一、与通项有关的一些问题
例1．在的展开式中，指出
：1）第4项的二项式系数，
2）第4项的系数， 3）求常数项
解:展开式的通项为展开式中的第r+1项.
1），二项式系数为；
2）由1）知项的系数为；
3）令6-3r=0, ∴r=2, ∴常数项为.
2 ．已知
1）求a0, 2）求a1+a2+a3+a4+a5
3）求(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2 4）求a1+a3+a5
5）|a0|+|a1|+……+|a5|
分析:1）可以把(1-2x)5用二项式定理展开求解.
1
从另一个角度看，a0为x=0时右式的结果，因而令x=0,
∴ (1-0)5=a0, ∴a0=1.
2）令x=1, 则(1-2)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5 又a0=1,∴ a1+a2+a3+a4+a5=-2.
3）令x=1，得a0+a1+a2+……+a5=-1 (*)
令x=-1, 得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5 (**)
因而,(a0+a2+a4)2-(a1+a3+a5)2
4）联立(*),(**)两方程，解得a1+a3+a5=-122.
5）
因而 |a0|+|a1|+……+|a5|即为(1+2x)5的展开式的所有系数和，
∴ |a0|+|a1|+……+|a5|=(1+2)5=35=243.
小结:①求展开式的系数和只需令x=1可解； ② 赋值法也需合情合理的转化.
例9．已知,
其中b0+b1+b2+……+bn=62, 则n=_________.
2
分析:令x=1，则,
由已知， 2n+1-2=62, ∴ 2n+1=64,
∴ n=5.
例10．求的展开式中有理项系数的和.
分析:研究其通项.
显然当r=2k(k∈Z)时为有理项.因而它的有理项系数和即为(2+t)n的奇数项的系数和.
设 (2+t)n=a0+a1t+a2t2+……+antn ,
令t=1，即3n=a0+a1+a2+……+an
令t=-1，即1=a0-a1+a2-……+(-1)nan
上两式相加，解得奇数项系数和.
例5、设 ，求
①展开式中各二项式系数的和；
②展开式中各项系数的和；
3
③ 的值
④ 的值
⑤ 的值
解：令 ①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和 ②展开式中各项系数的和③ 注意到 ∴ ∴ ④仿③得 又4
∴
⑤ 解法一（直面原式）：∴又∴再由二项式的展开式知，∴ 点评：对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值。
五、高考真题
（一）选择题
1.（2005·全国卷 III ）在 的展开式中 的系数是（ ）
A. –14 B. 14 C. –28 D. 28
5
分析：对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一，
，又
系数为
的展开式中
的系数为
， 的
∴ 原展开式中 的系数为 ，应选B。
2.（2005·江苏卷）设k=1，2，3，4，5，则 的展开式中 的系数不可能是（ ）
A. 10 B. 40 C. 50 D. 80
分析：立足于二项展开式的通项公式：
∴ 当k=1时，r=4， 的系数为 ；
当k=2时，r=3， 的系数为 ；
当k=3时，r=2， 的系数为 ；
当k=4时，r=1， 的系数为 。
∴ 综上可知应选C。
点评：关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式。
4.（2005·重庆）若等于（ ）
6
展开式中含 项的系数与含 项的系数之比为-5，则n
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
分析：设第r+1项是含 的项，
又
∴ 这一项的系数为 ，且 再设第s+1项是含 的项，则
∴ 这一项的系数为
，且
∴ 由①、②得 ，故 又由①、②得
∴
化简得 于是由③、④解得 n=6，r=4，故选B。
7
①
②
③
④
5.（2005·山东卷）如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的
系数是（ ）
A. 7 B. –7 C. 21 D. –21
分析：设 ，
则
∴ 由已知得 ，解得n=7
∴
令 得r=6.
∴ ，故所求系数为 ，应选C。
6.（2004·福建卷）若 的展开式的第3项为288，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
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的值是
分析：由题设
∴
，应选A。
（二）填空题
1.（2005·福建卷） 展开式中的常数项是 （用数字作答）
分析：
当 得 r=2.
∴ ，即所求常数项为240。
2.（2004·重庆卷）若在 展开式中 系数为-80，则a= 。
解：
∴ 当r=3时有
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∴ 由题设得
∴ a=-2，即应填-2。
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