山东省潍坊市2021届高三数学模拟(二模)试题(含解析)

山东省潍坊市2021届高三数学模拟（二模）试题（含解析）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则A∩(∁UB)＝（ ） A. {1，4} 【答案】C 【解析】 【分析】

根据补集与交集的定义，计算即可．

【详解】集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，7}， 所以∁UB＝{1，4，5}， 又A＝{2，3，4，5}， 所以A∩(∁UB)＝{4，5}． 故选：C．

【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，基础题． 2.若复数zA. 1 【答案】B 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解a的范围即可. 【详解】∵zB. {1，4，5}

C. {4，5}

D. {6，7}

ai在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（ ） 1iB. 0

C. ﹣1

D. ﹣2

aiai1ia1a1i 1i1i1i22又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，

a1＜02∴，得﹣1＜a＜1．

a1＞02

- 1 -

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∴实数a的值可以是0． 故选：B．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者．已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A. 甲是律师，乙是医生，丙是记者 B. 甲是医生，乙是记者，丙是律师 C. 甲是医生，乙是律师，丙是记者 D. 甲是记者，乙是医生，丙是律师 【答案】C 【解析】 【分析】

由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生. 【详解】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者， 从而排除B和D；

由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生． 故选：C.

【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化思想，是基础题.

4.以抛物线E:x4y的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为（ ） A. x1y24 C. x1y24 【答案】D 【解析】 【分析】

根据抛物线的焦点和准线得到圆心和半径，进一步到圆的方程. 【详解】抛物线E:x4y的焦点为0,1，准线方程为y1，

222B. x2y14 D. x2y14

222 - 2 -

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圆与E的准线相切，则r故选：D.

2，故圆方程为：x2y14.

2【点睛】本题考查了抛物线的焦点和准线，圆方程，意在考查学生的计算能力和转化能力. 5.设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e﹣cosx，则不等式f（2x﹣1）+f（x﹣2）＞0的解集为( ) A. （﹣∞，1） 【答案】D 【解析】 【分析】

由函数的解析式求出其导数，分析可得f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性分析可得f（x）在R上为增函数，据此可得原不等式等价于2x﹣1＞2﹣x，解出x的取值范围，即可得答案．

xx【详解】由题知，当x≥0时，f（x）＝e﹣cosx，此时有fx＝e+sinx＞0，则f（x）在

xB. （﹣∞，

1） 3C. （

1，+∞） 3D. （1，+∞）

[0，+∞）上为增函数，

又由f（x）为奇函数，则f（x）在区间（﹣∞，0]上也为增函数， 故f（x）在R上为增函数.

由f（2x﹣1）+f（x﹣2）＞0，可得f（2x﹣1）＞﹣f（x﹣2）， 而函数f（x）为奇函数，可得到f（2x﹣1）＞f（2﹣x）， 又f（x）在R上为增函数，有2x﹣1＞2﹣x，解得x＞1， 即不等式的解集为（1，+∞）. 故选：D

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题．

6.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A. 94

B. 95 C. 96 D. 98

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【答案】B 【解析】 【分析】

设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90，100]，由题可得n+（n+1）+（n+2）+

+

（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，解出n的取值范围，根据年龄为整数可得n的取值范围，再代入可得m的值．

【详解】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90,100]， 则有n+（n+1）+（n+2）+

+（n+18）+m＝19n+171+m＝1520，

则有19n+m＝1349，则m＝1349﹣19n， 所以90≤1349﹣19n≤100， 解得65145n66， 1919因为年龄为整数，所以n＝66， 则m＝1349﹣19×66＝95. 故选：B

【点晴】本题考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题．

7.在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为( ) A.

2 24B.

2 12C.

2 6D.

2 4【答案】B 【解析】 【分析】

易得出AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，设球心为O，则OB＝OC＝OD2，2BO⊥AD，BO⊥OC，从而BO⊥平面ACD，由此能求出四面体ABCD的体积．

【详解】在四面体ABCD中，△ABC和△BCD均是边长为1的等边三角形，

四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，设球心为O，则O为AD的中点，

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∴AB＝AC＝BC＝BD＝CD＝1，∠ABD＝∠ACD＝90°，

OB＝OC＝OD2，BO⊥AD，BO⊥OC， 2∴BO⊥平面ACD， ∴四面体ABCD的体积为：

VB﹣ACD1S311222． BO2ACD322212故选：B

【点晴】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．

x2y28.已知O为坐标原点，双曲线C：221a＞0，b＞0ab右焦点为F，过点F且与x轴

垂直的直线与双曲线C的一条渐近线交于点A（点A在第一象限），点B在双曲线C的渐近线上，且BF∥OA，若ABOB0，则双曲线C的离心率为（ ） A. 23 3B. 2

C. 3 【答案】A 【解析】 【分析】

设双曲线的半焦距为c，利用题设条件分别求出A、B的坐标，再利用ABOB0得到a与c的关系式，即可求出离心率．

的D. 2

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【详解】如图所示，设双曲线的半焦距为c，渐近线方程为：y＝±

bx， a

则点F（c，0），A（c，

bxbc），设点B（x0，0），∵BF∥OA， aa∴kOAbx0cbcckBF，即bB(,) ，解得：x，所以a0222aax0cc3bccbcOB，，

22a22a∴AB，c23b2c2又∵ABOB0，∴0，即a2＝3b2． 244a∵c＝a+b，∴a＝3（c﹣a），即3c＝4a， 所以离心率e故选：A．

【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了求双曲线的离心率，考查了平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题．

二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约为950斤﹣比全球人均粮食产量高了约250斤．如图是中国国家统计局网站中2010﹣2021年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010﹣2021年中（ ）

2

2

2

2

2

2

2

2

c23． a3 - 6 -

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A. 我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增 B. 2011年我国粮食年产量的年增长率最大 C. 202X年﹣2021年我国粮食年产量相对稳定 D 202X年我国人均粮食年产量达到了最高峰 【答案】BCD 【解析】 【分析】

仔细观察2010﹣2021年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，利用条形图中的数据直接求解．

【详解】由中国国家统计局网站中2010﹣2021年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：

对于A，我国粮食年产量在2010年至202X年逐年递增，在202X年至2021年基本稳定在66千万吨左右，202X年，2021年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A错误；

对于B，由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%，故B正确； 对于C，在202X年至2021年基本稳定在66千万吨以上，故C正确；

对于D，202X年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D正确． 故选：BCD

【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题． 10.若ab1，c0则下列不等式中一定成立的是（ ） A. a11b abB. a11b baccC. ln(ba)0 【答案】BD

abD.  ba- 7 -

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【解析】 【分析】

1，由函数在(,1)上的单调性进行比较； x1对于B：构造函数yx，由函数在(,1)上单调性进行比较；

x对于A：构造函数yx对于C：由于ab，则ba0，但不确定ba与1的大小关系，无法判断大小；

ab1，01，由指数函数的单调性进行判断即可. ba111【详解】由函数yx在(,1)上为增函数可知，当ab1时，ab，故

abx对于D：易知选项A错误； 由函数yx111在(,1)上为增函数可知，当ab1时，ab，即

abxa11b，故选项B正确； ba由于ab，则ba0，但不确定ba与1大小关系，故ln(ba)与0的大小关系不确定，故选项C错误；

abab由ab1可知，1，01,而c0，则10，故选项D正确．

baba故选：BD．

【点睛】本题考查实数的大小比较，考查函数思想的运用，属于基础题．

11.在单位圆O：x2+y2＝1上任取一点P（x，y），圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原

点O旋转到OP所成的角为θ，记x，y关于θ的表达式分别为x＝f（θ），y＝g（θ），则下列说法正确的是（ ）

A. x＝f（θ）是偶函数，y＝g（θ）是奇函数 B. x＝f（θ）在，为增函数，y＝g（θ）在，为减函数 2222C. f（θ）+g（θ）≥1对于0，恒成立

2的的ccD. 函数t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值为【答案】AC

32 2 - 8 -

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【解析】 【分析】

A，由题可知，xf()cos，yg()sin，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可判

断选项A；

B，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项B；

C，先利用辅助角公式可得f()g()2sin()，再结合正弦函数的值域即可得解；

4D，t2cossin2，[0，2]，先对函数t求导，从而可知函数t的单调性，进而可得

当sin可得解．

【详解】解：由题可知，xf()cos，yg()sin，即A正确； xf()cos在[13，cos时，函数t取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即22,0)上为增函数，在[0,]上为减函数；yg()sin在[,]上

2222为增函数，即B错误；

f()g()cossin2sin()，

43[0,]，[,]，

24442sin()[1,2]，即C正确；

4函数t2f()g(2)2cossin2，[0,2]则

t2sin2cos22sin2(12sin2)2(2sin1)(sin1)， 令t0，则1sin11；令t0，则sin1， 2255函数t在0,和,2上单调递增，在,6666cos1sin上单调递减，当即，62331333时，函数t取得极大值，为t2， 22222233，2又当2即sin0，cos1时，t212012，所以函数t的最大值为即D错误． 故选：AC．

【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性，三角恒等变换，利用导数求函数

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的单调性与最值等，考查学生灵活运用知识的能力、推理论证能力和运算能力，属于中档题． 12.如图，平面α∩平面β＝l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，

B，C，D∉直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是（ ）

A. 若AB//CD，则MN//l B. 若M，N重合，则AC//l C. 若AB与CD相交，且AC//l，则BD可以与l相交 D. 若AB与CD是异面直线，则MN不可能与平行 【答案】BD 【解析】 【分析】

由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判定A、B、C；用反证法证明D．

【详解】解：若AB//CD，则A、B、C、D四点共面，当ABCD时，

平面、、两两相交有三条交线，分别为AC、BD、l，则三条交线交于一点O， 则l与平面交于点O，MN与l不平行，故A错误；

若M，N两点重合，则AC//BD，A、B、C、D四点共面， 平面、、两两相交有三条交线，分别为AC、BD、l， 由AC//BD，得AC//BD//l，故B正确；

若AB与CD相交，确定平面，平面、、两两相交有三条交线，分别为AC、BD、

l，

由AC//l，得AC//BD//l，故C错误；

当AB，CD是异面直线时，如图，连接BC，取BC中点G，连接MG，NG．

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则MG//AC，

AC，MG，则MG//，假设MN//l，

l，MN，MN//，

又MNMGM，平面MNG//，同理可得，平面MNG//，则//，与平面平

面l矛盾．

假设错误，MN不可能与l平行，故D正确．

故选：BD．

【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是且F1,F2与水平夹角均为45，F1F2102N，则物体的重力大小为_________N. F1,F2，

【答案】20 【解析】 【分析】

根据力的平衡有|G|=|F,两边平方后可求出|G|. 1+F2|【详解】由题意知|G|=|F.1,F2的夹角为1+F2|F所以|G||F1F2||F1|+2|F1||F2|cos所以|G|2200+0+200=400. 所以|G|20.

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222. 22+|F2|2.

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故答案为:20.

【点睛】向量的数量积的两个应用：(1)计算长度或模长，通常用|a|aa ；(2)计算夹角，

cosa,bab.特别地，两非零向量a,b 垂直的充要条件时ab=0.

|a||b|14.已知0，，sin【答案】3 【解析】 【分析】 由题可知25，则tanα＝_____． 45(,)，所以cos()0，利用同角三角函数的平方关系可求得其值，4444再采用拼凑角的方法，sinsin[()]，并结合正弦的两角和公式求出其值，再一次

44利用平方关系，求出cos的值，最后利用商数关系即可得解． 【详解】解：

5，且sin()45(0,)，(,)，

244425cos()1sin2()，

445sinsin[()]2[sin()cos()]235310，

442442510(0,)，cos1sin210，

210tansin3． cos故答案为：3．

【点睛】本题考查三角恒等变换的混合运算，观察角之间的联系，使用拼、凑角是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．

15.植树造林，绿化祖国．某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中A、B、C分别与E、

F、G关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线

的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_____（用数字作答）．

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【答案】36 【解析】 【分析】

先选四个位置上的重复树苗有C3种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题．

【详解】解：由题意对称相当于3种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有C13种选法；在四个位置上种植有

14A412种方法， 2A211236种方法． 则由乘法原理得C3故答案为：36．

【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算．属于中档题．

lnx，x1fx16.已知函数3则x∈[﹣1，e]时，f（x）的最小值为_____；设g22x3x1，x＜1（x）＝[f（x）]2﹣f（x）+a若函数g（x）有6个零点，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 (1). ﹣4 (2). （0，【解析】 【分析】

根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值或者下确界，即可求出x[1，e]时，f(x)的最小值；

2令tf(x)，根据题意再结合函数f(x)的图象，以及ytt的图象即可求出实数a的取值

1） 4范围．

【详解】解：当x[1，e]时，f(x)lnx，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值

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为f1ln10，

32当x[1，1)时，f(x)2x3x1，则f(x)6x26x0时，x1（舍)或0，

且有f(x)在(1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 因

f12314f1，

故函数f(x)在[1，e]上的最小值为4； 令tf(x)，g(x)0即t2ta， 作出函数yf(x)的图象，如图所示：

直线yt与函数yf(x)的图象最多只有三个交点，所以0t1， 即说明方程t2ta有两个(0,1)内的不等根，

亦即函数ytt在(0,1)内的图象与直线ya有两个交点，

2112，根据ytt的图象可知，a0， 441即实数a的取值范围为0a．

41故答案为：4；(0,)．

4因为ytt(t)2122

【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，以及根据函数的零点个数求参数范围，考查学生的转化能力和数形结合能力，属于较难题．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a23，A3，

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（1）若B4，求b；

（2）求△ABC面积的最大值． 【答案】（1）22；（2）33 【解析】 【分析】

（1）根据题意利用正弦定理可求b的值；

（2）由余弦定理和基本不等式可求bc的最大值，进而可求△ABC面积的最大值． 【详解】解：（1）

B4，a23,A3，

2222．

由正弦定理

asinBab，可得bsinAsinAsinB2332（2）a23,A3，

由余弦定理知a2b2c22bccosAb2c2bc2bcbcbc，

bca212，当且仅当bc取“”；

∴ABC面积的最大值为bcsinA121212333． 2【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式与三角形面积的计算问题，属于基础题．

18.已知数列an为正项等比数列，a11；数列bn满足

b23,a1b1a2b2a3b3anbn32n32n.

（1）求an； （2）求1的前n项和Tn.

bnbn12n1；（2）Tn【答案】（1）an【解析】 【分析】

n 2n1 - 15 -

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（1）首先令n1和n2求出a22，从而得到公比qa22，再求通项公式即可. a1（2）首先根据已知求出bn2n1，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】（1）令n1，得a1b132321，所以b11，

2令n2，得a1b1a2b23(43)27，

所以a2b26，又b23，所以a22， 设数列an的公比为q， 则qa22，所以ana12n1；

an1bn13[2(n1)3]2n1①

（2）当n2时，a1b1a2b2又a1b1a2b2a3b3anbn3(2n3)2n，②

nn1n1(2n1)2， ②–①anbn3(2n3)23(2n5)2因为an2n1，所以bn2n1，n1时也成立，所以bn2n1.

11111()， bnbn1(2n1)(2n1)22n12n1所以Tn111111[(1)()()] 23352n12n1111111[(1)()] 232n1352n111n(1). 22n12n1【点睛】本题第一问考查等比数列的通项公式，第二问考查由前n项和求通项，同时考查了裂项求和，属于中档题.

19.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB⊥BC，②FC与平面ABCD所成的角为

，③∠ABC． 63如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，，PD的中点为F．

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（1）在线段AB上是否存在一点G，使得AF//平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；

（2）若_______，求二面角F﹣AC﹣D的余弦值．

【答案】（1）存在，G是线段AB的中点，证明见解析；（2）详见解析 【解析】 【分析】

（1）设PC的中点为H，连结FH，由题意得AGHF为平行四边形，则AF∥GH，由此能证明在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．

（2）选择①AB⊥BC，推导出AB，AD，AP彼此两两垂直，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．选择②FC与平面ABCD所成的角为

，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM，则FM∥PA，且FM＝1，6FM⊥平面ABCD，FC与平面ABCD所成角为∠FCM，FCM6，推导出AE，AD，AP彼此两

两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．选择③∠ABC3，推导出PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，推导出 AE，

AD，AP彼此两两垂直，以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量

法能求出二面角F﹣AC﹣D的余弦值．

【详解】（1）在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG． 证明如下：如图所示：

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设PC的中点为H，连结FH，

11因为FH//CD，FHCD，AG//CD，AGCD，

22所以FH//AG,FHAG 所以四边形AGHF为平行四边形， 则AF∥GH，

又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC， ∴AF∥平面PGC． （2）选择①AB⊥BC： ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC， 由题意知AB，AD，AP彼此两两垂直，

以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA＝AB＝2，

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（0，1，1），P（0，0，2）， ∴AF（0，1，1），CF（﹣2，﹣1，1）， 设平面FAC的一个法向量为（x，y，z），

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AFyz0∴，

CF2xyz0取y＝1，得（﹣1，1，﹣1）， 平面ACD的一个法向量为v（0，0，1）， 设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ， 则cosθv3， 3v3． 3： 6∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为

选择②FC与平面ABCD所成的角为

∵PA⊥平面ABCD，取BC中点E，连结AE，取AD的中点M，连结FM，CM， 则FM∥PA，且FM＝1， ∴FM⊥平面ABCD，

FC与平面ABCD所成角为∠FCM，∴FCM在Rt△FCM中，CM3，

又CM＝AE，∴AE2+BE2＝AB2，∴BC⊥AE， ∴AE，AD，AP彼此两两垂直，

6，

以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA＝AB＝2，

∴A（ 0，0，0），B（ 3，﹣1，0），C（3，1，0），D（0，2，0），E（3，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），

∴AF（0，1，1），CF（3，0，1），

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设平面EAC的一个法向量为m（x，y，z），

mAFyz0则， mCF3xz0取x3，得m（3，﹣3，3）， 平面ACD的一个法向量为：n（0，0，1）， 设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ， 则cosθmnmn21． 721． 7∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为

选择③∠ABC3：

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥BC，取BC中点E，连结AE，

∵底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形， ∵E是BC的中点，∴BC⊥AE， ∴AE，AD，AP彼此两两垂直，

以AE、AD、AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA＝AB＝2，

∴A（ 0，0，0），B（ 3，﹣1，0），C（3，1，0），D（0，2，0），E（3，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），

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∴AF（0，1，1），CF（3，0，1）， 设平面EAC的一个法向量为m（x，y，z），

mAFyz0则， mCF3xz0取x3，得m（3，﹣3，3）， 平面ACD的法向量n（0，0，1）， 设二面角F﹣AC﹣D的平面角为θ，

θ则cosθmnmn21． 721． 7∴二面角F﹣AC﹣D的余弦值为【点睛】本题主要考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，还考查了运算求解能力、逻辑推理能力，属于中档题．

1ex20.已知函数f（x）alnx，gx，

xx（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）证明：a＝1时，f（x）+g（x）﹣（1【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】

（1）对f(x)求导后，再对a分类讨论即可得出函数的单调性． （2）a＝1时，将所证不等式转化为ex﹣ex+1＞e）lnx＞e． x2elnxelnx，令F（x）＝ex﹣ex+1，G（x），xx分别根据导数求出F(x)的最小值和G(x)的最大值即可证明不等式成立. 【详解】（1）f（x）1alnx，（x∈（0，+∞））． x1aax1f(x)22．

xxx当a≤0时，f(x)＜0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．

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a＞0时，由f(x)0，得0x所以函数f(x)在（0，

11，由f(x)0，得x aa11）上单调递减，在（，+∞）上单调递增． aa（2）证明：a＝1时，要证f（x）+g（x）﹣（1e）lnx＞e． x2elnx1exe即要证：．x∈（0，+∞）． 2lnx﹣e＞0⇔ex﹣ex+1＞xxxx令F（x）＝e﹣ex+1，F′（x）＝e﹣e，

当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，此时函数F（x）单调递减； 当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，此时函数F（x）单调递增． 可得x＝1时，函数F（x）取得最小值，F（1）＝1． 令G（x）xxe1lnxelnx，G′（x）， 2xx当0xe时，G(x)0，此时G(x)为增函数， 当xe时。G(x)0，此时G(x)为减函数

所以x＝e时，函数G（x）取得最大值，G（e）＝1．

x＝1与x＝e不同时取得，因此F（x）＞G（x），即ex﹣ex+1＞故原不等式成立．

elnx．x∈（0，+∞）． x【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论方法、等价转化方法，考查了利用导数证明不等式，属于中档题．

21.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，202X年至2021年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表 年份 编号 企业总数量y（单位：千个）

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202X 1 2.156 202X 2 3.727 2021 3 8.305 204 24 重点中学试卷 可修改 欢迎下载

注：参考数据

yi15i74.691，xiyi312.761，zi10.980，xizi40.457（其中z＝

i1i1i1555lny）．

附：样本（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的最小二乘法估计公式为

ˆbxxyy，aˆ ˆybxxxi1iin2i1idxn（1）根据表中数据判断，y＝a+bx与y＝ce（其中e＝2.71828…，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的结果，求y关于x的回归方程（结果精确到小数点后第三位）； （3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为

131，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说

253明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？

【答案】（1）选y＝cedx；（2）ye0.752x0.060；（3）甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大 【解析】 【分析】

（1）直接由表中数据可得选择回归方程y＝cedx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；

（2）对y＝cedx两边取自然对数，得lny＝lnc+dx，转化为线性回归方程求解；

（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先赛，由已知结合互斥事件与相互独立事件的概率计算公式分别求得甲公司获得“优胜公司”的概率得结论．

【详解】（1）选择回归方程y＝cedx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量； （2）对y＝cedx两边取自然对数，得lny＝lnc+dx， 令z＝lny，a＝lnc，b＝d，得z＝a+bx．

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1515xi3，z zi2.196， xi15，x 由于 5i15i1i15 xz5xz40.457532.1960.752， ∵b5553x5x i1ii52ii1225azbx2.1960.75230.060．

∴z关于x的回归方程为z0.752x0.060， 则y关于x的回归方程为ye0.752x0.060； （3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：

A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先赛．

由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为则甲公司获胜的概率分别是：

131，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，

253P（A）131311113113111； 35352332534531311331139111P（B）； 535325523525P（C）1由于

1311131． 25323559131＞＞， 25455∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大．

【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，互斥事件与相互独立事件概率的求法，还考查了分析问题运算求解的能力，属于中档题．

x2y222.已知椭圆C:221ab0过点P2,1，F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点且

abPF1PF21.

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（1）求椭圆C的方程；

（2）过P点的直线l1与椭圆C有且只有一个公共点，直线l2平行于OP（O为原点），且与椭圆

C交于两点A、B，与直线x2交于点M（M介于A、B两点之间）.

（i）当△PAB面积最大时，求l2的方程；

（ii）求证：PAMBPBMA，并判断l1,l2，PA,PB的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.

1x2y2【答案】（1）（2）（i）yx2；（ii）证明见解析，不可能构成等比数1；

282列. 【解析】 【分析】

（1）设F1c,0，F2c,0.求出PF的坐标，根据PF，求出c.把点P2,11,PF21PF21代入椭圆方程，结合a2b2c2，求出a,b，即得椭圆C的方程； （2）（i）设l2方程为y221xt，Ax1,y2,B(x2,y2).把直线l2的方程代入椭圆方程，由2韦达定理、弦长公式求出AB.由点到直线的距离公式求出点P到l2的距离d，则

SPAB1ABd，根据基本不等式求面积的最大值，即求l2的方程；（ii）要证结论成立，只2须证明

|PA||PB|，即证直线x2为APB的平分线，转化成证明kPAkPB0. |MA||MB|又l1与C有一个公共点，即l1为椭圆的切线，可求kl1y|x2111，又kl2.由题意，2221，kPA，kPA四个数按某种顺序成等比数列，推出矛盾，故不可能构成等比数列. 2

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【详解】（1）设F1c,0，F2c,0， 则PF1c2,1，PF2c2,1.

PF1PF2c2411，c6. 又P2,1在椭圆上，故

4a21b21， 又a2b26，解得a28，b22，

x2y2故所求方程为821.

（2）（i）由于k1OP2， 设l12方程为y2xt，Ax1,y2,B(x2,y2). y1xt由22，消y整理得x2x22tx2r240， 8y21xx2t12x1x22t24， 4t240t24则|AB|114x21x24x1x2 524t24(2t24)52164t2 54t2.

d|t|t|又点P到l22|2的距离

15, 12S12|t|t2(4t2PAB254t222)5(4t)t22. 当且仅当4t2t2，2t24，即t22时，等号成立.

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故直线AB的方程为：y1x2. 2|PA||PB|（ⅱ）要证结论成立，只须证明：

|MA||MB|， 由角平分线性质即证：直线x2为APB的平分线， 转化成证明：kPAkPB0. 因为kP1k11y2PByx21x2 12112x1t1x22xt221x12 x12x22x1x2(t2)x1x24(t1)x12x22

2t242t(t2)4(t1)4(x2)4t4t4(x0

22)(x212)(x22)因此结论成立.

又l1与C有一个公共点，即l1为椭圆的切线，

x2y2由821得y22124x

令x0，y0，

1则y2124x，y2xx2212324x2 4x所以y|x212，所以kl112，

故所研究的4条直线的斜率分别为12，12，kPA，kPA， 若这四个数成等比数列，且其公比记为q， 则应有q1或q21，或q31.

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因为q21不成立，所以q1， 而当q–1时，kPA11，kPB，

22此时直线PB与l1重合，不合题意，

故l1，l2，PA，PB的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列.

【点睛】本题考查椭圆的方程，考查弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式和等比数列等知识，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，综合性强，属于难题.

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