），则
，
，
,
．
．
． ，则正弦值为
，
，
｜=
．解得：t=4． ，此时线段AH的；
．
设平面MEN的一个法向量为由
，得
，取z=2，得
由图可得平面CME的一个法向量为∴cos＜
＞=
∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为（Ⅲ）解：设AH=t,则H（0，0,t），
∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为∴｜cos＜
＞|=|
｜=|
∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为长为4．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力,是中档题．
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18．（13分）已知{an｝为等差数列，前n项和为Sn(n∈N+），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12,b3=a4﹣2a1，S11=11b4． （Ⅰ）求{an}和{bn｝的通项公式；
（Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和（n∈N+)．
【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比,然后求解｛an｝和{bn}的通项公式；
（Ⅱ)化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．
【解答】解：(I）设等差数列｛an}的公差为d，等比数列{bn｝的公比为q． 由已知b2+b3=12，得b1(q+q2）=12，而b1=2,所以q+q2﹣6=0． 又因为q＞0，解得q=2．所以，bn=2n． 由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①． 由S11=11b4，可得a1+5d=16②，
联立①②，解得a1=1，d=3,由此可得an=3n﹣2．
所以，数列{an｝的通项公式为an=3n﹣2，数列｛bn}的通项公式为bn=2n． （II）设数列{a2nb2n﹣1}的前n项和为Tn, 由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=
4n，有a2nb2n﹣1=(3n﹣1）4n，
故Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n﹣1）4n， 4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n﹣1）4n+1，
上述两式相减，得﹣3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1 =得Tn=
．
．
=﹣（3n﹣2）4n+1﹣8
所以，数列｛a2nb2n﹣1}的前n项和为
【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算能力．
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19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率
为．已知A是抛物线y2=2px(p＞0）的焦点,F到抛物线的准线l的距离为． (I）求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II）设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为
，求直线AP的方程．
【分析】（I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；(II）设AP方程为x=my+1,联立方程组得出B,P，Q三点坐标,从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出 【解答】（Ⅰ)解：设F的坐标为（﹣c，0）．
依题意可得
，解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2﹣c2=．
所以，椭圆的方程为x2+
=1，抛物线的方程为y2=4x．
(Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），
，解得点P（﹣1，﹣）,故Q（﹣1，）．
,消去x，
整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．
∴直线BQ的方程为(﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，
令y=0,解得x=，故D（，0）．∴｜AD|=1﹣=．
又∵△APD的面积为，∴×=, ．
整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=,∴m=±
∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．
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20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1，2）内有一个零点x0，g（x)为f（x）的导函数． （Ⅰ)求g（x）的单调区间；
（Ⅱ)设m∈［1,x0)∪（x0，2］，函数h（x）=g（x）(m﹣x0）﹣f(m),求证：h（m）h（x0）＜0；
（Ⅲ)求证：存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p，q,且∈[1,x0）∪（x0，2］，满足｜﹣x0|≥
．
【分析】（Ⅰ)求出函数的导函数g(x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可． （Ⅱ)由h（x）=g（x）(m﹣x0)﹣f（m）， 推出h（m)=g（m)(m﹣x0）﹣f（m)，
令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x） 利用（Ⅰ）知，推出h（m）h(x0)＜0． （Ⅲ）对于任意的正整数p,q,且
令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0)﹣f（m)．
由（Ⅱ)知，当m∈［1，x0）时，当m∈（x0，2］时，通过h（x）的零点．转化推出｜﹣x0|=
≥
=
．推
，
出｜2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．
【解】(Ⅰ）由f（x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，得g（x)=f′(x）=8x3+9x2﹣6x﹣6, 进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′(x）=0,解得x=﹣1，或x=． 当x变化时,g′（x),g（x）的变化情况如下表：
x g′（x） g（x）
（﹣∞,﹣1）
+ ↗
（﹣1，）
﹣ ↘
（，+∞）
+ ↗
所以，g(x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1),(，+∞)， 单调递减区间是(﹣1，)．
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（Ⅱ)证明：由h（x）=g（x）(m﹣x0)﹣f（m）,
得h（m）=g(m)（m﹣x0）﹣f（m），所以h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）． 令函数H1（x）=g(x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′(x）（x﹣x0）． 由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0， 故当x∈[1，x0）时，H′1(x）＜0，H1（x)单调递减； 当x∈（x0,2]时，H′1（x）＞0,H1（x)单调递增．
因此,当x∈[1,x0）∪（x0，2]时,H1(x）＞H1(x0)=﹣f（x0）=0, 可得H1（m）＞0即h（m)＞0，
令函数H2（x）=g(x0）（x﹣x0)﹣f（x)，则H′2（x）=g′（x0)﹣g（x）．由(Ⅰ）知,g(x)在[1，2]上单调递增，故当x∈［1,x0)时，H′2（x）＞0，H2(x)单调递增;当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0,H2（x）单调递减．因此，当x∈［1，x0）∪（x0,2］时，H2(x)＞H2(x0)=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，． 所以，h（m）h（x0）＜0． （Ⅲ）对于任意的正整数p，q,且
令m=，函数h(x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．
由（Ⅱ)知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0)内有零点； 当m∈（x0，2］时，h（x）在区间（x0，m）内有零点． 所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点,
不妨设为x1，则h（x1）=g(x1）(﹣x0）﹣f（）=0．
由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1)＜g（x1）＜g（2)， 于是|﹣x0｜=
≥
=
．
，
因为当x∈［1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在［1，2］上单调递增， 所以f（x)在区间［1,2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f(）≠0． 又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4｜是正整数， 从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1． 所以｜﹣x0|≥
．所以,只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥
．
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，
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考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．
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