辽宁省辽南协作校2018届高三一模拟考试数学(理)
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辽宁省辽南协作校2018届高三一模拟考试数学(理)
姓 名:_______________________ 考生考号：___________________________
2017—2018学年度下学期高三第一次模拟考试试题
数学(理科）
时间:120分钟 试卷满分:150分
第I卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第n卷(非选择题}两部分,其中第Ⅱ卷第22题〜第23题为选考题,其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确） 1.设 P={x｜x＜4｝，Q=｛x|x＜4}，则（ ) A。PQ B。QP C.PCRQ D.QCRP 2。复数
2-mi=A+Bi（m、A、B∈R），且A+B=0,则m的值是（ ） 12i22A。- B. C。2 D.2
332
3。设样本数据x1,x2，…，x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a (O为非零常数，i= 1,2,…,10），则y1,y2,…，y10的均值和方差分别为（ ） A.1+a，4 B。l+a，4+a C.1,4
D。l，4+a
4.公差不为零的等差数列{an}的前n项为Sn,若a4是a3与a7的等比中项，S8=32,则S10等于( ) A.18 B。24 C。60 D.90
x2y25.设F1和F2为双曲线221（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2,(0，2b)是正三角形的
ab三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ） A.y=±
32121x B.y=±3x C。y=±x D。y=±x 373辽宁省辽南协作校2018届高三一模拟考试数学(理)
46.设a=log23，b=,c=log34,则a，b，c的大小关系为（ )
3 A。b 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积A. 2 2 D.42 为（ ） 8π 3B.3π C. 10π 3D.6π 9.(x +y +z)的展开式共（ ）项 A。10 B.15 C.20 D.21 10.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图,要求∠ACB =60°,BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（ ) A。(1+ 3)米 24 B。2米 C.(1+3)米 D.（2+3)米 11。已知函数f（x）在R上满足f(x）=2f(2-x)—x+8x—8，则曲线y=f(x）在点（1，f （1))处的切线方程是( ) A.y=—2x+3 B.y=x C。y=3x—2 D.y=2x—1 12.已知椭圆的左焦点为F1有一小球A 从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论 辽宁省辽南协作校2018届高三一模拟考试数学(理) 经过几次反射速度大小始终保持不变,小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） 5-1132 A。 B。 C。 D. 2353第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。第22题—第23题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题（本大题共4小题，每题5分， 共20分） an+2+an+1=6an，则 13。等比数列｛an}的公比q 〉0,已知a2=1，{an}的前4项和S4=__________. 14。如图所示，输出的x的值为___________。 15。已知四面体ABCD ，AB=4，AC=AD=6，则球半径为____________． 该四面体外接 1x 16。设点P在曲线y =e上，点Q在曲线y =ln(2x) 上，则｜PQ｜的最小值为____________． 2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17。(本大题满分12分） π2 已知函数f(x)=2cosx+23sinxcosx+a，且当x∈［0，］时,f（x）的最小值为2。 2（Ⅰ)求a 的值; 1（Ⅱ）先将函数y=f (x） 的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图 2ππ象向右平移个单位，得到函数y=g(x)的图像,求方程g(x)=4在区间［0,］上所有根之和。 122 18.（本题满分12分） 某校举行“庆元旦\"教工羽毛球单循环比赛（任意两个参赛队伍只比赛一场）,有高一、高二、 辽宁省辽南协作校2018届高三一模拟考试数学(理) 12高三共三个队参赛，高一胜高二的概率为，高一胜高三的概率为，高二胜高三的概率为p， 23每场胜负相互独立，胜者记1分，负者记0分，规定：积分相同时，高年级获胜. 1（Ⅰ）若高三获得冠军的概率为,求p ； 3（Ⅱ）记高三的得分为X ，求X 的分布列和期望。 19.如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1中，已知AB⊥侧面 BB1C1C，AB =BC =1， BB1=2，∠BCC1=60°。 （Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC ； （Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A-B1E—BCE 的长。 20.(本题满分12分） 1的正弦值为，求 2 已知抛物线C:y=2x，直线l:y=kx+2交C于A、B两点，M是AB 的中点，过M作x 轴的垂线交C于N点. （Ⅰ)证明：抛物线C在N 点处的切线与AB 平行； （Ⅱ）是否存在实数k ，使以AB为直径的圆M经过N的值;若不存在，请说明理由. 21.(本题满分12分) 2 点？若存在，求出k 22 已知函数f(x)=x++alnx。 x（Ⅰ)若f（x)在区间[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围； （Ⅱ)设f(x）的导数f’(x )的图象为曲线C ,曲线C 上的不同两点A (x1, y1） ，B （x2，y 辽宁省辽南协作校2018届高三一模拟考试数学(理) 2 ） 所在直线的斜率为k ，求证：当a≤4时,|k｜>1。 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 x2cos已知曲线C1:（φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐 y3sin标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C2上,且A 、B 、C 、D 依逆时 π针次序排列,点A 的极坐标为（2，） 3（Ⅰ）求A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ)设P 为C1上任意一点，求｜PA｜+|PB｜+｜PC｜+|PD|的取值范围. 2 2 2 2 23. 选修4—5：不等式选讲 设不等式-2<|x—1|-｜x+2|<0的解集为M ，a，b∈M 。 ab1（Ⅰ）证明：｜|<； 364（Ⅱ)比较｜1—4ab|与2|a-b｜的大小，并说明理由. 2016-2017学年度下学期高三第一次模拟考试试题 数学（理科）参考答案 一、选择题 1—5 BAACB 6—10 DCBBD 11-12 DC 二、填空题 13.三、解答题 2 17.解:（Ⅰ）f(x）=2cosx +23sinxcosx+a=cos2x+3sin2x+a +1 1521-ln2） 14.17 15.25 16.（ 2辽宁省辽南协作校2018届高三一模拟考试数学(理) ππππ7π所以f(x）=2sin(2x+)+a+1，因为x∈[0，］，所以2x+∈［，]. 66266f（x）min=-1+a+1=2，所以a=2。…………………………………………………………………6分 ππ1（Ⅱ）依题意得g(x)=2sin（4x-）+3,由g(x）=4得sin(4x-）= 662πππ5π 4x—=2kπ+或4x—=2kπ+ 6666kππkππππ所以x=或，所以x或 21224124π所以，所有根的和为.……………………………………………………………………12分 318.解:(Ⅰ）高三获得冠军有两种情况：高三胜两场；三个队各胜一场。 1高三胜两场的概率为×(1—p) 31121三个队各胜一场的概率为p(1p) 32321121112所以p(1p)(1p)所以p。…………………………6分 3232333（Ⅱ）高三的得分X 的所有可能取值为0,1,2 p（x=0）= 2p2-p1-p，p（x=1）=，p(x=2)=, 333所以X的分布列为： X P 故X的期望为E(X)= 0 2p 31 2-p 32 1-p 34-3p…………………………………………………………………12分 319.（Ⅰ）证明：因为AB⊥面BB1C1C，所以AB⊥BC1, 在△CBC1中，由余弦定理得BC13，故BC1⊥BC. 又BC∩AB =B，所以C1B⊥平面ABC.………………………………………………………4分 (Ⅱ）由(Ⅰ）可知AB,BC，BC1两两垂直, 建立如图空间直角坐标系， 则B(0,0，0），A（0,1，0），C（1，0,0)，C1（0，0,3） 3), B1（—1，0， 辽宁省辽南协作校2018届高三一模拟考试数学(理) 所以CC1=（—1,0,3） 设CE=λCC1=λ（—1，0,3）, 所以E（1-λ，0，3)………………………………………………………………………6分 AE=(1—λ，—1，3λ)，AB1=(-1, -1，3）设平面AB1E的一个法向量为n1=（x,y, z）， (1)xy3z03-33则令z=3，则x= ，y2-2xy3z0 所以n1=（ 3-33，，3），面向B1EB的法向量为n2=(0，1,0).…………………9分 2-2-332 ，得2λ—5λ+3=0,解得λ=1或λ= 22由|cos＜n1,n2＞|= 所以λ=1时，CE=2；λ=3时，CE =3。……………………………………………………12分 20。（Ⅰ）证明：设A（x1，y1），B（x2,y2)，把y=kx+2代入y=2x得2x-kx—2=0 k2kkk所以x1+x2=，xN=xM=,所以N（，）. 82442 2 因为（2x)’=4x，所以抛物线在N点处的切线斜率为k ，故该切线与AB 平行。………4分 1(Ⅱ）假设存在实数k，使以AB为直径的圆M经过N点，则｜MN|=|AB｜ 22 11k2由(Ⅰ）知yM=(y1y2)(kx1kx24)2，又因为MN垂直于x轴， 224k216所以|MN｜=yM—yN=， 8而|AB|=|x1—x2|·1k211k2·16k2。………………………………………8分 21k21622所以1k·16k，解得k=±2 24所以,存在实数k=±2使以AB为直径的圆M 经过N 点. 22a+aln x，得f'（x)=2x—2+, xxx2a22 由已知得2x—2+≥0在x∈［2，3］上恒成立，即a≥-2x 恒成立. xxx2设g （x）=-2x ，则g'(x )=-2-4x 〈0，所以g（x)在x∈［2,3］上单调递减， x21.解:（Ⅰ）由f(x)=x+ 2 g（x)max =g（2）=—7,所以a≥—7.……………………………………………………………4 辽宁省辽南协作校2018届高三一模拟考试数学(理) 分 （Ⅱ)证明:｜k｜＞1等价于｜ f'(x1)f'(x2)｜＞1，等价于|f'(x1)f'(x2)|＞｜x1-x2|, x1x22a2a而|f'(x1)f'(x2)|=｜(2x12)(2x22) x1x2x1x2=|x1—x2|·｜2+ （2x1x2)a—｜ 22x1x2x1x2（2x1x2)a—｜＞1.………………………………………………6分 22x1x2x1x2所以只需要证明｜2+ 即a＜x1+x2+ （2x1x2)（2x1x2)或a＞3x+x+122222, x1x2x1x2（2x1x2)22，显然不可能对一切正实数x1x2 均成立， x1x2（2x1x2)22成立.…………………………………………………8分 x1x2而a＞3x1+x2+ 所以只需要证a＜x1+x2+ 因为x1+x2+ （2x1x2)424＞xx+，设t=，M(t）=t+（t＞0) xx121222tx1x2x1x24,当t=32时M'(t)=0 2t得M’（t）=2t— 在t∈（0，32)上，M（t）递减；在t∈（32,+∞)上,M(t)递增 所以M（t)≥334=3108＞4≥a，所以a＜x1x2+ （2x1x2) x1x2所以｜ f'(x1)f'(x2)｜＞1,即当a≤4时，｜K｜＞1。……………………………………12分 x1x211ππ5π4π22.（Ⅰ）依题意得A 、B 、C 、D 的极坐标为(2,），（2，），（2，)，（2，6） 633所以A 、B 、C 、D 的直角坐标为（1，3）,(—3,1),(—1，—3)，（3，-1)。………5分 x2cos（Ⅱ）设P（x0,y0）,其中0. y3sin0则t =｜PA|+|PB｜+｜PC｜+|PD|=4x0+4y0+16， 222222 辽宁省辽南协作校2018届高三一模拟考试数学(理) 所以,t =32+20sinφ∈[32，52]，故取值范围是[32，52]. 23. 解:（Ⅰ）证明：记f （x) =|x-1｜—｜x+2|， x23，1111则f（x）=-2x1,2x1，所以解得—＜x＜，故M=（—,）。 22223,x1.ab1111111所以，｜｜≤｜a｜+|b|＜×+×=.………………………………………5 3633626242 分 1122 （Ⅱ）由(Ⅰ）得0≤a＜，0≤b＜。 44｜1—4ab|-4|a—b|=（1—8ab+16ab）—4（a—2ab+b)=4（a—1）（b—1)>0. 所以，|1-4ab｜＞2｜a—b｜。…………………………………………………………………10分 22222222 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容